Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Функционал (3) называют функционалом Бингама, а описываемую им среду — средой Бингзма. Задача Ильюшина. Эта задача связана с течением той же самой вязкопластичной среды, только речь идет не о продольном ее движении, а о «вращении» в сечении б. Оно описывается функцией тока и(х, у) (через которую скорость движения в плоскости сечения выражается известными формулами ( — и, и„)). Рассматриваются функции и, удовлетворяющие краевому условию «прилипания» к границе: и =О, ди/дл = 0 на дО.
Вводится квадратичная форма 1(х, у) = (и„— и )г+ 4иг и ставится задача минимизации функционала: г"(и(., )) яя ~~ ( ~~ 1(х, у) +з/Х(х, у +Яхи ) а(х йу. (4) с (Этот функционал называют функционалом Ильюшина.) Здесь характерными являются течения, в которых образуются «ядра течения» — области я Е б, в которых 2(х, у) ея О. Очевидно, в этом случае и„ = О, и„„ = иуу Это, как нетрудно проверить, означает, что в я среда вращается, как твердое тело вокруг некоторого центра, Дифференцируемость функционала (4) по направлениям подробно проверять не будем, ограничившись указанием на основной фактор такого анализа на примере функционала Бингама. Пусть точка и(, ) содержит ядро, т.е.
в некоторой точке (х, у) Е б значения и = и = О. Пусть и возмущается на ан, причем н(х, у)— Х У дифференцируемая функция, Тогда подынтегральное выражение в (3) обычным образом разлагается в ряд по а; 0.5((и*„+ .2) + 2а(и,н„+ и,н,) + О(аг)) + + Ки„+ и ) + 2а(и,н„+ иуну) + а (н„+ нг)) г уз — аи — пан = О(аг) + ~ а ~ (нг + „г) г У г пи Таким образом, главный член приращения интегранта в этой точке есть ~ «~1Я+ нг — аать Однако дальнейшие, стандартные в вариационном исчислении выкладки (интегрирование по частям), имеющие целью избавиться от производных н и получить выраже- 474 пгизлижвииые меоды вычислительной»изики [ч. и ние в терминах только о, здесь принципиально невыполнимы.
Это обстоятельство имеет весьма важное следствие, существенно осложняющее создание алгоритмов приближенного решения; необходимое условие оптимальности в этих задачах имеет принципиально нелокальный характер. Имеется в виду следующее. Если взять классическую задачу с функционалом Днрихле (2), то функцию и(х, у), подозреваемую в том, что она й есть точка минимума, можно проверить в каждой точке (х, у) отдельно: надо вычислить в этой точке Ьи.
Если эта величина всюду равна нулю, все в порядке, если хотя бы в одной точке Ьи ~ О, это не решение. В такой точке и(, ) значение функционала можно понизить. Это прямо вытекает из того, что вариация функционала Днрихле после интегрирования по частям преобразуется к виду г[и( °, ° ) + Ьи(, )] = г[и(, )] — ~~ Ли Ьи ах Ну+ 0(]]Ьи]]~). Итак, если в какой-то точке (х, у) (а по непрерывности — и в ее окрестности) Ьи > О, то можно взять в качестве Ьи(х, у) гладкую финитную функцию, положительную там, где Лп > О, и равную нулю в остальной части б. Для такого возмущения ЬР < О.
Если функционал нельзя улучшить финитными возмущениями точки и( °, ° ), то она является экстремумом. Это н имеется в виду, когда говорится, что необходимое условие в классической вариационной задаче имеет локальный характер. Иное дело в неклассической задаче, хотя бы в задаче Бингама. Здесь необходимо испытывать функцию и(х, у), подозреваемую в качестве экстремальной, специальными нелокальнымн возмущениями, Пусть, например, исследуется функция и(х, у), содержащая ядро течения в форме круга радиусом р, в котором и(х, у) = сопз$.
В остальной части 6 (где из«+ из ~ 0) выполнено стандартное локальное условие экстремума, которое имеет форму дифференциального уравнения (уравнения Эйлера): Ьи+ [и„Низ+ и~] + [и/ и~+ и, + а = О. Проварьируем функцию и в области ядра следующим образом. В окружности, концентрической с ядром радиуса р — Ь, положим возмущение равным е.
Пусть вне ядра возмущение будет нулевым, а в «поясе» шириной Ь оно линейно по радиусу переходит от нуля до е. Обозначим возмущенную функцию й(х, у), область ядра я. Вычислим приращение функционала, опуская некоторые заведомо несущественные малые величины: Р[й(., )] — Р[и(., )] = = — ~ ~ ас Ых ау + ~ ~ [~и~ + ии + 0.5(и~ + и~~)) Нх Иу.
к 4 475 1 291 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ Здесь л — вышеупомянутый пояс. Легко понять, что в этом поясе (из+ из)пг»»! е/Ь1, так как величина иг+ иг инвариантна при поворотах системы коордиыат и при ее оценке удобно перейти в локальную систему координат, оси которой совпадают с касательной и нормалью к контуру 5. Для взриаЦии функционала имеем Ь/г — а«яр + 2прЬ(~е/Ь! +05~«/Ь~ ). Пусть возмущение е м Ь. Тогда главная часгь ЬР при е > О (е с 0 можно не рассматривать, так как в этом случае заведомо ЬР> О) есть ЬР = — е(апрг — 2пр).
Очевидно, если апрг > 2пр, точка и может быть улучшена. Итак, необходимым для оптимальности и является условие апрг м 2пр. Предоставим читателю обобщить эту конструкцию на область ядра произвольной формы. Легко понять, что ярг надо заменить на Я (плошадь 5), а 2пр — ыа длину контура /.. Тем самым мы получаем общее необходимое условие на ядро течения в терминах его площади и длины контура границы: аЮа /,. Более тонкий анализ показывает, что условие а= //5 является достаточным для того, чтобы точка и(, ) была решением задачи Бингама (это установлено П. П, Мосоловым и В. П.
Мясниковым в 1965 г.). Проверим, что в определенных, заведомо неоптимальных ситуациях попытки «улучшить» некоторое проверяемое «решение» с помощью финитных возмущений окажутся безуспешными, т.е. функция, явно не являющаяся точкой минимума функционала, оказывается «минимумом» относительно класса финнтных возмущений. Пусть и(х, у) О. Все финитные возмущения исследовать довольно сложно, но простое нх множество поддается оцеыке н хорошо проясняет суть дела. Итак, возьмем в качестве возмущений функции Ьи(х, у) в форме конуса высотой е и радиусом р, равные нулю вне круга радиусом р.
тогда всюду в круге радиусом р, очевидно, (ьиг + ьиг) пг = ~ е/ь~ н приращение функционала на таком возмущении легко подсчитать: Ьг ярг (О 5(е/р)г+ ! е/р~) — (1/3) апрге рг (05(е/р)г+ '1«/р1 — (1/3)ае). Таким образом, как бы нн был велик параметр а, при достаточно малом р будет ЬР > О, т.е, такая вариация только ухудшает функцию. В то же время легко строится ыелокальная вариация Ьи того типа, который был описан выше, и для нее ЬР с О. Все это имеет прямое отношение к одыой нз распространеыных схем приближенного решения варнационных задач. пгивлиэквнлыв мвтоды вычислитвльнай физики 1ч. и 476 Метод покоординатного спуска.
Нелокальность условий экстремума («уравнения Эйлера») в неклассической вариационной задаче имеет серьезные последствия с точки зрения вычислителя. Рассмотрим универсальный метод построения минимизирующей последовательности. На этой основе естественно пытаться строить приближенные методы. Здесь есть чисто технический вопрос — конечномерная аппроксимация вариационной задачи. Введем сетку с шагом /г (по х и у) и узлами (Й, лг) и сеточную функцию и„м. Заменим функционал функцией конечного числа переменных. Обозначим /4»пх»пг-— (и«», — и« ) /Ь + (и„„,»1 — иг ) /Ь г г г г и аппроксимируем функционал Г(и) так: Р() ~ук5х ц, »'т, — „,з (5) ("4+пг ~+пг среднее нз четырех значений в узлах сетки), Метод покоординатного спуска минимизации функционала (5) состоит в том, что поочередно меняются значения и« „, в одном узле с целью понизить значение Р.
Очевидно, при вариации значения и в сумме (5) изменятся только три слагаемых (соответствующих узлам (к — 1, лг), (х, лг — 1) и (к, лг)). Этот способ решения вариационных задач известен уже около ста лет под названием «релаксациониый». Он является одним из наиболее медленно сходящихся, но в классических вариационных задачах в принципе приводит к успеху. Ксли в каждом узле (Й, лг) попытка понизить значение гт оказывается безуспешной, минимум функционала (точнее, его конечномерной аппроксимации (5)) найден. Основу этого метода, очевидно, составляет множество финитных сеючных пробных функций. Метод легко обобщается и на неклассические задачи.
В частности, некоторый его вариант под именем «метод локальных вариаций» был одним нз первых, предложенных для приближенного решения задачи Бингама. Однако из сказанного вьппе следует, что такой метод принципиально неадекватен природе задачи: здесь нужны более сложные и тонкие алгоритмы. Действительно, применение метода локальных вариаций, популярною блаюдаря его алгоритмической простоте, привело к публикации «решений» (задач Вингама, Ильюшина и некоторых других), опровергнутых последующими расчетами.
Задача качения. Следующий пример неклассической вариационной задачи связан с задачей качения шарика 'по плоскости с учетом сухого трения. Под действием силы, направленной ортогонально плоскости качения, материалы шарика и основания дефор- 477 % 291 ЕАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ мируются и образуется двумерная область контакта О (процесс считается стационарным). Область сР задана (ее форма определяется решением другой вариационной задачи, которую мы не обсуждаем). В этой области определены искомые двумерные вектор- функции е(х, у) = (е„зз) и т(х, у) = (тн тз).
Вектор «(х, у) имеет смысл относительного проскальзывания — смещения контактирующих точек шарика относительно их положения в отсутствие движения. (Заметим, кстати, что задача рассматривается в подвижной системе координат, в которой вся картина стационарна.) Вектор т(х, у) имеет смысл силы трения. Перейдем к математической формулировке задачи. Итак, следует минимизировать функционал Р[т(.)) ш ) $ (У(х, у)ЦЕ(х, у)Ц вЂ” (т(х, у), з(х, у))) 41х 41у (6) при ограничении Цт(х, у)Ц К 7'(х, у), 1Р (х, у) Е С, и связи между е и т в виде е(х, у) = н(х, у) — ~ ~ 8(х — х', у — у') т(х', у') 4(х' 4(у', (8) с Здесь все, кроме т и з, задано, У имеет смысл нормального давления, н — скорость движения точки (х, у) в подвижной системе координат, 27(х, у) — некоторая (2- 2) матрица-функция, Функционал обозначен Р~ т ~, так как е явно выражается через т.
Эта функция, таким образом, является единственным независимым аргументом. Задача хорошо исследована. О ее решении известно следующее. 1. Решение существует и единственно. 2. Минимальное значение Г есть нуль. 3. Область О разбивается на две части: область сцепления б, в которой з(х, у) О, Цт(х, у)Ц </(х, у), и область проскальзывания Ябз, в которой Це(х, у)Ц ~ О, т(х, у) = 2(Х, у)х(х, у)/Цх(х, у)Ц. Это, в сущности, хорошо известные законы сухого трения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
