Главная » Просмотр файлов » Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku

Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 95

Файл №810773 Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku) 95 страницаFedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773) страница 952020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 95)

Этой разницей мы пренебрегаем, т.е. вариацию Ьл.", определенную как и' —.х, можно использовать в дальнейшем и в смысле Ь.в' = Я' — Х. Вычитая из (31) невозмущенное уравнение (26), получаем уравнение в вариациях: (33) ЬЬ'в'=О, (х, у) Е й, с краевыми условиями Ьх'(х, у) = 0 на границе АоСР. На границе АР краевое условие имеет вид Ьв'+ а(т) 2'„= бр(т), т е [О, 1[.

(34) Здесь мы заменили 2'л на .й'„, отбросив возникающую при атом погрешность второго порядка. Теперь используем тождество Лагранжа: )) (ьР ЛЬк — Ьв'ЬьР) ахНу= $ ФЬй'„Н вЂ” $ Ьв'Ч'„Л, (35) и ва ви где 1 — длина дуги на дй. Простой подбор краевых условий для' Ч' позволяет получить из (35) выражение для ЬГ через интеграл от возмущений на АР. В самом деле, принимая для Ч'(х, у) уравнение ЬЧ' = 0 и учитывая (33), обращаем в нуль левую часть (35). В силу краевых условий Ьх'=0 на АВСР второй о интеграл в правой части превращается в ~ ЬХ Ч'„Н. Первый же А интеграл правой части превратим в ЬГ, определив краевые условия для Ч' следующим образом: ьР= О иа ВАРС, Ч~=Ф'[Я' (х, 1)[ на ВС. (3б) Таким образом, краевая задача для Ф полностью сформулирована.

Заменяя ЬЯ' на АР из краевого условия (34), получаем о 1 ЬР = ~ ьр„бй' Л = ~ Ч'„[1[(бр(С) — а(т) .й'„[т[) у сй. (37) л о 449 й г71 диоьегзн!!нгоВАн!!Б Функнио!!Азов Здесь мы используем обозначение типа !р„[1[ ев Чс„(Ц1), Ч(1)). Линейный функционал от а(.) следует преобразовать в функционал от Ьи(.), что достигается сравнительно стандартными выкладками.

Сначала находим внешнюю нормаль к А17 в точке 1: н(1) [; ь) !У'~г+ Чг,11 /~г + „г,11 Вычисляем а(1), выписывая условия пересечения нормали с возму- щенной границей: Ц1+ т) + ЬЦ1+ с) = Ц1) + пн!(1), Ч(1+ т) + ЬЧ(1 + ) = Ч(1) + (1). Пренебрегая малыми второго порядка, получаем систему линейных уравнений относительно и и смещеиия параметра т: гс + ЬК(1) = апо Чт + Ьт1(1) = апг, откуда а(1) = (Ч(1) Ьж — Ь) ЬЧ(1))l~т+ Чг.

Используя полученные выражения, преобразуем формулу (37): ! ! ЬГ = ~ Ч о[1[ Ь р(1) 11 — ~ Ч „[1[ Х„[1[ (Ч Ь» — ~ ЬЧ) 11. о о В дальнейшем мм будем преобразовывать в функционал от Ьи(.) только второй интеграл правой части. Такие же преобразования должны быть проделаны и над первым интегралом, но сначала (в зависимости от точной трактовки краевого условия на любой допустимой дуге А17) этот интеграл должен быть преобра.зован в функционал от ЬЦ ), ЬЧ( ). Выпишем очевидное уравнение в вариациях: Ьс = Ьи„ЬЧ = Ьиг, ЬЦО) = ЬЦ!) = ЬЧ(О) = ЬЧ(1) = О, и соответствующие тождества Лагранжа: ! ~ (Ч!! Ьс Ьс Ч!!) '11= [Ч!! Ьс — Ьс Ч!![о' о ~ (Ч г ЬЧ вЂ” ЬЧ Ч!г) «1 = [Ч г ЬЧ вЂ” ЬЧ Рг[о.

о 15 — 1833 «50 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и Взяв в качестве Зр1, [1г решения краевых задач зр, = — Ф„[1[ и'„И Ч(1), зр (О) = %()) = О, (38) зрг рл[1[ й »[1[ В(1)~ "рг(0) зрг(1) = 0~ мы, очевидно, получим 1 1 $ 'Р„[1[ '»[1[ (Ч бз- Е бЧ) 1 = $ ( Р,(1) б,(1) + Р,(1) б,(1)) (1, о о т.е. требуемый результат. Подведем итог, перечислив последовательность операций, выполняемых при вычислении производной функционала: 1) задано невозмушенное управление и1(1), иг(1) (1 е [О, 1[); 2) решая систему (29), определяем Р(1), з)(1) и, тем самым, область Й; 3) решая «прямую» краевую задачу (2б), (27), вычисляем .е."(х, у) и функционал Г[н(.) [; 4) решая задачу ОЗР =0 с краевымн условиями (Зб), находим ЬР(х, у); 5) решая краевые задачи (38), находим Зр„1рг, являющиеся производными функционала,: ВЕ1ш П "1 Дифференцирование по коэффициенту диффузии.

Рассмотрим задачу, в которой состояние обьекта 2'(х, у) определяется решением эллиптического уравнения «с управлением» и(х, у): <11т [ийгао л'[ =О. (39) Это уравнение рассматривается в заданной области й с границей Г, на которой поставлено краевое условие ~[г=1 (40) Коэффициент диффузии и(х, у) может как-то меняться и является в данном случае тем ресурсом, распоряжаясь которым можно влиять на состояние объекта в нужном направлении. Предположим, что качество состояния е' оценивается функционалом г [и( ) [, для которого, ради определенности, примем формулу к[и(.)1 ш Ф ф(й „) ( . (41) г Здесь Ф вЂ” заданная функция, е'„— нормальная производная.

