1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 31
Текст из файла (страница 31)
давление отличается от плот- ности постоянным множителем ЛТ, поэтому такое же урав- нение справедливо и для давления р е-и ты В случае поля тяжести вблизи земной поверхности по- тенциальная энергия молекулы на высоте г равна [/= — тдг, где т — масса молекулы. Поэтому', если считать температуру газа не зависяшей от высоты, то давление р на высоте г будет связано с давлением р, на поверхности Земли соот- ношением Р =Рче ™м ° Эту формулу называют барометрической формулой. Ее удобнее представить в виде р = рее-иеттлт где р — молекулярный вес газа, Я вЂ” газовая постоянная.
Эту формулу можно применять и в случае смеси газов. Поскольку молекулы идеальных газов практически не взаимодействуют друг с другом, каждый газ можно рассмат- ривать отдельно, т. е. аналогичная формула применима к парциальному давлению каждого из них. Чем больше молекулярный вес газа, тем быстрее его давление убывает с высотой. Поэтому атмосфера по мере увеличения высоты все более обогащается легкими газами; кислород, например, убывает в атмосфере быстрее, чем азот.
Следует, однако, иметь в виду, что применимость баро- метрической формулы к реальной атмосфере весьма ограни- чена, поскольку атмосфера в действительности не нахо- дится в тепловом равновесии и ее температура меняется с высотой. Из формулы Больцмана можно сделать интересное зак- лючение, если попытаться применить ее к атмосфере на лю- бых расстояниях от Земли. На очень больших расстояниях от земной поверхности под У нужно понимать не туг, а точное значение потенциальной энергии частицы и= — о —, Л6и Г 5 55) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА !75 где 0 — гравитационная постоянная, М вЂ” масса Земли и г — расстояние от центра Земли (см.
5 22). Подстановка этой энергии в формулу Больцмана дает следующее выражение для плотности газа: п=п есм М', где мы обозначили теперь плотность газа в месте, где (/=0 (т. е. на бесконечном расстоянии от Земли) через и„. Положив здесь г равным радиусу Земли )с, найдем соотношение между плотностью атмосферы на поверхности Земли па и на бесконечности и„: и = п е Опт(ААГ. Согласно этой формуле плотность атмосферы на бесконечно большом расстоянии от Земли должна была бы быть отлична от нуля. Такой вывод, однако, абсурден, так как атмосфера имеет земное происхождение, и конечное количество газа не может быть распределено по бесконечному объему с нигде не исчезаюгцей плотностью.
Мы пришли к этому выводу потому, что молчаливо предполагали атмосферу находящейся в состоянии теплового равновесия, что не соответствует действительности. Но этот результат показывает, что гравитационное поле вообще не может удержать газ в состоянии равновесия, а потому атмосфера должна непрерывно рассеиваться в пространстве. В случае Земли это рассеяние чрезвычайно медленно, и за все время своего существования Земля не потеряла сколько-нибудь заметной доли своей атмосферы. Но, например, в случае Луны с ее гораздо более слабым полем тяготения потеря атмосферы происходила гораздо быстрее, и в результате Луна в настоящее время атмосферы уже не имеет. й 55.
Распределение Максвелла Тепловая скорость пт представляет собой некоторую среднюю характеристику теплового движения частиц. В действительности различные молекулы движутся с различными скоростями и можно поставить вопрос о распределении молекул по скоростям: сколько (в среднем) из имеющихся в теле молекул обладает теми или иными скоростями? Решим этот вопрос для идеального газа, находящегося в состоянии теплового равновесия. Для этого рассмотрим 1тв [гл.
чн теплотл столб газа, находящийся в однородном иоле тяжести. Будем сначала интересоваться распределением молекул по значениям лишь одной (вертикальной) компоненты скорости, о,. Обозначим посредством и) (о,) с(о, число молекул в 1 см' газа, у которых значение этой компоненты лежит в бесконечно малом интервале между некоторым о, н о,+с[о,. Здесь п — полное число молекул в данном объеме, так что функция )(о,) определяет долю числа молекул с тем или иным значением о,.
Рассмотрим молекулы со скоростями в интервале сЬ„ находящиеся в бесконечно тонком (толщины Йг) слое газа на высоте г. Объем этого слоя совпадает с с[г (если площадь сечения столба газа 1 см'), поэтому число рассматриваемых молекул равно и (г) ) (о ) с[о~ с[г, где п(г) — плотность газа на высоте г. Двигаясь как свободные (столкновениями в идеальном газе можно здесь пренебречь), эти молекулы с течением времени перейдут на некоторую другую высоту г', заняв слой толщины йг' и приобретя скорости в интервале между некоторым о,' и о,' +Й~;.
Неизменность числа эт'их молекул выражается равенством и (г) Г (о,) сЬ,й = и (г') ~ (о,') Йо,'(г'. При движении в поле тяжести горизонтальные составляющие скорости (о„, о ) не' меняются, а изменение о, определяется законом сохранения энергии, согласно которому — + пег =' — +Ляг . Дифференцируя это равенство (при заданных постоянных значениях г и г'), получим соотношение о,сЬ, = — оЩ между интервалами ~Ь, и по;, в которых заключены вертикальные скорости рассматриваемых' молекул на высотах г и г'.
Толщины же слоев Иг и Йг' связаны друг с другом соотношением аг "г о й 551 гхспгвделеиие мхксвеллх 177 оно выражает собой просто то обстоятельство, что за время е(7=е(г/о„в течение которого молекула пересекает слой с(е на высоте г, на высоте г' она пройдет расстояние Й'=охи. Перемножив почленио оба соотношения, найдем Йфе =ЙЩ . Поэтому в написанном выше условии постоянства числа молекул дифференциалы в обеих сторонах равенства взаимно сокращаются, и мы получаем и (г) ) (о.) = и (е') 1 (о,').
С помощью барометрической формулы находим отсюда: 1(о*) о (е) - — е и†ч — * = —,=е ег Ф,) п (г') Вспомнив теперь, что получим:. 1(о,)е =) (о,')е т. е. зто произведение есть константа, не зависящая от о,. Другими словами, функция 1(о,) имеет вид жид т 7(о,) =сонэ(е зм'. (Обратим внимание на то, что ускорение силы тяжести в зту формулу не вошло. Так и должно быть, поскольку механизм установления распределения молекул газа по скоростям заключается в столкновениях молекул друг с другом и не имеет отношения к внешнему полю; последнее играло в изложенном выводе лишь вспомогательную роль: введя зто псле, мы связали распределение по скоростям с уже известной нам формулой Больцмана.1 Мы нашли равновесное распределение молекул по значениям одной отдельной компоненты их скорости. Доля же молекул, обладающих определенными значениями всех трех компонент скорости одновременно, получится, очевидно, ТЕПЛОТА )гл.
чи перемножением долей молекул, обладающих определенными значениями каждой из компонент в отдельности. Другими словами, полная функция распределения имеет вид 2 2 2 '""2 '"2д ~(О2, и, О,) =сонате '2" е 2"'е 2"'. Складывая показатели степеней и замечая, что сумма и„'+ +О'„+и,' есть квадрат О' абсолютной величины скорости, получаем окончательно ~=сонате '"'. Таким образом, число 2йУ молекул в газе, компоненты скорости которых лежат в интервалах между О„, и, и, и О„+Нп„, О +2Ь, и,+ОЬ„есть йу =- сопз| е 22г ПЬ сЬ сЬ (постоянный коэффициент сопз1 определяется условием, чтобы полное число молекул со всеми возможными значениями скоростей было равно заданному числу Ф молекул в газе; мы не будем выписывать здесь значение этого коэффициента).
Полученная формула называется формулой распределения Максвелла. Обратим внимание на аналогию между этой формулой и формулой Больцмана для распределения плотности газа по пространству во внешнем поле: в обоих случаях лпл имеем дело с экспонепциальным выражением вида Ат Л222 где е — энергия молекулы: кинетическая энергия — в слу- 2 чае распределения по скоростям или потенциальная энергия ~/(х, у, г) во внешнем поле в случае распределения по пространству.
Такое выражение часто называют больцмаповашм мяожилмлем. Задание трех компонент О„, О„, О, определяет как величину скорости молекулы, так и ее направление. Но распределение молекул по направлениям скорости просто равномерно †всех направлениях летят в среднем одинаковые числа молекул. ~ЭТО следует из распределения Максвелла, в котором фигурирует только абсолютная величина 5 55~ РАспгедаление ялксвеллх 179 скорости и, но очевидно и заранее.
Если бы распределение скоростей по направлениям было неравномерным, то в газе существовало бы некоторое преимущественное направление движения молекул; это означало бы, что газ не покоится, а движется в некотором направлении.! Формулу Максвелла можно преобразовать так, чтобы она прямо отвечала на вопрос о распределении молекул газа по абсолютным значениям скоростей, вне зави-,в симости от их направления. Для этого надо просуммировать числа молекул, различающихся значениями компонент скорости о„.,о, о, при одинаковой сумме ~Р =- = о„'+ о'„+о,'. Это легко сделать, воспользовавшись Рвс. 2. следующей геометрической аналогией.
Если ввести систему координат, на осях которой откладываются значения о„, ~~, о„ то произведение гЬ„йуЬ, будет представлять собойобъембесконечно малого параллелепипеда с длинами сторон ~Ь„, гЬ, сЬ,. Мы должны просуммировать все такие элементарные объемы, находящиеся на одинаковом расстоянии от начала координат (очевидно, что и представляет собой длину «радиуса-вектораэ в этих координатах). Эти объемы заполнят шаровой слой между двумя бесконечно близкими сферами с радиусами о и о+гЬ. Его объем равен произведению площади сферической поверхности 4п~Р на толщину слоя гЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
