Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Тогда операция исключения дефектной точки из схемы не производится и работает первый способ учета асимптотики (15). 514 нгивлиженныв методы вычислительной физики 1ч. и Итак, алгоритм построен. Ои основан ие иа точной теории, а иа соображениях, привлекаемых из близких ситуаций (в которых эти соображения являются результатом достаточно аккуратной теории). Такой способ действия характерен для вычислительной физики. В ией редко встречаются чистые, укладывающиеся в уже готовую теорию задачи. Специалист по вычислительной физике обычно начинает построение алгоритма «по аналогии» с тем, что ои уже знает, и начинает именно с практического использования своего алгоритма, а ие с развития соответствующей ему теории.
Это понятно: ведь алгоритм может оказаться неудачным и стоит ли тогда строить теорию? Если же ои оказался удачным, наступает время решать прикладиые задачи, а теория может и подождать. , В данном случае, конечно, в первую очередь хочется повять, удачен ли алгоритм или надо в ием что-то менять.
Естественным средством проверки алгоритма является решение задачи, имеющей точное решение и содержащей характерные для данного случая трудности. Такая задача может быть построена. В круге единичного радиуса в центре помещена скважина малого радиуса.
Коэффициент диффузии берется в виде (1 — г)51з. поскольку задача цилиндрически-симметричиа (ее решение зависит только от г), уравнение диффузии становится обыкновенным уравнением; -„'-„"„~г(1 —.)" Я =У= 1, .~(0, Ц. Оио элементарна интегрируется: где Сы Сз — произвольные постоянные. Ограниченное решение находим при С, = — У/2.
Постоянная Сз ие существенна, положим Сз = О. Это решение имеет корневую особенность иа внешней границе (г = 1) и логарифмическую — в центре. Преобразованием подобия получим решение уравнения (2) в области р ~ г(х, у) к Я, где р = 0.1, Р = 250. Постояииую У легко подобрать так, чтобы выполнялось внутреннее краевое условие: р = 1.2 иа границе скважины, Задача решалась с помощью метода конечных супер- элементов иа квадратной сетке с шагом Н = 17. Число счетных узлов было около б50.
Заметим, что граница исходной области (окружиость г= М) аппроксимируется контуром (Х„У,) достаточно аккуратно, хотя область определения счетных величин р (миожество счетных узлов) аппроксимирует круг г и я очень грубо. Вычислительный эксперимент имел целью выяснить два обстоятельства1 как сходятся итерации и какова точность разиостиого решения? Сходимосгь итерационного процесса (использовался второй способ) иллизстрирует табл. 24, в которой представлены: т — число итераций, в — невязка (максимум по (?е, т) модуля левой части (1б)), 515 ззИ метод конечных стоя»элементов ю — значение параметра релаксации в (18). Итерации начинались с рз = О, значеиия сз 4 -." 5.
Из таблицы видно, что при ю = 1 невязка быстро достигает малых значений, затем сходимость становится очень медленной: за первые 200 итераций невязка уменьшается почти в 104 раз, в дальнейшем за 200 итераций она уменьшается примерно вдвое. Как расценить этот результат? С одной стороны, погрешность в правой части (порядка 0.01 ), кажется, не требует существенного улучшения, с другой стороны, медленная сходимость внушает какую-то тревогу.
Обычно она свидетельствует о том, что оператор (здесь д1« из 8гад) имеет собственное значение, близкое к нулю. В з 14 специально отмечалось, что связь между невязкой и погрешностью определяется минимальным собственным значением: погрешность есть величина порядка невязки, деленной на ) Х щ ). В рассматриваемой задаче есть основания подозревать наличие очень малого собственного значения. В самом деле, легко угадать функцию, которая является «почти собственной» с собственным числом Х = О. Это есть функция р(х, у) ш 1. Она удовлетворяет «почти всем уравнениям» б)т (и' 8гадр) = О.