Покажем, что при дифференцировании функционала (41) в некоторых 45! 1 271 диьвегввцигоыние ьчнкцпонилов (достаточно распространенных) ситуациях слишком наивное н прямое применение описанной выше техники вычисления функциональной производной может привести к грубой ошибке. Нужно достаточно внимательно относиться к некоторым чисто математическим тонкостям. Ситуация (про-' дГ стейший ее вариант) такая: в области й имеется „Ф ч внутренняя подобласть ю с границей у (рнс, 51). Пусть невозмущенный коэффициент диффузии Г7 и(х, у) имеет разрыв на ъ будучи гладкой функцией в ш и Моз. Рассмотрим два варианта теории возмущений: а) малое (О(е)) возмущение и во всей области й (малое в метрике С); в этом случае шез ш = О(1); б) мала мера о7 (шез ш = к); в этом случае 'возмущение и есть О(1) в о7 и нуль (или, если угодно, О(е)) в остальной части.

В обоих случаях соответствующее возмущение состояния Ь.к" = О(е) (такие теоремы для (39) доказаны) и вариация функционала вычисляется по формуле ЬГ= ~ Ф'[51 ЬХ„Иг, Ф'[5[ = Ф'(Я'„(х(5), У(5))). (42) г Здесь Ф'[5[ — известная на Г функция, вычисленная по известному невозмущенному состоянию. Для преобразования (42) в линейный функционал от Ьи( ) (мы пока ограничимся более простой ситуацией малых возмущений на всей области й) выпишем наивное уравнение в вариациях: о!ч [пагад Ь.к') + о!ч [Ьи угад Х[ =О, (43) н тождество Лагранжа: ~)Ч'о1ч (и йгад 62') Ых оу — )~ ЬМ' о1ч (и ран Ч7) ох Ыу= =$ (Чъ Ьй — банч ) Ь. (44) г Определяя Ч' решением уравнения о1ч (ийгад Ф) =О с краевыми УсловиЯми иФ[г = Ф'[5[, УчитываЯ Ьл'[г = О и УРавнение (43), из (44) получаем Ьг[би( )[ = — ~~ Ф(х, у) б1» (Ьп бган .к) пх Иу.

(45) Ошибка этой прямолинейной выкладки состоит в том, что при разрыве и на у гладкой функцией является «поток» и Я'„, где .й' = (рад л', л), и есть нормаль к у. Функции и и к„ на у рвутся 15» пгизлижзпнык мюоды вычислительной ончики (ч. и и уравнение (43), будучи верным всюду вне у, на этой линии теряет смысл. Видимо, в ситуации можно разобраться, используя теорию обобщенных функций, но мы предпочтем более прозрачный классический анализ.

Итак, уравнением (43) и тождеством (44) можно пользоватьсм отдельно в оз и й~ох На разделяющей нх кривой у выполншотся условия согласования [й') = О, [ил',[ О, т.е. разрывы решения н потока на у равны нулю. Эти условия уже можно проварьировать обычным образом: [Ь ),=О, [иЬ'о),+[Ьи о),=О (46) Используя уравнение (43) н тождество (44) отдельно в оз и Мсо (в этом случае в (44), очевидно, добавляется контурный интеграл по у), складывая оба выражения типа (44), получаем правильное тождество: ~ ~ [Ф дгч (и рад Ь2') — ЬЗ' дЬ (и 8гад Чг)) дх ду = о'т ф (Фи Ьл'„— Ь2' иЧ'„) дг + ф [[Ч'и ЬЛ'„) + [Ьл' иЧ~„) ) дж (47) г М Интеграл по й~ у означает просто сумму интегралов по ю и й~со.

Теперь уже можно действовать стандартным способом, Определим Ф решением той же самой задачи со стандартным условием на у [Ч'] = О, [иЧ'„) = О. Используя непрерывность Ч~ и Ьл' па у, имеем [Ь2' иЧ'„) = О, а в силу (46) [Ч" Ь~.),=Ч'[иЬ~'.),=-Ч'[Ьи .),.

Теперь остаетсм исправить формулу (45): Ьг"[Ьи(.)) = — )) Ч' д1т (Ьи йгад л') дх ду+ $ Ч'[л'„Ьи) дж (48) о~ч 7 Рассмотрим второй случай — конечное возмущение управления на множестве малоЙ меры. Возмущенное управление и(х, «) (х, у) Е й~оэ, й(х, у) = и(х,' у)+о(х, у), (х, у) Е оз. 453 5 гт) ди««ееенниговкиие «чнкционАлов Начнем с уравнения в вариациях, выписав возмущенное и невозму- щенное уравнения в ш и й~ш: д1ч (и егад У) = О, йч ((и + и) кгад 2') = О, д1ч (и ягад 2') = О, д]ч ((и)рад Ф') = О.

Вычитая, получаем уравнения для 65г' щ 2' — Я'. д1ч (и кгад ЬЯ') = 0 в й~ш, (49) д1ч(чкгад 2')+ди (ирад ЬЯ')+д(ч (ч кгад 62') =0 в ш. В последнем уравнении пренебрежем третьим слагаемым, так как оно имеет величину порядка 0(е) на множестве ш меры е. Что касается условий на у, то их можно записать в форме [2'] =О, ((и+и) 2'„] =(иХ„]+, [й']„=о, ( ~„) =( й„],.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,23 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее