Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 106
Текст из файла (страница 106)
и ближайших к угловой точке значения. Причина и здесь кроется в грубой аппроксимации угла ступенчатой ломаной. Дополнительный контроль — в расчете при р = 90 два крайних сголбца должны совпадать, так как соответствующие им лучи симметричны относительно биссектрисы угла. Динамика трещины. Выше было указано, что основным резуль- татом, извлекаемыы из расчета трещины, является коэффициент интенсивности напряжений на контуре трещины М(ч), так как именно эта функция определяет рост трещины и, в конечном счете, время разрушения конструкции, содержащей трещину.
При реше- нии задач динамики трещин использовалась теория, согласно которой считается известной функция г у1лп1 1чт1 и(У), имеющая смысл скорости про- 1 1 двпжения границы трещины (по на- 3 правлению нормали к ней) в зависимости от значения М в данной точке контура. Итак, если функция М(ц) известна, то контур трещины движется со скоростью и(Ф($)). Расчет динамики контура дб(г) проводится по схеме, напоминающей 1 простейшую схему интегрирования Эйлера.
Пусть известен контур на момент времени 1. При расчете треп1ины с данным контуром вычисляются «1(»ч), и(»ч] = и(Ж(ч)). Точнее, вычис- ляется последовательность и1 (эти величины имеют смысл смещения середины 1-го ребра в ортогональном к нему направлении). Обозначая точкой (х1, У1) середину 1-го ребра контура дс(г), при некотором ша- ге численного интегрирования т получаем точки ребра д0(Г+ х) по очевидным формулам Х, =Х;+ ти1л„', У,=У,+ти1л1 г где (л„', л') — вектор единичной нормали к 1чму ребру д0(1).
Ограничимся этим общим описанием, в котором опущены многие технические подробности процедуры. Она не так проста, как это может показаться иа основании того, что выше изложено. Сложности (и весьма значительные) связаны с характером зависимости и(л1). Нацример, для пластмасс и(1ч') ш М1«-'.-Мзо.
Такая резкая зависимость и от М приводит к тому, что погрешности вычисления М, неизбежные и, быть может, не очень существенные для велцчины М, при вычислении о резко возрастают и описанная выше процедура интегрирования подвержена сильной неустойчивости. Если какая-то точка на одном шаге «вырвалась вперед», она, как было указано вы- 5щ Ззн МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОЕ ше, становится точкой локального минимума М(8); на следующем шаге интегрирования она практически стоит на месте, и т.д, Рисунок 59 дает представление о том, как происходит расчет динамики трещины под воздействием неравномерной нагрузки г.
Показана эпюра нагрузки У(х, у) = г(у) и представлена форма трещины для моментов времени О, 5.14, б.бО, 7.152, 7.215, 7.259, 7.298, 7.330, 7.355, 7.373, 7.391, 7.407 (в последовательности снизу-вверх соответственно). Одним из средств визуального контроля является проверка симметричности. Решение должно быть симметричным относительно прямой, проходящей через центр трещины (начальный контур— симметричный эллипс).
Но с расчетной точки зрения правая и левая части области, конечно, несимметричны. При столь сильной зависимости О(М) и не такой уж высокой точности расчета ДР($) можно было бы опасаться сильного проявления этой расчетной несимметричности. Следы ее видны на рис. 58,но они едва заметны. й 31. Метод конечных суперэпементов Метод конечных элементов в настоящее время прочно вошел в арсенал фундаментальных вычислительных средств. Основная идея метода, его теория и практика применения описаны в многочисленных монографиях. Некоторые сведения о методе приеедены в й 3, обсуждается он также в 830 и в настоящем параграфе, посвященном специальной конструкции, которую можно трактовать как некоторое развитие идей метода конечных элементов. Она ориентирована на очень специфический класс задач, однако в различных приложениях все чаще возникают задачи с подобного рода особенностями.
Представление об их характере дает следующая задача. Задача о трещине гндроразрыва. Эта задача связана с проблемой использования геотермического тепла. Имеется «трещина»вЂ” разрыв сплошной среды; считается, что разрыв произошел по некоторой плоской области С. К трещине подводятся две (или больше) скважины, через которые протекает вода.
Под действием давления воды трещина раскрывается, приобретает некоторый объем, заполненный водой. Давление на скважинах поддерживается различным, благодаря чему одна из них является нагнетающей, другая — отбирающей. Возникает течение воды в трепшне: вода входит через нагнетающую скважину, некоторое время (в течение которого происходит нагрев воды) течет внутри трещины, затем выходит из трещины через отбирающую скважину. Перейдем к математической формулировке задачи.
Задана двумерная область О, в которой ищутся две функции: и(х, у), имеющая смысл раскрытии трещины (см. й 30) и р(х, у), имеющая смысл давления воды. Рассматривается установившееся течение: функции дог пгизлижвпныз методы вычислительной ьизикн 1ч. и не зависят от времени. Скорость однозначно связана с градиентом давления теорией течения вязкой жидкости в узком канале (формула Буссинеска): о(х, у) * ((2и)912 р) ягаб р, где 1ь — коэффициент вязкости. Итак, давление (и скорость течения) воды зависят от раскрытия трещины, последнее же зависит от давления. В результате получается следующая связанная система уравнений для и и р (см.
з 30): — — „Ь $$ -„и(х', у') йх'йу'= р(х, у) — р, (1) с где ро — заданная величина. Уравнение для р имеет вид б(т [изхгаб Р] = Я(х, У), (х, У) Е 6~Оде (2) Здесь Щх, у) — сток, связанный с фильтрацией воды через стенки трезцины. Будем считать Я заданной величиной, хотя в действительности Ц определяется решением специального уравнения, в которое входят р н и, Перейдем к постановке краевых условий. Для и краевые условия обычные (см. з 30): и ] зо = О. Сложнее обстоит дело с р. Уравнение (2) определено не в О, а в Феди где я, — площади, занимаемые скважинами. Это круги малого радиуса г, однако на их границах поставлены краевые условия р=р, на дя, (3) (Р, — заданное давление на 1-й скважине) .
Сложность задачи состоит в том, что скважины имеют размер, малый не только относительно размера трещины, но даже относительно приемлемого шага сетки Н. В расчетах, которые обсуждаются ниже, трещина имела форму круга радиусом Я = 250 м, шаг сетки Н= П м, а радиус скважины г = 0,1 м. Первая проблема в том, как учесть влияние скважины (а оно определяет всю картину рассчитываемого явления) в расчетной схеме со столь большим шагом. Собственно, ради таких ситуаций и разрабатывается расчетная схема метода конечных суперэлементов (МКСЭ).
В задаче есть еще одна нестандартная деталь — отсутствие явно заданных краевых условий для р на внешней границе дб. Это связано с тем, что в (2) из(х, у) играет роль коэффициента диффузии. Но и(х, у) уменьшается при приближении (х, у) к дб, как корень квадратный от расстояния до дб (см. З' 30). Следовательно, из стремится к нулю, как расстояние до дс в степени 3/2. Таким образом, уравнение (2) вырождается на границе. Теорию таких уравнений разрабатывал М.
В. Келдыш. Основной его результат состоит в том, что при определенной скорости обращения в нуль коэффициента диффузии в окрест- 503 йзц МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУОЕРЗЛЕМЕНТОВ ности границы области классические краевые условия для уравнения (2) ставиться не могут, их заменяет условие ограниченности решения. Мы имеем дело именно с таким случаем, и численная реализации условия ограниченности потребовала определенных изобретений. Эта особенность вычислительной схемы, однако, к методу конечных супер- элементов отношения не имеет.
Итак, сейчас основной вопрос: как учесть влияние скважины размером г ~ Н на сетке Н х Нт. Метод конечных суперзлемеитов (одномерный вариант). Начнем с разбора более простой ситуации. Пусть требуется решить одномерное уравнение диффузии й(Р(*( г) — А(*( =О, *е (О, х(, (4) с краевыми условиями, для простоты, первого рода. Интервал 10, Х] состоит изМинтерваловдлиной Н: Х = МН, где М ж 20 + 30, например. На интервале Н функции О(х), А(х) имеют достаточно сложное строение.
Например, интервал Н разбит на какое-то число частей, 'в каждой из которых 0 и А имеют постоянные значения. Пусть, наконец, имеется неболыпое число типов таких отрезков длииой Й, а вся система длиной Х каким-то образом скомпонована из стандартных кусков длиной Н. Эта ситуация моделирует (конечно, упрощенно) некоторые характерные трудности, с которыми сталкиваются при расчете такого важного объекта, как современный энергетический атомный реактор. Можно ли в таких условиях, когда описание физической структуры области явно требует сетки с шагом 6 в: Н, тем не менее построить расчетную схему стандартного типа с шагом Н? Оказывается, можно, хотя это связано с некоторыми затратами.
Рассмотрим стандартный интервал длиной Н, который входит в компоновку всей задачи. Оснастим его двумя базисными функциями, обозначив их (р((х), рз(х). Функцию р( определим как решение уравнения (4) с краевыми условиями (р,(0) = 1, р,(Н) = О. Функцию рз определим точно так же, но с краевыми условиями (рз(0) =О, рз(Н) = 1. Если быть аккуратным, то зти функции следует отметить еше одним индексом — номером типа той стандартной ячейки длиной Н, для которой они рассчитаны; р';(х) (( 1, 2). Говоря о решении (4), мы имеем в виду решение по стандартной схеме с шагом 6 (с1, обеспечивающим нужную точность в обычном смысле сЛова. Такие базисы должны быть рассчитаны для всех типов ячеек, которые могут встретиться в компоновке исходной задачи.
Эта конструкция отличается от стандартной конструкции метода конечных элементов только тем, что в методе конечных элементов базис строится из общих, не связанных с решаемой задачей соображений и функции р, выписываются явно: например, р,(х) = 1 — хУН, рз(х) ~ хУН. пгивлюквнныв мвтоды вычислитвльной физики ~ч, и 504 Область полного расчета (О, Х) покрывается стандартными конечными элементами (в данном случае, отрезками длины Н, оснащенными своими базисами). Получается обычная сетка точек х = тН, в которых определена сеточная функция и„. Теперь мы имеем процедуру восполнения сеточной функции (и )~ до непрерывной и(х), Это в сущности есть специфическая интерполяция: и(х) = и р',(х) + и, р~~(х), х Е [х~, х,], (5) Здесь ~ — тнп элемента, помещаемого на интервале (х , х Заметим, что в силу специального выбора базиса функция и(х) непрерывна и почти всюду, за исключением точек х , удовлетворяет решаемому уравнению (мы отвлекаемся от погрешностей расче-га базиса).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
