Главная » Просмотр файлов » Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku

Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 109

Файл №810773 Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku) 109 страницаFedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773) страница 1092020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 109)

Тогда операция исключения дефектной точки из схемы не производится и работает первый способ учета асимптотики (15). 514 нгивлиженныв методы вычислительной физики 1ч. и Итак, алгоритм построен. Ои основан ие иа точной теории, а иа соображениях, привлекаемых из близких ситуаций (в которых эти соображения являются результатом достаточно аккуратной теории). Такой способ действия характерен для вычислительной физики. В ией редко встречаются чистые, укладывающиеся в уже готовую теорию задачи. Специалист по вычислительной физике обычно начинает построение алгоритма «по аналогии» с тем, что ои уже знает, и начинает именно с практического использования своего алгоритма, а ие с развития соответствующей ему теории.

Это понятно: ведь алгоритм может оказаться неудачным и стоит ли тогда строить теорию? Если же ои оказался удачным, наступает время решать прикладиые задачи, а теория может и подождать. , В данном случае, конечно, в первую очередь хочется повять, удачен ли алгоритм или надо в ием что-то менять.

Естественным средством проверки алгоритма является решение задачи, имеющей точное решение и содержащей характерные для данного случая трудности. Такая задача может быть построена. В круге единичного радиуса в центре помещена скважина малого радиуса.

Коэффициент диффузии берется в виде (1 — г)51з. поскольку задача цилиндрически-симметричиа (ее решение зависит только от г), уравнение диффузии становится обыкновенным уравнением; -„'-„"„~г(1 —.)" Я =У= 1, .~(0, Ц. Оио элементарна интегрируется: где Сы Сз — произвольные постоянные. Ограниченное решение находим при С, = — У/2.

Постоянная Сз ие существенна, положим Сз = О. Это решение имеет корневую особенность иа внешней границе (г = 1) и логарифмическую — в центре. Преобразованием подобия получим решение уравнения (2) в области р ~ г(х, у) к Я, где р = 0.1, Р = 250. Постояииую У легко подобрать так, чтобы выполнялось внутреннее краевое условие: р = 1.2 иа границе скважины, Задача решалась с помощью метода конечных супер- элементов иа квадратной сетке с шагом Н = 17. Число счетных узлов было около б50.

Заметим, что граница исходной области (окружиость г= М) аппроксимируется контуром (Х„У,) достаточно аккуратно, хотя область определения счетных величин р (миожество счетных узлов) аппроксимирует круг г и я очень грубо. Вычислительный эксперимент имел целью выяснить два обстоятельства1 как сходятся итерации и какова точность разиостиого решения? Сходимосгь итерационного процесса (использовался второй способ) иллизстрирует табл. 24, в которой представлены: т — число итераций, в — невязка (максимум по (?е, т) модуля левой части (1б)), 515 ззИ метод конечных стоя»элементов ю — значение параметра релаксации в (18). Итерации начинались с рз = О, значеиия сз 4 -." 5.

Из таблицы видно, что при ю = 1 невязка быстро достигает малых значений, затем сходимость становится очень медленной: за первые 200 итераций невязка уменьшается почти в 104 раз, в дальнейшем за 200 итераций она уменьшается примерно вдвое. Как расценить этот результат? С одной стороны, погрешность в правой части (порядка 0.01 ), кажется, не требует существенного улучшения, с другой стороны, медленная сходимость внушает какую-то тревогу.

Обычно она свидетельствует о том, что оператор (здесь д1« из 8гад) имеет собственное значение, близкое к нулю. В з 14 специально отмечалось, что связь между невязкой и погрешностью определяется минимальным собственным значением: погрешность есть величина порядка невязки, деленной на ) Х щ ). В рассматриваемой задаче есть основания подозревать наличие очень малого собственного значения. В самом деле, легко угадать функцию, которая является «почти собственной» с собственным числом Х = О. Это есть функция р(х, у) ш 1. Она удовлетворяет «почти всем уравнениям» б)т (и' 8гадр) = О.

