1611143553-a5dfe0cd78607269d954ff04820322e4 (825013), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть полукольцо первоначально отклонено ст положения равновесия на угол сг. Прн движении все точки паауяольца имеют одньт и ту же линейную скорость. Кинетическая энергия равна шггю(2. Изменение потенциальной энергни при повороте полукольца на угол а — ю равно шй (2/м) г (соз гр — соз а), так как центр тяжести находится на расстоянии (2/п)г от точки О (см. задачу 160). Приравнивая изменение кинетической энергии изменению потенциальной, имеем для ы выражение следующего вида: Отсюда вытекает, что математический маятник, имеющий длину пг/2, будет иметь тот же период колебаний, что н полукольцо.
Таним образом, искомый период равен Т=2п у'пг/26. 660. В положении равновесия пружина будет растянута на величину 1, которая определяется из соотношения М =тя. Положим, что в начальный момент времени груз покоится, а длина пружины по сравнению с равновесным .положением изменялась на хз. Если теперь систему предоставить самой себе, то груз будет колебаться около положения равновесия с амплитудой, равной ~х,~. В случае невесомого блока (М =О) период колебаний Тз=2л зг т/й.
Обозначим через х смещение груза, отсчитываемое от положения равновесия. Скорость груза в зависимости от х может быть найдена иэ закона сохранения энергии Д (хе+1)з яшз й (х+1)з 2 — шлх = — + э 2 2 — тйх. а-а. -*..-~'~Я вЂ” *'г Если М Ф О, то закон сохранения энергии запишется в форме Д (х +'1)э (гл+ М) оз й (х+1)з 2 шкхз = 2 + — — т -шлх. 2 о,„у, „,, гтгч~лм~ 'г. т ь втором случае (М ~0) груз движется так, как если бы его масса по сравнению с первым случаем увеличилась на.М. Следовательно, 1 1 т=ь ггьхвгт. 661. При смещении палки относительно положения равновесия на величину х действующая на палну сила окажется равной Р= — рйЯх, где р — плотность воды. Знак минус означает, что сила направлена против смещения х.
Согласно второму закону Ньютона колебания палки определяются уравнением ша= — р65х. Это уравнение совершенно аналогично уравнению Для колебания груза на пружине: та= — Ах. Так как для груза ю=йгг(Т = у" 67ш, то частота колебаний палки = — = — ~ — = 0,26 Гц. ю 1 -/р65 йм 2ц г т 662. Уравнение движения ртути имеет вид ма= — рйЗ. 2х, где х — смещение уровня ртути от положения равновесна. Уравнение движения имеет ту же форму, что к в случае колебаний груза на пружине. Понтону Т=йп г'т/2рдЗ ш 1,84 с, 668. Действующая на тело сила Р»/зупршг, где г — расстояние от центра Земли. Учитывая, что я»/зуяр/г, можно придать етому выражению следующую форму~ г Р =тй —. Здесь Я вЂ” радиус Земли.
Уравнение движения тела имеет внд «и= — — г = — дг. шл Сила пропорциональна смещению от положення равновесия и направлена к центру Земли. Следовательно, тело будет совершать гармонйческие колебаняя с частотой ю = )ГЗ/ш= )/8,Я. Отсюда период колебаний Т= 2п У ЛЯ. Тело достигнет центра Земли аа время Т и Я т= — = — у — ш 21 мин. 4 2 У Интересно, что время т совершенно не зависит от того, на каком расстоянии от центра Земли тело начнет свое движение. (Важно только, чтобы зто расстояние было много больше размеров тела.) 664.
Сила Р. действующая на отклоненный от положения равновесия груз, равна Р=2/з1пф (рис. 483). Так как угол ~р мал, то Рис. 483. можно считать, что Р=4/х/1, или Р=йх; где 8=4//1. Воспользо. вавшись формулой Т=2п)Рш/х, получаем для искомой величины следующее выражение: Т = 2п )/ ш//4~, 868. Рассмотрим сннфазные колебания двух грузов. При малом отклонении х сила Р не изменяется,, поскольку изменение длины пружины второго порядка малости и им можно пренебречь. Учитывая только первые степени х, уравнение двнженяя каждого груза 12» 888 можно записать в виде та = — Рх/!.
Отсюда легко определить период колебаний: Т=2н Р' т!1Р. 666. Есля грузы совершают колебания в противофазе, уравнение движения каждого груза, с точностью до первых степеней х, принимает вид х 2х 11 2Л ~= — Р— — Р= — — Р~ — + — ~х. 11' ' Г Н, Отсюда Т=йн фl + 667.
Можно, постепенно раскачивая дверь с частотой, равной собственной частоте колебаний двери. При резонансе амплитуда колебаний может достигать больших значений. 688. На основании закона сохранения энергии имеем ыз — (т!з+ Мг') = Муга — тя! (! — соз а), 2 где ы — угловая скорость вращения блока. Отсюда 2 (Муга — 2ту! з!и' (а12)) т!з+ Мгз Необходимым условием возникновения колебательного режима является равенство нулю угловой скорости при некотором значении пса/Л ВВ' 185' 1ВВ' Рнс.
