1611143573-8e94d034ccd828efcd3c13ed070577fb (825037), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В системе К правый конец пересекает ось х в точке хг 1«/2 в момент 1=0. Координаты этого же события в сист~ме К' (см. (!)); х'=Г1,/2, 1'= — Г (1«/2) (У/с«). Но нам нужно положение правого конца в момент 1'=О, т. е. на время 61'=-Г(1«/2) (у/са) позже. "!тобы определить положение правого конца в этот момент времени, нужно звать компоненту скорости стержня по оси у н системе К'. Она найдется по формуле (6): ю'=ю/Г, тогда как ю'= — !'.
В мои х мент 1'=О правый конец окажется в тачке с координатамн у' = ««„'б!' = (ю/Г) Г (!«/2) (У/«') =. (1«/2) (юУ/ст), х', = Г (/э/2) = гэхбг' = Г1э/2 — У!' (1«/2) (У/с ) = — Г (1«/2) (! — У'/с') = (1«/2Г) Имея в виду, что в этот момент времени середина стержня находится и на |але координат, получим для угла «р' значение: ! 6 ф' = у'„/х' = Гю У/с'. 736. Соударения ие произойдет и в системе К'. В системе К' стержень не подвергается лоренцеву сокрашению, но плоскость движущейся пластинки наклоняется (ср. решение задачи 735). В итоге метровый стержень с полностью «сохранившейся«длиной проскальзывает через сократившееся отверстие, но расположенное уже под углом к стержню.
При этом концы стержня в системе К проходят через плоскость пластинки не одновременно. 737. Запишем последовательно выполняемые преобразования Лоренца, при переходе от системы К к системе К' и от сис>емы К к систел>е К': 1 Угх>сз х У>1 рг! — (У,/с)а У ! — (!',/с)' «1' — Узх /с „х' — !'«1 « у' 1 — (У,/с)з 'Гг! — (У«/с)а Путем простого пересчета можно показатгь что выражения для г" н х" могут быть приведены к виду 1 — йгх/с*', х — 6'1 (6>/с)з ' Ддя скорости воды )<<с~~! знаыенатель можно принять равным единице с точностью до Раlсз. Тогда л ~ <сл( лз) сз~ л+ ( л')' опять же с точностью до Рз,сэ. 74уд Пусть о, направлено в положительном направлении оси х (с<>0), а < — в отрицательном (<В<0). Скорость нх сближения в системе К равна <;55 =с',--ос=(а< <-жа) с > с.
Однако это пе есть реальная скорость распространения чего бы то вн было физического. Относительная сиарасть частиц в теории относительности — это скорость одной частицы в системе отсчета, где другая частица покоится. Воспользуемся формулой преобразования скоростей, поаучснпой в задаче 740. с!тобы о< было равно нулю, необходимо, чтобы (<=о<=я<с (это очевидно, так как система К' связана с частицей). Но тогда — лзс — а<с и< -',. из = — — с.
<х<лз + сз о' соз д'+ !' о 5!пд Р ! — Ва осо5 д — '... С 5<и д— , о' соз д' о со50 !+ — В !+ В с с а разделив втору<о формулу на первую,— е' )< ! — Вз сйп д" (яд=- о со5 д +)< Возводи в квадрат эти же формулы и складывая, получим е'з+ Ра+ 2и' Р соз д' — о" В' 5!и' д' (и<+ ) )' — — "и')г" сз '( оз (!+о Соз д В) з и'р )3 Остается толы<о доказать, что при ааданпых условиях коэффициент при с всегда меньше единицы, но это сразу же следует из неравенства (аз — 1) (! — из) < 0 743. !) Используя формулы (й), легко обнаружить, что о =О, т. е, что и в К частица движется в плоскости (х, у).
Вводя углы д и д', образуемые скоростью частицы соответственно с (совпадающими) осямн х, х', запишем: о =псов д, о,=оа!п д, о'=о' соа д', о' =- о' <ми д'. Подставляя апачення компонент в (й), получим, (В.= (<<<с)< 2) В случае распространения света (для фотона!) о=-о'=:с. Пусть свет падает вдт1Ь ОСИ у'. Тогда Ф'=и/2 (свет идет сверху вниз), н из формулы для 1у 6 предыдущей задачи имеем 1ц О = =(': ( 1" Гз / У'] ! — —, !' — /1. Угол аберрации аг — дапаспштельпый к уг- СЗ С 1)' / ЛУ 6(аг -Π— п12); !йиг=с1п О= — ~ ~/ ! — —,; ) . По класси- ческим формулам с,==О, о„— "с, с, О, и так как е=--е'-ь Г, то сз = — !', су — — с, о,=.б; ото!ода 12 ос== Г/г. ](ласси 1ескзл и реляти- вистская формулы савпадтот с точностью ло ьч/сз. 74б.
