1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Очевидно, что дифференциал этой функции «(У (г) == и (г) «Б, где и(г) — скорость жидкости на расстоянии г от оси, а «15 — площадь кольца радиуса г и ширины «1г. Поскольку Д5=-2лн(г, то Л'(г)::= 2нги г(г = "— ~ (а' — г") г «1г = — я йд (ૠ— г«) «1 (га).
2Е«! 4ья Отсюда 4/ 1, 2 ЯЛР 1' «г« '1 (произвольная постоянная положена равной нулю, поскольку должно быть Г(0)=0). Полный объем жидкости, вытекающей нз трубки за 1 сек, есть значение У(г) при г: а. Умножив его на плотность жидкос— ти р, найдем искомую массу В ч =вь и Рнс. 2. Эта формула называется формулой Пуизейля. Мы видим, что количество вьпекающей из трубки жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубки. Рассмотренные примеры относятся к числу стационарных течений жидкости — скорость жидкости в каждом месте потока постоянна во времени. Упомянем здесь один пример нестационарного движения. Предположим, что погруженный в жидкость диск совершает крутильные колебания в своей плоскости; увлекаемая диском жидкость тоже приходит в колебательное движение.
Этн колебания, однако, затухают по мере удаления от диска, и возникает вопрос о порядке величины расстояния, на котором происходит существенное затухание. Этот вопрос формально не отличается от рассмотренного в $ 111 аналогичного вопроса для тепловых колебаний, создаваемых пластинкой с переменной температурой. Мы получим искомую «глубину проникновенияэ 1 колебательного движения в жидкость, заменив в найденной в $111 формуле коэффициент температуропроводности у кннематической $ 120] МЕТОД ПОДОБИИ ВЯЗКОСТЬЮ >КИДКОСТИ Т: где ь — частота колебаний. $120.
Метод подобия Мы рассмотрели простейшие задачи о движении жидкости. В более сложных случаях точное решение задачи наталкивается обычно на очень большие математические трудности и, как правило, оказывается невозможным. Например, не может быть решена в общем виде задача о движении в жидкости тела даже такой, казалось бы, простой формы, как шар. В связи с этим при исследовании различных вопросов о движении жидкости приобретают большое значение простые методы, основанные на соображениях о размерности тех физических величин, от которых это движение может зависеть.
Рассмотрим, например, равномерное движение твердого шара через жидкость, н пусть задача заключается в определенни испытываемой шаром силы сопротивления Р. [Вместо того чтобы говорить о движении тела через жидкость, можно было бы говорить и о вполне эквивалентной задаче об обтекании неподвижного тела потоком жидкости; такая постановка задачи отвечает наблюдениям над обтеканием тел потоком газа в аэродинамической трубе.1 Физические свойства жидкости, определяющие ее течение или движение в ней посторонних тел, характеризуются всего двумя величинами: ее плотностью р и коэффициентом вязкости ть Кроме того, в рассматриваемом случае движение зависит еще от скорости шара и и от его радиуса а.
Таким образом, в нашем распоряжении имеется всего четыре параметра со следующими размерностями: [р] =:--„, Я =-, [и~ = —, [а~ =см. Составим из пих безразмерную величину. Прежде все~о, исключить размерность г можно лишь одним способом— разделив т1 на р, т. е. образовав отношение ч=т[/р с размерностью [т[==см'/сек. Далее, для исключения размерности вязкость (гл, хч сек делим и на т. '(и/ч)=1/см.
Безразмерную величину мы получим, умножив отношение и/ч на радиус а. Эту величину обозначают символом Ке иа риа Ке =- — =- —— =ч= ч и называют числом Рейнольдса; она является очень важной характеристикой движения жидкости. Очевидно, что всякая другая безразмерная величина может быть только функцией числа Рейнольдса. Вернемся к определению силы сопротивления. Она имеет размерность г ч в/сек'. Величиной с такой размерностью, составленной из тех же параметров, является, например, ри'а'. Всякая другая величина той же размерности может быть представлена в виде произведения ри'а' па некоторую функцию безразмерного числа Рейнольдса.