Не выполнено только однородное краевое условие на скважине: р= О на д8. Конечно, од Х = 0 не является собственным зиачением, но приведенное выше рассуждение служит о,4 основанием ожидать близкого к нулю собственного значения, тем более близкого, чем од меньше радиус скважины. Действительно, результаты, приведенные в табл, 24, показывают, что дальнейшее Рис. 65 уменьшение иевязки (казалось бы, излишнее) сопровождается заметным изменением важных величии р', р". Это значения рк, взятые на луче, выходящем из центра скважины по диагонали сетки: р' — первое значение р на луче (на расстоянии Н! П ог центра скважины), р" — последнее, почти граничное значение р на луче.

Видно, что уточнение в процессе итераций решения системы разностных уравнений до значений з ж 10 ь имело смысл. Таблица 24 дает представление и о точности самой разностиой схемы (при шаге Н= 17). Значения точного решеиия в соотвегст- 1ч. и ПРИБЛЮКЕИИЫЕ МЕТОДЫ ЕЫЧИСЛИТЕЛЬИОЙ ФИЗИКИ 516 вующих точках суть 0.680 и 0.124. На рис.

66 представлено точное решение в сечении по линии х = у, проходящей через центр скважины. Кстати, значение р на скважине есть 1.2. Приближенное решение отмечено кружхами. Расчет трещины гидроразрыва. Метод Пикара. Расчет трещины гидроразрыва привел к системе двух уравнений, содержащих неизвестные и и р, причем уравиение (1) при известном р решается методом, описанным в З 30, уравиеиие (2) при известном и решается так, как было описано выше. Это типичная ситуация, в которой естественно начинать работу с самого простого итерационного метода — метода Пикара. В данном случае ои оказался удовлетворительно сходящимся.

В основных чертах стандартная итерация состоит из следующих операций. О. Пусть имеется некоторое приближение и, р. 1. Фиксируя р, решаем уравнение (1), причем находится как грубое решение, тах и уточненные на локальных сетках решения, позволяющие достаточно аккуратно оценивать коэффициеит концентрации напряжений на контуре дР(ч), Ои используется в дальнейшем при аппроксимации уравнении (2) вблизи контура. 2. Рассчитываем коэффициенты схемы метода хоиечных супер- элементов (16): се Р, сь „,, т к, Рл, 1, у = — 1, 1.

эти десять двумерных массивов хранятся в памяти ЭВМ: расчет коэффициентов достаточно сложен, чтобы его производить заново при каждом обращеиии к точке (х, ль). (В методе конечных разиосгей коэффициенты схемы часто вычисляются так просто, что их не имеет смысла вычислять заранее и хранить.) 3, С учетом асимитотики (14) в соответствии с формулой (15) корректируем коэффициенты схемы в тех внутренних узлах сетки, в которых шаблои 9-точечной схемы включает дефектные счетные точки. 4.

Решаем уравнение (2) для р при фиксированном и. Далее процесс повторяется до стабилизации результата. Под решением уравнений (1), (2) выше понимается некоторое число итераций, причем в качестве начального приближения, естественно, берутся имеющиеся к этому моменту приближенные значения и, р. О достигнутой точности можно судить по невязкам в уравнениях (!), (2). Следует только подчеркнуть, что эти невязки вычисляются дважды: иа входе в итерационный и- и р-процессы и на их выходе. Невязки на выходе позволяют контролировать сходимость внутренних итерационных процессов, но ничего не говорят о сходимости внешнего, полного, итерационного процесса.

О ней информацию дают именно невязки, вычисленные иа входах в каждый внутренний процесс. Если оии достаточно малы, это свидетельствует о том, что полученное приближение хорошо удовлетворяет совместной системе уравнений (1), (2). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Абрамов А. А. Вариант метода прогонки //жВмимФ. 1961. т. 1, хт 2 2. Абрамов А. А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных уравнений //ЖВМиМФ. ! 961. Т. 1, Ьв 3 3. Азатлн В. В., Коган А М., Нейеауз М.

Г. Роль самоцозгорания при горении водорода вблизи предела воспламенения ДКинетика и катализ. 1973. Т, ХЧ1, Вып. 3. 4. Алалыкин Г. Б., Годунов С. К, Киреева И.Л., Плинер Л. А. Регпение одномерных задач газовой динамики. — Мл Наука, 1970 5. Алберг Дж., Нельсон Э., Уолги Дж. Теория сплайнов н ее приложения. — Мл Мир, !972 6, Алексеев В. М., Тихомиров В.

М. Оптимальное управление. — Мл Наука, 1979 7. Арнольд В. И. Математические методы классической механики — Мл Наука,! 974 8. Астроханцее Г. П. Об одном итерационном методе //ЖВМиМФ. 1971. Т. 11, КВ 2 9. Бабенко К. И. Основы численною анализа. — Мл Наука, 1975 !О Бабенко К И., Воскресенский Г П., Любимое АН., Русонов В В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. — Мл Наука, 1964 !!. Бабенко К. И. (ред.1 Теоретические основы и конструирование алгоритмов решения задач математической физики /Анучина Н.

Н., Бабенко К. И., Годунов С. К. и др. — Мл Наука, 1979 12. Бабушка И., Собавее С. Х Оптимизация численных методов //Арйсасе Ма!еж. Ятазее. !965. Нт 1О. С. 96 !3. Багриновский К А., Годунов С. К Разностные схемы длв мноюмерных задач ///!АН СССР. 1957. Т. 1!5, Кч 3 14. Байдин Г. В., Федоренко Р. П. О приближенном решении некоторых негладких вариациониых задач.

— Препринт ИПМ им. М. В, Келдыша, 1985, Кч 76 15. Байдин Г. В., Федоренко Р. П. Опыт приближенного решения задач о стационарном течении вязкопластической среды. — Препрннт ИПМ им. М. В. Келдыша. 1985 !ЧО 145 16. Боничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций. — Мл Наука, !986 17. Бахжиое Н. С. О сходнмостн одного релаксационного метода //ЖВМнМФ. 1966. Т. 6, 88 5 18, Бахвалов Н. С. Численные методы, — Мл Наука, !975 19. Бахвалов Н. С., Жидков П.

П., Кобельков Г. М. Численные методы. — Мс Наука, 1987 20. Беллмен Р., Калаба Р. Квазилннеаризация н нелинейные уравнения. — Мл Мир, 1968 21. Белоцерковский О,М. Численное моделирование в механике сплошных еред. — Мл Наука, 1984 22. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупнмх частиц.

— Мл Наука, 1982 23. Блехер П. М., Турчанинов В, И. Построение собственных функций двумерного оператора Шрединюра с периодическим потенциалом. — Препринт ИПМ АН СССР. 1978, Кч 1 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 518 24. Боголюбов и. и., митропольский Ю. А. Аснмпготические методы в теории нелинейных колебаний, — Мс Физматгиз, 1955 25, Болтянский Б.Г. Математические методы оптимального управлении. — Мл Наука, 1969 26.

Бутковский А. Г.Методы управления системами с распределенными параметрами. — Мл Наука, 1975 27. Борис Длс П., Бук Д. Л. (Вогй /. Р., Воой О. 1..) Р(их-соггес(ед 1гапзрог( 1: ВНАВТА — а Пшд (гаащогт а18опйтш (Наг аогкз //1, Сошр. Рнуз. ! 973. 11. Р. 38 28. О'Брайен Г., Хайман М. А., Каплан С. (О'Впеп С. О., Нутая М. А., Карйт» 5.) А з(иду о1 пашет!са( зо1иноп о( рагба! ФИегепна! ециабопз //1. Майт. Рнуз. 195!.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,23 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее