Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 92
Текст из файла (страница 92)
В этот момент была найдена новая существенная точка множества у(х), значение /9 резко упало, затем ситуация выправилась. Разумеется, нет гарантии того, что задача решена очень точно, Однако стабилизация значений Е и л7 в какой-то мере свидетельсгвует об этом. Во всяком случае, результаты Таблица 17 !и создают впечатление, что продолжение вычислений едва ли будет оправдано: либо задача решена, либо метод перестал работать.
Большую роль при этом играет репутация метода. Оиа создается решением большого числа задач, в которых результат удается так или иначе проконтролировать. Ксгати, описываемую выше задачу автор заимствовал в одной из работ, в которой она решалась методом штрафных функций.
Автор, скептически относясь к его возможностям, проконтролировал эти расчеты с помощью метода линеаризации и без труда обнаружил грубость полученных методом штрафных функций результатов (в некоторых случаях такую, что едва ли можно было говорить о приближенном решении задачи). Конечно, нельзя исключать и того, что кю-то таким же образом обнаружит ошибочность приближенного решения, найденного автором. Но пока этого не произошло. 1 3 6 9 12 !5 !в 2! 24 27 11 1! !2 14 16 !7 !в 1В !в !в З321 9!58 16!80 24!77 293!2 3!893 333Ю 33687 34117 34340 442 667 2196 Зош 3685 4468 5187 5724 6275 6650 30 33 36 39 42 45 48 51 54 1В !в !в !в !в !9 !в 17 !в 344!3 34482 34515 34545 34557 29342 316!5 33223 34774 7213 7773 8151 8731 9676 10260 10812 !1ЗЗ2 12146 «зз зэк дн««гн«кнцн овлннв»тнкцнонАлов 5 27. Дифференцирование функционалов В самых различных задачах возникает необходимость использовать функциональные производные.
Основным источником таких задач являются вариацнонные принципы, широко используемые в разных областях естествознания. Но есть и другие задачи, методы решения которых связаны с использованием функциональных производных, например нелинейные функциональные уравнения. В настоящее время сложилась достаточно общая формальная задача, которую иногда называют задачей оптимального управления, хотя это название не столько отражает существо дела, сколько является исторически сложившимся. Рассмотрим ее в общей форме Имеется уравнение Я(х, и) =О, связывающее состояние некоторого объекта х с «управлением» и, т.е. с совокупностью функций н параметров, входящих в уравнение, Например, Я может быть обозначением краевой задачи для уравнений в частных производных относительно х, а и в этой ситуации может обозначать функции н параметры, входящие в краевые и начальные условия или коэффициенты уравнения.
Важным является следующее свойство уравнения (1), которое в абстрактной формулировке является, конечно, предположением. Прн любом «управлении» и уравнение (1) имеет решение и оно единственно. Более того, это решение 2'(и) зависит от и достаточно гладко, например непрерывно днфференцируемо по и. Пусть по тем или иным причинам нас интересует, как изменяется решение х при малом изменении и. Точнее, нас не интересует полная картина изменения решения. Достаточно более грубой информации об изменении некоторых общих («усредненных») характеристик решения, нлн, проще говоря, некоторых функционалов от решения.
Итак, пусть задана некоторая конкретная формула Ф(х, и), позволяющая вычислить значение Ф через х и и. Так как х однозначно определяется заданием и, можно ввести обозначение Р(и) ш Ф(х, и), Ф Е Я'. Здесь левая часть — абстрактный символ, означающий, что, коль скоро задан элемент и, можно вычислить число Р. Правая часть расшифровывает способ вычисления: зная и, нужно решить уравнение (1), найти х и вычислить Ф, т.е.
Р(и) = Ф(2'(и), и). Продифференцируем Р, т.е. вычислим (в первом порядке) изменение Р при малоМ изменении и на Ьи: Р(и + Ьи) Г(и) + Ф„(2'(и), и) Ьи+ Ф„2'„Ьи. (2) Таким образом, речь идет о дифференцировании суперпозиции функций. Дело осложняется тем, что зависимости 2'(и) мы явно не 436 пгивляженные методы вычислительной «ялики 1ч. и имеем. Уравнение (1) обычно носит настолько сложный характер, что можно рассчитывать лишь на приближенное его решение при заданном и. Поэтому формула (2) неэффективна, ее следует заменить некоторыми выполнимыми операциями. Первый шаг используемой в этих ситуациях техники — это прямое варьирование Ф, Считая, что малая вариация и приведет к малому возмущению состояния Ьх, запишем предварительную формулу, в которой производные Ф„, Ф„известны: Г(и+ Ьи) жф(х, и) +Ф„(х, и) Ьх+ Ф„(х, и) Ьи.
(3) Заменим линейный функционал Ф» дх равным ему функционалом от Ьи, используя то, что Ьи однозначно определяет Ьх посредством так называемого уравнения в вариациях. Оно получается формальным варьированием уравнения (1): Я(х+ Ьх, и+ Ьи) Я(х, и) + Я„(х, и) Ьх+ Я„(х, и) Ьи. Отсюда, так как Я(х, и) = О, приходим к уравнению Я„(х, и) Ьх+ Я„(х, и) Ьи =О. (4) Оно линейно относительно Ьх и Ьи и определено в той точке (х, и), в которой производится вычисление производной. Конечно, предполагается, что (4) однозначно разрешимо относительно Ьх при заданном Ьи.
Следующий шаг носит несколько искусственный характер. Используем тождество Лагранжа, являющееся в сущности определением сопряженного оператора: (Я„Ьх, р) = (Ьх, Я„'1р), У ~р. (5) Здесь 1р пока произвольно. При подходящем выборе 1р эта формула позволяет выражать линейный функционал от Ьх в виде линейного функционала от Ьи. Заметим, что нас интересует выражение Ф,Ьх, которое, конечно же, точнее следует записывать в виде скалярного произведения (Ф„Ьх).
(Производной в смысле Фреше функционала Ф(х, и) по х, если она существует, является элемент пространства, двойственного к пространству элементов Ьх.) В качестве р возьмем решение «сопряженного» уравнения (6) Я„'(х, и) 1р= Ф„(х, и). Нетрудно сообразить, что в левой части (5) следует заменить Я„Ьх на — Я„Ьи в силу уравнения в вариациях (4).
Объединяя эти преобразования, получаем (Ф„, Ьх) = — (Я„Ьи, ~р) = — (Я'„Ф, Ьи). 437 6 271 диь»вгвнциговлнив «гнкционллов Подставляя (7) в (3), мы имеем окончательную формулу лля вы- числения функциональной производной: (Р„(и), Ьи) = (Ф„(х, и) — Я'„~р, Ьи). Р„(и) = Ф«(х, и) — Л'„зр. Итак, Подведем итог, перечислив вычисления, которые дают функциональную производную р„в точке и. Имея и, можно решить уравнение (1) и получить х; имея х, и, можно сформировать уравнение (б).
При этом мы неявно предполагаем, что операции дифференцирования по х и и оператора Я и функционала Ф являются элементарными. Во многих достаточно сложных задачах это действительно очень простые операции, но встречаются и более сложные ситуации, в которых не так-то просто разобраться.
Решая уравнение (7), находим ~р и вычисляем функциональную производную р„, Выше была приведена общая схема дифференцирования функционалов, определенных иа решениях функционального уравнения. В изложении мы опустили многочисленные тонкости строгого математического оформления схемы, выделяя содержательно сущесгвенные моменты. По этой схеме ниже мы рассмотрим более аккуратно характерные конкретные примеры.
Дифференцирование функционалов от решеиий обыкиовеиных диффереициальиых уравнений. Рассмотрим ситуацию, которая связана с задачами оптимального управленим в первоначальном смысле этого слова (см. 5 28). Изучается система дифференциальных уравнений, «управляемая» выбором функции и( ) и параметров р: х = у(х, и, р), х(0) = 2' (р), 0 а г ц Т. Траектория системы (8) полностью определена заданием управления (и( ), р).
Пусть управление подверглось малому возмущению: и(.) - и(') + Ьи(.), р- р+ Ьр. Возникает вопрос: что значит «малое возмущение Ьи( )»? Пока ограничимся самым простым случаем, считая, что шах 8 Ьи(г) 8 = О(в), ВЬр8 = О(с). (Если вид нормы не конкретизирован, можно считать, что 8 ° 8 — любая из употребляеммх в конечиомерных пространствах норм.) В нижеследующих выкладках используется тривиальная теоРия малых возмущений первою порядка (см. 5 19). Прежде всего необходимо устаиовить, что малое возмущение управления порождает, соответственно, малое возмущение траектории. Обозначим через х(~, и(.), р) решение задачи Коши (8), определяемое управлением 4ЗВ пгизлижзнныв методы вычислительной оизякн [ч.
и (и(.), р), через Ьх(1) — прирашенне х(г), вызванное возмушеннем управления: Ьх(г) = х(т, и( ° ) + Ьи( ), р+ Ьр) — х(г, и( ), р). Оценка [[Ьх(г)[[ = О(е) устанавливается аналогично тому, как исследовался ряд Пуассона в 5 19. Пусть определен функционал от [и( ), р): т г[и( ), р! ш ~ Ф(х(1), и(Г), р) Нр, (9) о где Ф вЂ” заданная гладкая функция, Мы используем символ Ь в идентификаторах, присваиваемых точным приращениям величин, символ Ь вЂ” в идентификаторах вариаций этих величин (Ь от Ь отличаются в следуюшем по о порядке). Символ и( ) означает функцию, взятую в целом как аргумент функционала; и(1) есть точка конечномерною пространства (сеченне и(.) в точке г).
Вычислим Ьг" прямым варьированием формулы (9). Подставляя в правую часть х+ Ьх, и+ Ьи, р+ Ьр н используя первые члены ряда Тейлора, имеем т ЬК[ьи(-), ЬР[ = ~ [Ф„И Ьх(Г) + Ф„[Г! Ь (Г) + Ф,И Ьр! (1. о Здесь Ф,[г! обозначает Ф„[х(г), и(г), р! — зависящую от г матрицу, определенную в той точке (и(. ), р), в которой вычисляется производная. Итак, получена формула типа (3), Выпишем уравнение в вариацияк (4) таким же формальным варьированием уравнения (8): Ьх=У„[1[ Ьх+/„[Г[ Ьи+У [1! Ьр, Ьх(0) =2' (р) Ьр. Это и есть уравнение в вариациях.
В нем дх можно заменить на Ьх, добавив к правой части выражение о(о). Используем элемент обшей схемы — тождество Лагранжа: т т ~(р,[-„',— ~„~Ьх) (г — ~ ф-~,~,бх) (=(Ь., р)!,'. (10) о о Вывод (10) сводится к интегрированию по частям, определению т; и к соотношению (ЫИ1)' = — ФЖ. Заключительный шаг преобразований требует нехитрого угадывания вида правой части сопряженного уравнения, с тем чтобы выражение ( — р — У;~р, Ьх) превратилось в (Ф„, Ьх). Очевидно, в качестве ф следует взять решение уравнения (11) -в=У„'[и[ р+Ф„[г[. 439 ди»»егьнцнгоалние втнкционллов Преобразуем выражение (Ьх(Т), ~р(Т)) — (Ьх(0), зр(0)), заменяя Ьх(0) =2'р(р) Ьр н уничтожая лишнее слагаемое выбором значе- ния ~р(Т) = О.
Это то краевое условие, которое однозначно опреде- ляет ~р(1) как решение задачи Коши, Итак, имеем окончательный результат: г ЬГ[Ьи( ), Ьр[ = 1 (в(1), Ьи(1)) й+ (И, Ьр), о где функциональные производные суть '(1) = ~,„<„' 1 = Ф„[1[ + У'„[1[, р(1)), (12) И'= ' =Х'(р) ~Р(0) + ~ (У', зр) ~11+ ~ Ф [1[ д1. о о Конечные вариации и на множествах малой меры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