484. угла а. При атом Мйга=2тд! з!пз(а!2), нли, введя обозначение о=Мг!т1, получим аа12=а!пз(а12). Каждому значению а соответствует определенное максимальное отклонение от положения равновесия а. которое определяется данным трансцендентным уравнением. 366 Решение этого уравнения проще всего осуществляется графи. чески. Для этого нужно построить кривую у=з!пз(сс)2) (рис.
484). Тогда пересечение этой ириной с прямой у=па!2 даст точку А, определяющую значение а при данном а. (Значение а, соответствующее пересечению этой прямой с другой ветвью кривой у= =,з!пз(а)2), недостижимо при заданных в задаче начальных условиях.) Очевидно, что наше уравнение имеет решение, отличное от нуля, только при а, меньшем некоторого предельного значения а„ которое определяется из условия, что прямая у=а а!2 касается кривой у=э!пз(сс)2) в точке С. Как видно из рис. 434, а т !33'. Следовательно, а»=2С1))ар = 0,73. Колебания возможйы при Мг!т1 ~ 0,73.
669. Ядро водорода состоит иэ одного протона, масса которого равна т. Ядро дейтерия — дейтрон †состо нз одного протона и одного нейтрона. Масса дейтрона 2т. Ядро трития состоит из одного протона и двух нейтронов. Масса трития Зт. Так как силы, действующие во всех трех случаях между ядрами, одинаковые, т. е. одинаков коэффициент жесткости й, то ! 1 1 вн: вп ™т = =: =: — = р' б: У3: 'гг2. Р' т Рг2ги йгзт 670. Обозначим смещение произвольно выбранного 1-го атомаот положения равновесия через х! = А соз (в(+ (ха), где х — произвольная величина. Тогда сила, действующая на и-й атом со стороны ближайших соседей, равна Р = йА (соз (в(+ (и+ 1) ка) + соз (в(+(и — !) ха) — 2 соз (в1+ ока)).
Из последнего выражения с помощью простых тригонометрических преобразований получаем Р= — йА соз (вг+лха) 4 з!пр(ха!2). Эапишем уравнение движения и-го атома: та„= — йА соз (в!+ яка) 4 з!пз (ха!2), где а„ вЂ ускорен и-го атома, равное а» = — взА соа (в)+ лха). Обозначим вр = й)т. Из написанных выше выражений получаем р ве =в».4 з!пз (ха/2), в»»2вр з!и (ха!2). Если рассмотреть цепочку из У атомов, то крайние атомы будут иметь по одному соседу. Чтобы не усложнять расчеты, в данном случае не будем учитывать краевые эффекты и воспользуемся условием периодичности для бесконечной цепочки, т.
е. будем считать, что условия колебания атомов, имеющих номера л, »Г+л, 357 2У+и, ЗУ+л н т. д., одинановы. В этом случае соз (ю1+аха) = сов [юг+(я+ У) ка) = сов [ы/+(а+2У) ка) н т. д. Отсюда для к получаем У различыых значений: 2п Ука=2пт, н= — т, где т=О, 1, ..., У вЂ” 1. Уа $26. Электрические колебания Рнс. 485. /.=РэУзЛ,/1, С =зэк/б, то т= — ~' Й 24 1ОзГц.
1 / 18 2 У ,Р,У 5,5, = 673. Частота собственных колебаний контура определяется формулой Томсона ы= 1/~г БС. 1) Если в катушке находится медный сердечник, то прв периодических изменениях магнитного поля катушки в нем возникнут индукционные токи (токи Фуко)', магнитное поле которых будет ослаблять магнитное поле катушки: Это приведет к уменьшению индуктнвности катушки и, следовательно, к увеличению частоты ы.
2) Если высоты в катушку сердечник из феррита, то магнитное поле катушки увеличится. Соответственно увеличится индуктивность 5 катушки. а частота м уменьшится. 674. В системе возникнут незатухающие (если пренебречь незначительными потерями энергии на излучение электромагнитных волн) 671. Без постоянного магнита было бы удвоение частоты колебаний. В атом случае при прохождении через катушку телефона си- нусоидального тока мембра// на совершала бы два колебаныя за один период колебаний тока, так как график напрюкенности магнитного поля Н, создаваемого этим током, имел бы вид, указанный на рис. 485, а, а сила // притяжения мембраны ке зависит от знака Н.
Пря иалични постоян- ного магнита, создающего лу напряженность магнитного поля, превышающую максимальную напряженность поля тока, график результирующей напряжениостя имеет выд, изображенный на рис. 485, б. Поэтому одно колебание тока будет соответствовать одному колебанию мембраны, и звук будет значительно меньше искажаться. 672. Частота собственных колебаний т= 1/2н и' БС. Так как колебания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