Поэтому можно утверждать, что искомая сила сопротивления выражается формулой вида г' =- р и'а'/ (Ке). Разумеется, неизвестная функция /(Ке) не может быть определена нз соображений размерности. Но мы видим, что с помощью этих соображений нам удалось свести задачу об определении функции четырех параметров — силы г в зависимости от р, ть и и а — к задаче об определении всего одной функции /(Ке). Эта функция может быть определена, например, экспериментально.
Измерив силу сопротивления, испытываемую каким-либо одним шариком в какой-либо одной жидкости, и построив по полученным данным график функции /(Ке), мы тем самым получим возможность узнать силу сопротивления для движения любого шара в любой жидкости. Изложенные соображения имеют общий характер и относятся, конечно, к стационарному движению в жидкости тел не только шарообразной, но и любой другой формы. Под величиной а в числе Рейнольдса надо при этом понимать какой-либо линейный размер тела заданной формы, и мы получаем возможность сравнивать течения жидкости вокруг геометрически подобных тел, отличающихся лишь своими размерами.
Движения, отличающиеся значениями параметров р, т1, и, а при одинаковом значении числа Рейнольдса, называют $1211 377 ФОРМУЛА СТОКСА подобными. Вся картина движения жидкости в таких случаях отличается лишь масштабами всех своих характеристик: расстояний, скоростей и т. д. Хотя мы для краткости говорим все время о жидкости, но все сказанное относится и к газам. Единственное условие, которое подразумевается выполненным,— что плотность среды (жндкости или газа) в процессе дннжения не испытывает сколько-нибудь заметного изменения, так что ее можно считать постоянной; в таких случаях движущуюся среду называют несжимаелшй.
Хотя с обычной точки зрения газ является легко сжимаемой средой, но те изменения давления, которые возникают в газе при его движении, обычно недостаточны для сколько-нибудь существенного изменения его плотности. Газ перестает вести себя как несжимаемая среда лишь при скоростях, сравнимых со скоростью звука. 5 121. Формула Стокса Вернемся снова к силе сопротивления г', испытываемой движущимся в жидкости (или газе) телом.
При достаточно малых скоростях движения сила сопротивления всегда пропорциональна первой степени скорости. Для того чтобы получить такую зависимость из формулы г ==- ри'аэ7 (Ве), мы должны считать, что при малых скоростях функция 7(Ее) имеет вцд 7(Ке)= сопз1/йе.
Тогда мы получим г .=- сонэ( тати. 71ы видим, что из пропорциональности силы сопротивления скорости движения автоматически следует также и ее пропорциональность линейным размерам тела (и коэффициенту вязкости жидкости). Определение коэффициента пропорциональности в этом законе требует более детальных вычислений. Для движенчя шара в жидкости оказывается, что сопз1=6п, т.
е. г =-бппаи, где а — радиус шара (эта формула называется формулой Стокса). 3»8 [гл. хч ВЯЗКОСТЬ Изложенное выше рассуждение позволяет указать более точно, чтб именно подразумевается под «достаточной малостью» скорости движения, обеспечивающей применимость формулы Стокса. Поскольку речь идет о виде функции Г(Ке), то искомое условие должно относиться к значениям числа Рейнольдса, а поскольку число Ке и скорость и (прн заданных размерах тела) пропорциональны друг другу, то ясно, что условие малости скорости должно быть выражено в виде условия малости безразмерного числа Ке: ке=- —.» 1.
Отсюда видно, что условие «достаточной малости» скорости имеет относительный характер. Фактическая величина допустимых скоростей зависит от размеров движущегося тела (и от вязкости жидкости). При очень малых размерах (например, для взвешенных в жидкости мельчайших частиц, совершающих броуновское движение) формулу Стокса можно применять и для скоростей, которые с других точек зрения уже нельзя было бы считать малыми. Если шар движется в жидкости под влиянием действующей на него внешней силы Р (напрнмер, силы тяжести с учетом частичной потери веса в жидкости), то, в конце концов, установится равномерное движение с такой скоростью, при которой сила Р как раз компенсирует силу сопротивления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
