2 Semenov-converted (825162), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Из 1-й штанги изготовили 9 образцов. Из 2-й – 18. Методика испытанияодинакова. Получены следующие данные в [МПа.10-1]:1-я партия (к): 121,5; 100,3; 107,5; 87,4; 87,6; 90; 81,4; 91,9; 90.2-я партия (М): 119,4; 92,3; 109; 109; 151; 125; 120; 97,8; 85,5; 111,4; 80,5; 95,6; 126,5; 141,1; 109,8;108; 137,2; 120.Нужно определить относятся ли эти 2 группы данных к одной совокупности.Для 1-й выборки определяем среднее значение:−= 95,3xkОпределяем дисперсию:9di =12k= 1245,7−= 113,3xM18di =1= 4989,42M1245,7 + 4989,4= 15,89 + 18 − 2195,3 − 113,31t== 2,81 115,8 −9 18Находим табличное значение tтабл = 2,06 tp> tтабл  использовать эту гипотезу нельзя.S сум =Проверка гипотезы с помощью критерия Фишера.Критерий Стьюдента позволяет сравнивать 2 средних значения, однако кроме среднихзначений во многих экспериментах представляет интерес «размах» выборок, т.к.

поле от верхнего донижнего значений из всей серии выборок, т.к. размах оценивается по величине дисперсии. В примеревыше было получено:9=di =12k=nk18d1245,7= 138,492M4989,4= 272,2nM18Определим существует ли между этими дисперсиями различие, для чего используем критерийФишера.=i =1=277,2=2138,4Определяем табличное значение. При исследовании таблицы большую степень свободы отыскиваютпо горизонтальной строке.Fтабл = 3,2  F расч.  2-е данные выборки относятся к одной совокупности.

Лучшие ориентируютсяF=по Стьюденту (он изменяется плавно).12Метод наименьших квадратов.Метод основан на свойстве закона нормального распределения:Сумма квадратов отклонений от наилучшего или точного отсчета д.б. min.( xu − x1 ) 2 + ( xu − x 2 ) 2 + ... + ( xu − x n ) 2  minxu – истинное значение.Допустим, что мы варьируем независимую переменную x в некотором интервале значений U,с измерительного прибора считываем значение зависимой переменной y.Если мы будем многократно снимать показания при 4-х значениях x, то получимизображенный на графике:yxпрямая в классической задачеДля двумерного распределения также справедливо рассматривать свойство законанормального распределения. Наилучшая линия проходит через множество точек, рассеянных наплоскости x, y, должна занимать положение, при котором сумма квадратов отклонений точек от этойлинии минимальна. Это правило объясняет происхождение термина «Метод наименьшихквадратов».Условие классической задачи, решаемой методом наименьших квадратов:1) Бесконечная совокупность точек на плоскости xy дает прямую.2) Все случайные ошибки сконцентрированы в переменной y.3) Распределение случайных ошибок одинаково при всех значениях y.На практике зависимая переменная как правило имеет различную точность в разных участкахобласти ее существования.

Кроме того, часто мы не можем сказать, что выбранные независимыепеременные не имеют случайной ошибки, и, обычно, при проведении экспериментов никогда небывает заранее известно существование линейной зависимости, т.е. все эти допущения невыполняются. Однако уточнение классической модели, для которой применим метод, настолькоувеличивает объем вычислений и усложняет обработки результатов, что классический методприменяют даже, если данные существенно отличаются от реальных.13ЛЕКЦИЯ №7Рассмотрим применение метода для прямой, общее уравнение которой имеет вид:yu = ax + b (истинное)Требуется получить такие значения для a и b, чтобы сумма квадратов отклонений переменнойy от этой прямой была минимальной, т.е.