с/аз = сз сйз — !1х' — ууе — 0зз =.сз с(Гз — дх'-' — !!у'! — Узф. В системе /(' г/л':=!/у'.—:4Г =:.О, а с//' --!1т. Ого!алз сз Итз — сз~ 1 — — — „-' —,—: ! с(/з — сз ! 1 — —., ! с/гз, 1 з з бз Упз '(а з ' ' з сепг': /, Т, и окапчз!ельио г(т= 1~ ! — ",/с'!(1. 746. зз .-.-1', т. с, сзг' — 1-', —.сз/'3 — Г', 1З !"-' ' ' 12 11 1"- 1З ° 1] Если Г„--С, та зз„---сз/'";-об; 2) если Г,=О, то з-',-- — 1,"= О; 1З 3) если 1',— О и 1', .
О, то зто азиз тет (зп пск,пзчс!тем слу- 11 '!1 1зл, ко!к! распрастраплетсл свставсй сигнал), чга /,1=-0 и г,з =О. 747, В або!.'. ст! чаях прнченясп алли и тат лс пр!юм, Сбс части !равнения лвюкет!л г/Р, 1У.=- Р сналяриа 1мпотюотся иа скорость е. Справа пол!чнм работу силы пад частнцсн в еднвипу времени (мощность). Слсаовательно, го чакану со.
ранснчя зпергнн, слева должно столть нлиененне зпергнн в единицу врет!спи. Преобразавани" левой части лля класотсскога и релятивистского; равнений ралли шо. Из урсвпсппл Нью!опз! 1(в 11 / !паз'! Л/ '='ес/1 '! О / пРнчем Тз пРиРавизваем пУлзо. Из Релативпстск!то ) Рзонспнл, имел в виду, что 7= узЯ(р=!1с], получим: е — — (т /е) = етуе-',- и!оз!/ =- сз (ту()() — ', гп!1зуз)]()) .= с(1 =- туЯс' (! + уз(!1) — пк'7 — — — (шсау), Мы воспользовались така!е соотношением ее=.оз, гыгекающнм нз равенствз ез=-оз. Таким образом, получается: б — (тс'7) = Ее, ф- = тс'7 -1 А, где А — некоторая постоянная.
Нужно показать, что она равна нулю. Для этого рассматривается предельный нерелятивистский случай о/с-ьО, У/с-ьО. Из (29) имеем для преобразования импульса лю„' = гло „вЂ” — [яка+ А). Следстиием этой формулы должен быть классический закон сложения скоростей. Однако он получается только при условии А=О.
/ тс 748. — — ~1 =-Р. Интегрируя, получим то р! УТ вЂ” (о/с)з (счнтаем, что при 1=0 скорость о=-0). Из последнего выражения нахо- дится зависимость скорости от времени; ог г с(с, рг)+(рг/ с)и )'сз+ са где ог=р!/пь 749.
Так как р„=туп, а ре=(пп, то нх отличие определяется множителем 7=25/7. бе 1! е 780. т — = — 1 — — (рп)1. б! 7 ~ с' У к а з а н н е. Раскрыть левую часть (! 1), произведя дифференцирование, и учесть (28). 781. Выберем ось р параллельно начальной скорости электрона, а ось х — в направлении, противоположном полю Е. Движение происходит и плоскости х, у. Уравнение движения запишется в виде г)р/с! = гЕ, поскольку сила, действуюншя со стороны электрического поля на заряд, равна еЕ. Импульс — релятивистский — р = глуп. Уравнение движения в компонентах р„=-еЕ, рз — — О, откуда р„=еЕг+ раж ри — рою Так как, исходя нз чальных условий, раз=о, араи=ро, о ра=- рх+ раз = — (еЕ!)егер*,.
Пользуясь связью между энергией и нмпульсом ю'=сргрз~-+ ~шест, найдем ют= — Ую'"зн (сее!)"", где О.-з=-шзса-)-раса. с' Согласно (30) и = — р, откуда бг бх р„сз Подставляя полученные выше выражения для Р„, Р„и цу н интегрируя, с учетом начальных условий найдем ,= х ! дт!Зтб — Е', „— т Ь ~В!. Исключив 1 из этой системы, получим траекторию ю'в / еЕУ х= — ' (сй — — 1) (цепная линия) еЕ ~, срв Для сравнения с илассическим результатом (ан предполагается известным) полагают а/с м 1. Тогда у ж 1, рв — тов, а ~'в =-тса. Кроме этого, нужно использовать формулу, годную для и си 1: , с' с!1 а=)-' — +...