Не выполнено только однородное краевое условие на скважине: р= О на д8. Конечно, од Х = 0 не является собственным зиачением, но приведенное выше рассуждение служит о,4 основанием ожидать близкого к нулю собственного значения, тем более близкого, чем од меньше радиус скважины. Действительно, результаты, приведенные в табл, 24, показывают, что дальнейшее Рис. 65 уменьшение иевязки (казалось бы, излишнее) сопровождается заметным изменением важных величии р', р". Это значения рк, взятые на луче, выходящем из центра скважины по диагонали сетки: р' — первое значение р на луче (на расстоянии Н! П ог центра скважины), р" — последнее, почти граничное значение р на луче.
Видно, что уточнение в процессе итераций решения системы разностных уравнений до значений з ж 10 ь имело смысл. Таблица 24 дает представление и о точности самой разностиой схемы (при шаге Н= 17). Значения точного решеиия в соотвегст- 1ч. и ПРИБЛЮКЕИИЫЕ МЕТОДЫ ЕЫЧИСЛИТЕЛЬИОЙ ФИЗИКИ 516 вующих точках суть 0.680 и 0.124. На рис.
66 представлено точное решение в сечении по линии х = у, проходящей через центр скважины. Кстати, значение р на скважине есть 1.2. Приближенное решение отмечено кружхами. Расчет трещины гидроразрыва. Метод Пикара. Расчет трещины гидроразрыва привел к системе двух уравнений, содержащих неизвестные и и р, причем уравиение (1) при известном р решается методом, описанным в З 30, уравиеиие (2) при известном и решается так, как было описано выше. Это типичная ситуация, в которой естественно начинать работу с самого простого итерационного метода — метода Пикара. В данном случае ои оказался удовлетворительно сходящимся.
В основных чертах стандартная итерация состоит из следующих операций. О. Пусть имеется некоторое приближение и, р. 1. Фиксируя р, решаем уравнение (1), причем находится как грубое решение, тах и уточненные на локальных сетках решения, позволяющие достаточно аккуратно оценивать коэффициеит концентрации напряжений на контуре дР(ч), Ои используется в дальнейшем при аппроксимации уравнении (2) вблизи контура. 2. Рассчитываем коэффициенты схемы метода хоиечных супер- элементов (16): се Р, сь „,, т к, Рл, 1, у = — 1, 1.
эти десять двумерных массивов хранятся в памяти ЭВМ: расчет коэффициентов достаточно сложен, чтобы его производить заново при каждом обращеиии к точке (х, ль). (В методе конечных разиосгей коэффициенты схемы часто вычисляются так просто, что их не имеет смысла вычислять заранее и хранить.) 3, С учетом асимитотики (14) в соответствии с формулой (15) корректируем коэффициенты схемы в тех внутренних узлах сетки, в которых шаблои 9-точечной схемы включает дефектные счетные точки. 4.
Решаем уравнение (2) для р при фиксированном и. Далее процесс повторяется до стабилизации результата. Под решением уравнений (1), (2) выше понимается некоторое число итераций, причем в качестве начального приближения, естественно, берутся имеющиеся к этому моменту приближенные значения и, р. О достигнутой точности можно судить по невязкам в уравнениях (!), (2). Следует только подчеркнуть, что эти невязки вычисляются дважды: иа входе в итерационный и- и р-процессы и на их выходе. Невязки на выходе позволяют контролировать сходимость внутренних итерационных процессов, но ничего не говорят о сходимости внешнего, полного, итерационного процесса.
О ней информацию дают именно невязки, вычисленные иа входах в каждый внутренний процесс. Если оии достаточно малы, это свидетельствует о том, что полученное приближение хорошо удовлетворяет совместной системе уравнений (1), (2). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Абрамов А. А. Вариант метода прогонки //жВмимФ. 1961. т. 1, хт 2 2. Абрамов А. А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных уравнений //ЖВМиМФ. ! 961. Т. 1, Ьв 3 3. Азатлн В. В., Коган А М., Нейеауз М.
Г. Роль самоцозгорания при горении водорода вблизи предела воспламенения ДКинетика и катализ. 1973. Т, ХЧ1, Вып. 3. 4. Алалыкин Г. Б., Годунов С. К, Киреева И.Л., Плинер Л. А. Регпение одномерных задач газовой динамики. — Мл Наука, 1970 5. Алберг Дж., Нельсон Э., Уолги Дж. Теория сплайнов н ее приложения. — Мл Мир, !972 6, Алексеев В. М., Тихомиров В.
М. Оптимальное управление. — Мл Наука, 1979 7. Арнольд В. И. Математические методы классической механики — Мл Наука,! 974 8. Астроханцее Г. П. Об одном итерационном методе //ЖВМиМФ. 1971. Т. 11, КВ 2 9. Бабенко К. И. Основы численною анализа. — Мл Наука, 1975 !О Бабенко К И., Воскресенский Г П., Любимое АН., Русонов В В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. — Мл Наука, 1964 !!. Бабенко К. И. (ред.1 Теоретические основы и конструирование алгоритмов решения задач математической физики /Анучина Н.
Н., Бабенко К. И., Годунов С. К. и др. — Мл Наука, 1979 12. Бабушка И., Собавее С. Х Оптимизация численных методов //Арйсасе Ма!еж. Ятазее. !965. Нт 1О. С. 96 !3. Багриновский К А., Годунов С. К Разностные схемы длв мноюмерных задач ///!АН СССР. 1957. Т. 1!5, Кч 3 14. Байдин Г. В., Федоренко Р. П. О приближенном решении некоторых негладких вариациониых задач.
— Препринт ИПМ им. М. В, Келдыша, 1985, Кч 76 15. Байдин Г. В., Федоренко Р. П. Опыт приближенного решения задач о стационарном течении вязкопластической среды. — Препрннт ИПМ им. М. В. Келдыша. 1985 !ЧО 145 16. Боничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций. — Мл Наука, !986 17. Бахжиое Н. С. О сходнмостн одного релаксационного метода //ЖВМнМФ. 1966. Т. 6, 88 5 18, Бахвалов Н. С. Численные методы, — Мл Наука, !975 19. Бахвалов Н. С., Жидков П.
П., Кобельков Г. М. Численные методы. — Мс Наука, 1987 20. Беллмен Р., Калаба Р. Квазилннеаризация н нелинейные уравнения. — Мл Мир, 1968 21. Белоцерковский О,М. Численное моделирование в механике сплошных еред. — Мл Наука, 1984 22. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупнмх частиц.
— Мл Наука, 1982 23. Блехер П. М., Турчанинов В, И. Построение собственных функций двумерного оператора Шрединюра с периодическим потенциалом. — Препринт ИПМ АН СССР. 1978, Кч 1 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 518 24. Боголюбов и. и., митропольский Ю. А. Аснмпготические методы в теории нелинейных колебаний, — Мс Физматгиз, 1955 25, Болтянский Б.Г. Математические методы оптимального управлении. — Мл Наука, 1969 26.
Бутковский А. Г.Методы управления системами с распределенными параметрами. — Мл Наука, 1975 27. Борис Длс П., Бук Д. Л. (Вогй /. Р., Воой О. 1..) Р(их-соггес(ед 1гапзрог( 1: ВНАВТА — а Пшд (гаащогт а18опйтш (Наг аогкз //1, Сошр. Рнуз. ! 973. 11. Р. 38 28. О'Брайен Г., Хайман М. А., Каплан С. (О'Впеп С. О., Нутая М. А., Карйт» 5.) А з(иду о1 пашет!са( зо1иноп о( рагба! ФИегепна! ециабопз //1. Майт. Рнуз. 195!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
