2 Semenov-converted (825162), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

+  k xkНа основе априорной информации (сведения из литературы, результаты предыдущиходнофакторных испытаний и т.д. оценивают границы изменения факторов).В этих границах надо выбрать основной (или нулевой) уровень и интервал варьирования,которые будут использованы при планировании эксперимента. Основным, нулевым уровнемназывают уровень фактора, соответствующей наилучшим условиям, определенным по априорнойинформации.

Положение усложняется, если эта точка лежит на границе области, тогда основнойуровень сдвигают от «наилучших» условий. Далее для каждого фактора выбирают два уровня, накоторых он будет участвовать в эксперименте. Один из них называется верхним, другой – нижним.Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению факторов(это не обязательно).Интервалом варьирования фактора называется число, прибавление которого к основномууровню дает верхний, а вычитание нижний уровни факторов. Для упрощения эксперимента (записиусловий) масштаб по координатным осям выбирают таким образом, чтобы верхний уровеньсоответствовал «+1», нижний – «-1», а основной «0».

Для факторов с непрерывной областьюопределения это всегда можно сделать при помощи преобразования:x j − x j0xj =Ijxj – кодированное значение фактора.x j - натуральное значение фактора.x j 0 - натуральное значение основного уровня.Ij – интервал варьирования j-N фактора.На выбор интервалов варьирования накладываются естественные ограничения, как сверху,так и снизу. Интервалы варьирования не могут выходить за естественные границы, не могут бытьменьше ошибки, с которой фиксируется уровень фактора.ЛЕКЦИЯ №9Выбор интервалов варьирования - задача чрезвычайно трудная, т.к.

она связана снеформализованным типом планирования эксперимента. На это этапе необходимо использоватьсведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов о кривизне18поверхности отклика и о диапазоне изменения y. Обычно все эти сведения являютсяориентировочными и в ходе эксперимента их приходится корректировать. Условие проведенияэксперимента записывают в виде таблицы, в которой строки соответствуют различным опытам, астолбцы – значения факторов. Таблицы называют матрицами планирования эксперимент.Пример: рассмотрим задачу по определению усилия прессования профиля и предположим,что на каком-то определенном участке усилие будет линейно зависеть от 3-х факторов:  - степенидеформации  - коэффициента трения, угла конусности контейнера .

Математическую модель длялинейной функции запишем в следующем виде:y =  0 + 1 x1 +  2 x2 +  3 x3 (x – истинная величина)y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 (кодированное x =  1)Матрица планирования.№ опытаX0X1X2X31234+1+1+1+1-1+1-1+1-1-1+1-1+1-1-1+1РезультатыэкспериментаyY1Y2Y3Y4Для простоты записи кодированных значений факторов, 1 опускают и пишут «+» или “-“.Столбец фиктивной переменной x0 необходим для оценки свободного члена b0, число опытов на 1превосходи число независимых переменных k = 3, такие планы называют насыщенными, т.к. всестепени свободы n = k+1 используются для оценки коэффициентов регрессии соответственно, b0определяется через 1, b1→1, bk→k.Эти планы обладают следующими свойствами:n1.xi =1ij=0симметрично j = N факторам, изменяющимся от 1 до k.2.

Отвечают условиям нормировки:nxi =1ij=n +U− = 03. Ортогональны: сумма почленных произведений i-x факторов столбцов равна 0.nxi =1ji− ..xui = 04. Рототабельны – точность предсказания значения y одинакова на равных расстояниях от центраэкспериментов. Эта точность растет с ростом числа независимых переменных, но сравнивая соднофакторным экспериментом.Полный факторный эксперимент.ПФЭ – эксперимент, в котором реализуются возможные сочетания уровней факторов. Есликаждый фактор варьируется на 2x уровнях, то имеет место ПФЭ типа 2к, где 2 – число уровней, к –число факторов.Построим матрицу планирования ПФЭ 2к:№ опытаX1X21234++++РезультатыэкспериментаyY1Y2Y3Y419Если для 2-х факторов все возможные комбинации уравнений легко находить простымперебором, то с ростом числа факторов возникает необходимость в некотором приближениипостроения матриц.Рассмотрим 2 приема на примере матрицы 23:№ опытаX1X2X312345678++++++++++++-РезультатыэкспериментаyY1Y2Y3............Y81-й прием: при добавлении нового фактора каждая комбинация уравнений исходного планавстречается дважды в сочетании с верхним и нижним уравнениями нового фактора.2-ой прием: в 1-ом столбце матрицы знаки меняются поочередно, во 2-ом – они чередуются через 2,в 3-ьем – через 4, в 4-ом – через 8 и т.д.