2 7б2. Кинетическая энергия равна работе поля, так что Тг — = тгз ( у — 1) = е У, вУ откуда у = 1-1 —, а следовательно, а = с рг) — (1/у)'. Оконча- тс тельно: ~ 2еУ Если еУ<стс', то если еУ>) тс'. то а=с ~1 — — ( — 1 1 — с. В последних двух случаях используется разложение падкоренного выражения основной формулы в ряд по малому параметру, 703. В лабоРатоРной системе )( б/г=~вз — — тсзр=~т; импУльсы частиц Рг= — тУИ, Р,=туп; 4-вектоРы частиц: Р, ( — Р, — ~в), с Р, р, — б') . В системе К', где частица 2 покоится (и'=О), с / а р' =О. Согласно (29) 8'=! (б71 — УРзк) ! 8 1 1' ) 2(бу~ ./ 8' последние преобразования выполнены для ультрарелятивистских частиц, когда, согласно (30), для аж с имеем р=ю"/с а У/с- 1.
277 Зтот же результат легко получается из общей формулы (!3) 16«' = шсэу", 1 где 7' относится к скорости частицы ! в системе /(*. Согласно (6) 2с, 1 от= — - ... у'= =71(1(-оз/с») и 271. ! -1- Р»/с«)/' ( )1 Но в системе /( Г=у, и слелователы1о, Ю«1=27зшсз, т.
е. Ю«1 2Г«йа. Ото!ода видно, что ту же «полезную» энергию столкновения можно получить при покоящейся частице 7, разгоняя частицу ! до энергии 2Габ«, в Г раз большей, чем для «встречных» пучков. 754. Релятивистское уравнение движения имеет вид о' е — (туе) = — (оИ). «!! с Так как магнитное поле не меняет энергии частицы и у=сопя(, то уравнение движения принимает вид он е — = — (о/7), д! шус где множитель перед аек юрным произведением — постоянная велкчнна. Э«о уравнение движения отличается от иерелятивистского только тем, что вместо массы тела т стоит масса ту.
755. По закону сохранения энергии кинетическая энергия Т, полностью расходуется на работу против сил поля: Т, — Я вЂ” тса=еЕ!, откуда и можно определить !. Другой способ использует соотношение ! =~ ос!, о где т — время полиси остановки частицм Из формулы (30) о сзр/4)«, а из (11) ор=«Есг, поэтому о а о Ра Ра = — 1 рр« -)- тзсз — тс! = — (Ю вЂ” ест).
«Е еЕ 756. Воспользовавшись разложением бинома; о'й -1г« 1 о» 3 о' ( су) + + с +''' 2 с' 8 с« получим для (%) 4',1: тса 3 тэ« тг- шса (7 — !) = — + — -й-+ „. 2 8 с Составив отношение второго члена Т, к первому, ириравияем это отно- шение одной сотой: 3 оз — — =0,01, откуда — =О,! В этом же нриближенин: Т, оз/сз ! тс~ 2 !50' 757.
Энерпш покоя электрона 0,51 й!зВ, протока — 938,2 й(зВ, 768. Если пренебречь потерямн при распространении света, полная энсргия, излучаемая Солнцем в секунду, равна солнечной постоянной, умногкенной иа плошадь сферы, проведенной яз центра Солнца радиусом, разным расстоянию от Солнца до Земли. Зта площадь равна =3 10ж и"", а энергия !1,4 ДжДс мз)) (3 10з' м') ж 4 10ет Дж/с Таким образом, Солнце за счет излучения света теряет в сек! нд) массу: 4 ! 0»з Ьк/с -- — ' =-.'-''-,,- = 4 10 -/.. 9, !01» из!с: Десятая часть массы Солнца составляет 2 10е" кг. Оич оудсг ~зраскодована зз 2 1Озз4 1О' — — 5.10"-' с=10" лет.
60. Пусть в К задзна 4-скорость !7(уо, !су). 1',омнонсгты 4-скорости !тл в системе К' выразятся уже через новые нс) имшые: Р(у'и', !су'), так как ьбсошотная вслкчшш скорости мшшстся: 7 з' у'. Используя йоран лы (!7) и (19), запншсч / ..(г ) ° ° ° .,' . р и',=..Г, и,— ', ! — а»/, из=-пз, из:=-из, из-: Г ' и,— !--и,';; подставляя значения коь~нонент, гмюсм (гб .! !су'=-Г (гсу — !Вус ), Из последнего равенства вытекает, что у у' Г [1 — Рох/с») ' С помощью этого соотношения три нервык равенства (760.!) сводятся к (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