необходимо минимизировать выражение:n(yi =1i− yu ) 2i− axi − b) 2n(yi =1 n2   ( y i − axi − b) i =1=0b n  ( y − ax − b) 2ii i =1=0aЕсли имеется n отсчетов, то уравнения будут выглядеть:nnnb + a  xi =  xi y ii =1i =1nni =1i =1nb xi + a  xi =  y i2i =1решая систему 2-х уравнений получим:nb= xii =12nni =1i =1i =122n xi −   xi i =1 i =1 nna=n y i −  xi  xi y innnn  xi y i −  xi  y ii =1i =1i =12n xi −   xi i =1 i =1 nn2Практические правила определения ошибок измерения.Все сказанное ранее относится к нормальному распределению для анализа случайныхвеличин. Однако приступая к обработке экспериментов мы заранее ничего не знаем о законераспределения результатов, полученных замеров.Считают, что в тщательно подготовленном и проведенном эксперименте результаты будутраспределятся по нормальному закону, однако подготовку эксперимента можно совершенствовать до, а тщательность – понятие относительное в подавляющем большинстве инженерныхэкспериментов, поэтому достаточным является получение симметричного закона распределения.В этом случае с достаточно высокой степенью вероятности можно использовать данныетеории нормального распределения.

Быстрым способом проверки на нормальность являетсянанесение отклонений на так называемую вероятностную бумагу. На этой бумаге нормальнораспределенная совокупность отсчетов образует прямую линию. Вероятностную бумагу изготовляютследующим образом: по оси абсцисс откладываются отклонения, при этом 0 помещают в серединеместа, и шкала выбирается таким образом, чтобы охватить весь интервал имеющихся значений.98,8(100)нормальноераспределение1495,587,472,450D27,613,64,5СВDА1,2-1,5-1,0-0,500,511,5В середине шкалы по оси ординат наносится точка, которая будет соответствовать значению 50%.Вниз от нее откладывают 8 равных интервалов в убывающем порядке: 38,8 – 27,6 – 19,8 – 13,6 – 7,9 –4,5 – 2,4 – 1,2. Выше точки соответствующей 50% откладывают следующие 8 равных интервалов ввозрастающем порядке: 61,2 – 72,4 – 80,2 – 87,4 – 92,1 – 95,5 – 97,6 – 98,8.

Процент отклонений, непревышающих данного по шкале ординат. По шкале абсцисс – отклонение от истинного значения.А – нормальное распределениеВ – симметричное, более плоско вершинное, чем нормальноеС – симметричное, более островершинное, чем нормальноеD – два симметричных распределения.Шкала по оси ординат, как будет показано на примере представляет % отсчета, имеющихотклонения меньше данного значения. Если установлено, что ошибки распределены не понормальному закону, то можно предполагать, либо наличие не устраненной систематическойошибки или ошибку метода измерения или неисправность прибора.

Это служит сигналомэкспериментатору к дальнейшему проведению совершенствования эксперимента. С помощьюприбора, имеющего нормальное распределение ошибок невозможно будет получить более точныйотсчет без его полной переделки.Получение нормального распределения, кроме всего прочего означает, что в качественаилучшего значения измеряемой величины можно принять средние из серии измерений.

Закономнормального распределения можно пользоваться для все непрерывно изменяющихся измеряемыхвеличин, если форма практических кривых распределения более или менее симметричные иотсутствует многовершинность и ошибка в этом случае не превышает 20%.Пример: Контролируем t в печи для нагрева заготовки из высоколегированной стали,оператор печи пытается поддержать t = 1280С  15С. Периодические замеры с помощьютермопары дают следующие результаты:ТСЧислоотсчетов12501260128012901300161053Требуется определить распределены ли эти данные по нормальному закону. По результатомзамеров составим таблицу и построим график.отклонение-20-100+10Число отклонений непревышает данного381828% отклонения непревышают данного8,723,251,48015+20+30343497,2100120Из графика видно, что распределение нормальное, определяемсреднее значение результатов измерений:100n−n xii44660= 1276CN35Т.к.

отсчеты (замеры) округлены с точностью до 10С, то x такжеокругляем до 1280С. Определяем выборочное среднеквадратичноеотклонение:x=8060i =1=2−x− i x = 6000 = 13,3 , т.е. температура в печи равна: tS = i =1 n −135 − 1= 1280  13,3Сn40200-20отклонения030ЛЕКЦИЯ №8Оптимальное использование пространства независимых переменных.Планирование эксперимента.1. Планирование эксперимента с целью сэкономить деньги, время.Цель планирования: Получение необходимого объема информации с требуемой точностью заминимальное количество опытов.Информацию получают в виде математической модели, описывающей зависимость величиныисследуемого фактора на выходе системы (y) от величины контролируемых факторов на входе (x).Задачи:1) зависимость от шероховатости валков, скорости, температуры поверхности металла.2) Или нахождение экстремума – максимума или минимума (оптимума)При этом может стоять задача о нахождении оптимального значения выходного фактора.Выигрыш в числе опытов получают благодаря:1) уменьшению ошибки изменения, в результате оптимального использования пространстванезависимых переменных.

Таким образом уменьшается количество повторныхэкспериментов.2) Применение шаговой стратегии эксперимента. После каждого шага проводится анализ, наосновании которого принимаются решения о дальнейшей деятельности.3) Применение правильной комбинаторики для исследования за наименьшее количествоопытов всевозможных сочетаний, действующих на систему входных факторов.Многофакторный эксперимент.Оптимальное использование пространства независимых переменных, идея математическойстатистики. Проиллюстрируем данную идею на задаче о взвешивании 3-х образцов (А, В, С).Традиционно исследователь стал бы взвешивать образцы по следующей схеме.16№ опытаАВС1234+-+-+РезультатывзвешиванияY0Y1Y2Y3«+» – образец положен на весы.“-“ – образец отсутствует на весах1 взвешивание – холостое взвешивание для определение нулевой точки весов.Затем поочередно взвешивают каждый из объектов это классический пример однофакторногоэксперимента (поведение фактора изучается в отдельности).

Вес каждого объекта определяется порезультатом 2-х опытов. Например вес объекта А = y1 – y0. Определим дисперсию результатоввзвешивания: 2 A =  2 y1 − y 0  = 2 2 y {y} - ошибка взвешивания (суммируется ошибки 1 и 2 опытов)Этот же эксперимент может быть проведен по другой схеме, задаваемой следующей матрицейпланирования:№ опытаАВС1234++++++РезультатывзвешиванияY1Y2Y3Y4Вес образцов определяется:− y1 + y 2 − y 3 + y 42− y1 − y 2 + y 3 + y 4B=2+ y1 − y 2 − y 3 + y 4C=2Дисперсия связана с ошибкой взвешивания по новой схеме: − y + y 2 − y 3 + y 4  4 2 { y} 2 { A} =  2  1=  2 { y}=24A= 2 {B}... 2 { y} 2 {C}... 2 { y}Ошибка в два раза меньше.По 2-ой схеме дисперсия получается в 2 раза меньше, хотя в обоих случаях было по 4 опыта за счеттого, что по новой схеме каждый вес вычисляется по результатам не 2-х, а всех 4-х опытов,следовательно удвоение точности.2-ая схема называется многофакторной.С ростом числа независимых переменных k, эффективность многофакторного экспериментаувеличится как k +1 по сравнению с однофакторным.

Математическая модель отражает связь междуфакторами выходным и контролируемым входным. Т.к. на систему влияют также неконтролируемыефакторы, то даже при фиксированных значениях входных факторов величина на выходе ведет себяслучайным образом. Поэтому ставится задача нахождения ее математического ожидания идисперсии или доверительных интервалов.При записи модели греческие буквы применяются для обозначения «истинных» генеральныхзначений, соответствующих неизвестных, однако, т.к. по результатам эксперимента можно найти17только выборочные значения выходных функций и коэффициентов (y, b0, bi, bj...), то уже уравнениебудет записано в следующем виде:nnni =1i ji =1y = b0 +  bi xi +  bij xi x j +  bii xi + ...2Пример линейной модели для истинных значений. =  0 + 1 x1 +  2 x2 + ...

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий