Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Перейдем к описанию метода уточнения расчетов около дб, Сначала, однако, обсудим возможности стандартных способов такого уточнения. Простое уменьшение шага, как уже отмечалось, делает расчеты слишком дорогими. В технике метода конечных элементов проблемы адаптации к сложному, нерегулярному виду границы области решают, используя конечные элементы с носителями неправильной формы. Это позволяет аппроксимировать ПРИБЛИЖЕННЫЕ МВТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ границу не ступенчатой кривой, а, например, набором малых хорд.
Сложный характер решения вблизи границы (10) учитывается тем, что вместо стандартных базисных функций в ячейках сетки, примыкающих к границе, вводятся функции, уже содержащие особенность требуемого типа (корневую, в данном случае). Однако, как нетрудно понять, применение таких методов разрушает «теплицеву» форму матрицы А, и приходится работать с общей четырехиндексной матрицей А"; )", причем эта матрица — индивидуальная для каждой области. К таким же последствиям приводит и прием «регуляяризации». Можно искать решение в форме и(х, у) = з/Ф(х, у) О(х, у), где Ф(х, у) — известная функция, положительная в ы и без касания обращающаяся в нуль на дО (построение такой функции в общем случае не так-то просто!), О(х, у) — подлежащая расчету функция, уже не содержащая корневой особенности.
Изложенный ниже метод позволяет заметно уточнить расчет и около границ, достаточно надежно определить Ф($) н сделать первые шаги в расчете роста трещин без существенного увеличения объема вычислений. Начнем с описания области О. Она задается своим контуром д0, последгнс. ББ ний — набором вершин (Х;, У;) (1= 1, 2, ..., Г).
Каждые две соседние вершины контура (1-я и (1+ 1)-я) соединяются отрезком прямой (который называется 1-м ребром). Таким образом (так как 1-я вершина совпадает с первой) мы получаем замкнутую кривую («полигон»). При достаточно большом 1 (около 100 в расчетах) эта кривая хорошо аппроксимнрует те, в конце концов не такие уж сложные контуры, которые встречаются в прикладных расчетах. Первый этап расчета проводится так, как это было описано выше, на сетке с некоторым относительно грубым шагом л, Он дает нам «грубое решение» У», которое по иитерполяционной формуле (б) восполняется до непрерывной в Оь функции У(х, у). Следующий этап расчета — уточнение решения окало контура.
Он состоит из 1 отдельных задач. Около каждого 1-го ребра строится своя локальная малая область Озн покрытая сеткой с шагом йи Сетка строится так, что 1-е ребро проходит по линии сетки (рис. 5б), а область Оз, покрывает некоторую окрестность 1-го ребра. После этого решается задача (1) в предположении, что в 0~«з, решение уже известно (это «грубое» решение ьг) . Такая локальная задача имеет форму — — б ~ ~ — и(х', у') Б(х' Ыу' = Ях, у), (х, у) Я Озн (11) У,.(х, у) = Дх, у) + — „Л ~ ~ — И(х', у') Ых' г(у'. (12) Ы», В зо1 псзздодиьфзгзнцидльныв ггАзнзния Задана (11) решается стандартным образом. Хотя число таких уточняющих задач велико (около 100), число узлов в со, относительно мало (около 100 прн Ь,.
6/3). Объем вычислений так сильно зависит от числа узлов, что решение всех вспомогательных задач требует примерно того же машинного времени, что и получение грубого решения. Следует подчеркнуть, что наиболее трудоемкий элемент вышеизложенной методики — не решение системы (11), а ее формирование, т.е. вычисление /, по формуле (12). Именно этому элементу надо уделить особое внимание. Функции /,, вычислялись так. Сетка с шагом л, продолжалась на несколько шагов за пределы юг Вдоль границы о>,, выделялся некоторый «пояс», покрытый сеткой с малым шагом Л, Интеграл по поясу от грубого решения вычислялся достаточно аккуратно с помощью матрицы А".
В этом поясе значение У ннтерполировалось в узлы сетки по формуле (6). Такая аккуратная процедура связана с тем, что при вычислении этой части интеграла нужно учитывать сннгулярность ядра интегрального преобразования (1). В остальной части О1ю, ситуация проще. Ядро уже гладкое, оно быстро убывает (как 1/гз). Функция 1/(х, у) тоже достаточно гладкая. Поэтому соответствующая часть интеграла в (12) вычисляется на более грубой сетке с шагом (2-ь 3) /ь Разумеется, точность подобной методики нуждается в тщательном контроле. Проверка методики. Описанный вьппе метод расчета трещин проходит стадию становления; опыт его применения пока ограничен.
В такой ситуации естественно встает вопрос о доверии к полученным результатам, о контроле самой методики. В вычислительной физике эта проблема всегда возникает при освоении нового класса задач, И решается она специфическими, не очень строгими методами. Математически строгие оценки либо отсутствуют, либо настолько грубы, что реального представления о точности расчетов не дают. Ниже мы опишем и обсудим те средства контроля, которые использовались в этой задаче. По своему характеру они типичны в вопросах подобного рода.
Основное средство контроля — сопосгавление расчетов с некоторымн известными точными решениями (например, известны решения (1) в эллипсе при линейной зависимости / от х, у). Такие сравнения проводились, их результат был признан положительным. Что это означает, мы,обсуждать не будем, отсылая читателя к специальным подробным публикациям. С методической точки зрения здесь все ясно. То же самое относится и к сравнению с некоторыми приближенными аналитическими решениями (например, для трещин в форме вытянутого прямоугольника известны аснмптотики решения вблизи середины длинных сгорон границы).
ш — 1взз 493 огизлвквиныв методы вычислитгльнов «и»яки 1ч. и мз аю' ' о Перейдем к так называемым «внутренним» средствам контроля. Это рчень важный элемент контроля, постоянно используемый не только при создании новой методики, но и при проведении серийных производственных расчетов. 1, Один из таких способов контроля — расчеты на разных сетках.
Хотя возможности менять сетку, как было уже объяснено, в данном случае весьма ограничены, небольшое число контрольных расчетов с уменьшенным вдвое шагом было все же проведено. 2; При решении вспомогательных задач на каждом ребре размещается до 10 узлов Ь;-сетки, т.е. можно говорить о функции МД), представленной иа сетке, содержащей более 500 узлов. На каждом ребре Ф(ч) вычисляется по своей сетке (эти сетки между собой не согласованы), и при наличии грубых погрешностей в вычислении М функция МЯ) на полном л« контуре может «распасться» на аз несогласованные друг с другом 'ам куски (соответствующие разным ребрам). Таким образом, одно из средств контроля'— $ просто визуальный анализ «ь з ю; функции ~Й1) на контуре.
На рис. 57 показаны граРиа 57 фики функций М~(~) и Фп(г), полученные при решении одной и той же задачи, в которой область С имела форму «банана». Два графика отвечают разному числу ребер полигона, аппро-: ксимирующего контур (в расчете! их больше, чем в расчете 11), Видно, что участки М(г), соответствующие разным ребрам, хорошо согласуются между собой, хотя заметны и небольшие разрывы..Следует учесть, чт в этих расчетах начало отсчета параметра Ц оказалось в разных точках контура, Обратим внимание на то, что участки, соответствующие разным ребрам контура, имеют форму выпуклых вверх или вниз дуг с достаточно большим перепадом, который, однако, существенно уменьшается при расчете с более короткими ребрами.
Это не случайный эффект. Дело в том, что функция МЯ) очень чувствительна к кривизне контура. Угловые точки контура с внутренним углом, ббльщим л, являются точками локального максимума М(Ч). ЕСли этот угол меньше и (угол «выступает» из области), такая точка является точкой локального минимума. Грубо говоря, значение М(г) тем больше, чем больше около граничной точки $ области трещины (и наоборот). Таким образом, «волнистый» внд ФД) есть счетный эффект, связанный с аппроксимацией контура кусочно-линейной кривой. Величина этих паразитических колебаний уменьшается при более точной аппроксимации гладкого контура «полигономы 8 301 псевдодиббвгенцнлльныв ттлвнвния 3. Еще один способ контроля — проверка некоторых асимптотик. Известно, что при постоянной силе У в области, имеющей форму бесконечного угла с раствором р, решение имеет вид (в цилиндрических координатах г, р) и(г, р) = и(р) гт!61.
Функция 7(р) известна. Приведенное выражснис является асимптотикой решения около угловой точки контура. Для проверки точности метода проводились расчеты 5 60' 3- !20" трещин, контуры которых содержали угловые точки с внутренним углом 60, 90', 120 . Расчетные данные подвергались анализу с целью проверки асимптотики. Проверка производилась с использованием данных, полученных на уточняющей сетке, соответствующей одному нз ребер контура, примыкающих к угловой точке. Рисунок 38 показывает характер такой сетки для внутренних углов 60' и 120'. Одно ребро, примыкающее к угловой точке, проходит по координатной линии вспомогательной сет- Тыблица 23 Рис.
58 60 ы 7-ОЩ5 «ыlи 90' 7 0.815 «„!«т Р 120' 7 0,71 ы„!«т 60' 7 0.915 ыы!ы~ тельным сеткам, примыкающим к углу, но значения в ник соответствуют геометрически одинаковым точкам). Из табл. 23 хорошо видно, с какой точностью выполняется постоянство и(г, р)/лт. Исключение составляют два-три 1'7« ки, второе ребро аппроксимируется ступенчатой линией.
Выбиралось несколько лучей, исходящих из угловых точек (два для угла 60, три для углов 90', 120'). Эти лучи проходят по узлам сетки, и в них вычислялись значения и„/лт (Л вЂ” НО- мер точки на луче). Согласно асимптотике значения должны быть почти постоянными на луче, что видно из табл. 23. Для угла 60 приведены два варианта расчета (они построены по двум вспомога- 1 г 3 4 5 6 7 8 9 !0 11 12 13 14 430 440 302 408 256 413 236 4!1 238 401 243 404 239 396 237 394 236 392 240 392 242 398 245 250 256 440 440 297 408 256 4!3 233 4!! 238 404 241 398 238 405 233 КМ 228 415 223 43! 218 461 216 216 244 205 243 229 175 228 229 Ггб 228 227 175 2 25 225 174 222 222 173 219 220 !72 216 218 !71 213 216 170 214 2!4 168 213 167 165 165 316 266 333 318 252 364 326 268 376 328 272 380 329 275 382 328 276 382 327 277 382 326 277 382 324 277 382 320 276 320 275 319 274 273 пгивлижвиныв мвтоды вычислительной «изихи !ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