по степени двойки.ПФЭ позволяет не только оценить нелинейность модели, которая связана с тем, что эффектодного фактора зависит от уравнения, на котором находится другой фактор. Математическая модельпри это выглядит следующим образом:y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b12 x1 x2Для ПФЭ 22 матрица планирования с учетом взаимодействия будет иметь вид:№ опытаX0X1X2X1X21234++++++++-++-РезультатыэкспериментаyY1Y2Y3Y4Столбцы x1 и x2 задаются планированием, по ним непосредственно определяются условия опытов;столбцы x0, x1, x2 служат только для расчета коэффициентов. С ростом числа независимыхпеременных число возможных взаимодействий быстро растет.

В ПФЭ 23 уже возможно 4взаимодействия: x1x2; x2x3; x3x1; x1x2x3 (эффект взаимодействия 2-го порядка).Дробный факторный эксперимент.Количество опытов в ПФЭ значительно по превосходящим числам определяемыхкоэффициентов линейной модели, т.е. ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. Рассмотримматрицу ПФЭ 22: по этому плану можно вычислить 4 коэффициента и представить результат в видеследующей математической модели:y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b12 x1 x2 .Если имеется основание допустить, что в выбранных интервалах варьирования процесс можетбыть описан линейным варьированием, то нам достаточно определить всего 3 коэффициента b0, b1,20b2. Остается одна степень свободы.

Ее можно искать для минимизации числа опытов, т.е. прилинейном приближении вектор-стобец произведения x1x2 используют при определении фактора x3,т.е. для 3-х факторов эксперимента математическую модель можно представить линейной моделью.Здесь мы не получим раздельных оценок, как в ПФЭ 23. Оценки смешаются следующим образом:b1 →  1   23b2 →  2   13b3 →  3   12Но т.к. постулируются линейные модели, то все парные взаимодействия предполагаютсянезначимыми, зато количество опытов по сравнению с ПФЭ 23 сокращается в 2 раза.Поставив 4 опыта для оценки влияния 3-х факторов мы воспользовались так называемойполурепликой ПФЭ 23, т.е. мы используя могли получить ДФЭ 23-1 разделенной оценки длялинейных эффектов и эффектов взаимодействия при реализации обеих полуреплик. Матрицы изопытов для 4-х факторов планирования будут полурепликой от ДФЭ 24, а для пятифакторногоэксперимента четверть репликой от 25.

Обозначение при это ДФЭ 2к-р.ЛЕКЦИЯ №10Условное обозначение дробных реплик и количество опытов в них можно определить изтаблицы:Количество опытовУсловноКол-воеДФЭ дробные ПФЭ полныеДробная репликафакторовобозначефакторныефакторныениеэксперименты эксперименты3½ реплика от 2323-14844½ реплика от 224-18165¼ реплика от 2525-2832166-36/8 реплика от 2286417/16 реплика от 2727-481285½ реплика от 2525-1163266¼ реплика от 226-21664177-37/8 реплика от 221612818/16 реплика от 2828-416256ДФЭ – берем часть от ПФЭ.Генерирующие соотношения для:b1 →  1 +  23b2 →  2 +  31b1 →  1 −  23b2 →  2 −  31b3 →  3 +  21b3 →  3 −  21Эти соотношения показывают с каким из эффектов связан данный эффект, такие соотношенияназываются генерирующими соотношениями.Генерирующие соотношения показывают, что при выборе дробной реплики мы приравнялиэлементы следующих столбцов в соответствии с записанными выше соотношениями.21x1 = x 2 x3x1 = − x 2 x3x 2 = x3 x1x 2 = − x3 x1x3 = x1 x 2x3 = − x1 x 2Для 3-х факторного эксперимента:Умножим данные равенства каждое на элемент, стоящий слева, получим:22x1 = x1 x 2 x3x1 = − x1 x 2 x3x 2 = x1 x 2 x3x 2 = − x1 x 2 x3x3 = x1 x 2 x3x3 = − x1 x 2 x32222xi = 1 , то x1 x2 x3 = 1Символическое обозначение произведения столбцов называют определяющим контрастом.Определяющий контраст помогает определить смешанные эффекты.Для того, чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе частиопределяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.При выборе полуреплики 24-1 возможно уже восемь решений.x = x1 x 2x = x 2 x3x = − x1 x 2x = − x 2 x3x = x3 x1x = − x3 x1x = x1 x 2 x3x = − x1 x 2 x3Реплики с 1 по 6 имеют по 3 фактора в определяющем контрасте, а реплики 7-8 – по 4фактора.

Реплики 7-8 имеют максимально разрешающую способность, поскольку в них линейныеэффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка. Такие репликиназываются главными.При отсутствии априорных сведений об эффектах взаимодействия, необходимо выбиратьреплику с наибольшей разрешающей способностью.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий