Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 94
Текст из файла (страница 94)
(22) Здесь У вЂ” заданная функция, н — функция, подлежащая вычислению. Пусть исследуемая траектория х(~), порождаемая управлением и( ), пересекает поверхность С = О в момент г', а траектория, порожденная возмущенным управлением и( ) + Ьи( ), пересекает эту поверхность в момент Р + Ь. Для определенности, будем считать Ь> О (случай Ь < О приводит к тем же формулам); очевидно, Ь = О([[Ьи[[).
Уравнение в вариациях имеет вид Ьх — У„[~[ Ьх=/„И Ьи, ОнФнг*, Ьх — 7,[1! Ьх=7„[1[ Ьи, Р+Ьжгцт. Тождество Лагранжа записывается очевидным образом: ~ [(~р, Ьх — /„Ьх) + (Ьх, 1р + у'„~р) [ вй + о т + $ Н~р, Ьх - 7„Ьх) + (Ьх, 'р + 7; 1р) [ сй + ( р, Ьх) [," — (р, Ьх) [,"+ь. У+Ь (23) Так как в левой части соотношения (22) можно пренебречь величи- ~ 4Ь ной ~ (У, Ьх) й = О([[Ьи[[з), то превращение (23) в (22) осуществляется стандартным подбором правой части для сопряженного нгнелвкенные методы вычислительной ьнзнкн (ч.
и уравнения. Мешает только одно слагаемое в (23): — ( р, Ьх) ~,'.+ь. Мы уберем его за счет разрыва р в точке т'. Введем для возмущенной траектории обозначение у(т), о(т). Тогда с точностью до величин ОЯЬи)(~) имеем х(т'+ Ь) = х" + Ь7(х*, и'), х' = х(т'), и' = и((*), у(('+ Ь) = у'+ Ьу'(у', н'), у' = у(т*), н' =и(!').
Вычитая, получаем Ьх(т*+ Ь) = Ьх((') + Ь [/(у', н') — у(х', и")]. (24) Здесь мы неявно предполагали непрерывность управлений и, н в точке т'. Используем связь Ь с Ьх(т"): (у(у((' + Ь)) = О б(у'+ Ь У(у',н')) = О(х* + Ьх'+ Ь Ду',и*)) = = О(х') + Ох(х*) Ьх' + Ь С,(х') У(у', и'). Так как 6(х') =О, то (О„(х'), Ьх') (Ох(х ), Ьх') Ь (С (х'), у(у', ч')) (О (х'), у(х', и')) Второе равенство, конечно, неточное, но мы пренебрегаем малыми второго порядка, возникающими при замене у' на х' и н' на и'. Подставляя найденное значение Ь в (24), имеем (6, Ьх') Ьх(('+Ь) = Ьх(т') — ( у) (у') — /,), где У(=у(х' и') /в=7(х', и'), Легко подобрать такой скачок между величинами ~р = тр((') и 1р+ = р((" + Ь), чтобы в первом порядке можно было уничтожить мешающие иам слагаемые в (23); (тр», Ьх((' + Ь)) — (тр, Ьх(т')) = (ту+ — Чр, Ьх')— ! Из полученного вмраже ни я вытекает требуемый результат.
Функцию тр(т) следует взять как решение сопряжеттного уравнения тр+ ух!т)тр = у(т) ( Е (т Т) тр+Ух((1'р у(т) т ~ (О~ ( )1 44З з гт) ДИ»»ЕГЕНЦИГОВаинв »ГНКЦНОИАЛОВ с начальными даннымн 9)(Т) = 0 и условием скачка (Уз У) чц +0)) 'р(р — 0) = 1р((. + 0) г ) с( (х'). (25) (6,(х"), У,) Здесь мы провели еще одно обобщение: заменили )р+ = ~р((" + Ь) на ~р(У' + 0). Предоставим читателю несложную проверку того, что эта операция допустима в первом порядке теории возмущений. Если читатель повторит прнведеннмй выше вывод для случая Ь с О, он получит условие скачка в несколько иной форме: Угт ) ~р~ = р — ( ) С„(х').
Можно показать, что эти условия равносильны. Подчеркнем, что относительная сложность вычислений связана с тем, что точка разрыва производной У* варьируется при изменении управления. Если речь идет о разрыве правой части уравнения в фиксированный момент времени, стандартная техника вычисления производных не требует никаких изменений. дифференцирование по границе области. Рассмотрим задачу, в которой состояние некоторого объекта определяется решением краевой задачи в некоторой области. «Качество» этого рх состояния оценивается функционалом от решения, Пусть форма области не фиксирована, но Рис, 49 может в тех или иных пределах меняться.
Это изменение следует производить с целью улучшения качества объекта. Перейдем к более конкретной постановке задачи. Рассмотрим модельную задачу, в которой, однако, присутствуют те моменты техники дифференцирования, которые мы хотим разъяснить. Предположим, что состояние объекта описывается ' функцией Х(х, у), определенной в области »2 (рис. 49) и являющейся решением краевой задачи для уравнения Пуассона (Ь вЂ” оператор Лапласа) ЛЯ' = У(х, у), (х, у) Е Й, (2б) с краевым условием, для определенности, первого рода: Х(х, у) ( „, = р(х(х, у)). (27) Здесь У, р — заданные функции, форма области не фиксирована.
Чтобы избежать чисто технических усложнений, будем считать, что граница АВСУ) фиксирована и только ее часть АУ) может варьироваться. Пусть качество состояния оценивается функционалом 1 1 ф(й' (х, 1)) Ух, (28) о 446 ЛРИБЛНЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ !ч. и где Ф вЂ” заданная функция. Таким образом, (28) есть функционал от формы области, вычисляемый по очевидной схеме: если область задана, решается краевая задача (26), (27), затем вычисляется интеграл (28). Для того чтобы продифференцировать (28), нужно выбрать форму задания границы. Допустим, что граница А!7 задана параметрически координатами Ц!), з!(г) (О <1< 1), а сами эти функции являются решением краевой задачи: ч = и~(Р), т) = из(Р), ЦО) = т!(О) = з1(1) =О, Ы1) =! (29) Такая (или аналогичная) форма задания бывает удобна, когда возникает необходимость ограничить геометрические характеристики границы (кривизну, например).
Итак, основным независимым аргументом в задаче является вектор-функция и( ) = (и,( ), из( )), по традиции называемая управлением. Интеграл (28) можно обозначить г!и( )1. Алгоритм его вычисления начинается с решения краевой задачи (29), далее — как было описано выше. Вычисление производной начинается с прямой вариации функционала. Эта операция дает очевидную формулу Ьг(ЬН( )) = ~ Ф'(е.
) Ьх' (х, 1) ох, (30) о которую нужно преобразовать в выражение ! ЬГ[ЬН( К = $ (и,(г) Ьи,(1) + Ргз(1) Ьиз(г)) сй. о Ниже описываетсЯ, как вычислЯютсЯ иы нх Схема РассУжДений обычная: вариация и( ) малыми величинами Ьи( ) приводит к малому изменению дуги А21, это влечет малое изменение состояния (Я' 'е'+ Ьй'), после чего по (30) вычисляется малое изменение функционала. Основной элемент вычисления производной в данной ситуации — это правильная формулировка уравнения в вариациях; сложность здесь в том, что варьируется область.
Выпишем уравнение для возмущенного состояния; АХ = У(х, у), (х, у) Е Й. (31) Некоторые сложности связаны и с краевым условием для Х на дуге Акх, причем дело не в том, что нужно аккуратно разобраться в этом вопросе, а в том, что нужно уточнить постановку задачи. Пусть формально эти условия записаны в виде .й'(Г(!), й(1)) = ~(!) = О(г) + ь р(!), о при этом Ьу(1) не вычисляется, а задается постановкой задачи. 447 а 27) дивввгввциговАнив втнкциовхлов Рассмотрим вариацию Ь.в'(х, у) н сформируем для нее краевую задачу. Учтем, что л' и Я' определены в разных, хотя и мало отличающихся областях. На рис.
50 показана часть области (границы й и Й). Введем вспомогательную функцию ж, опре))еленную в не- возмущенной области й и мало отличающуюся от Я' там, где последняя имеет смысл: ) л'(х, у) — ж'(х, у) ~ = ОЦЬи))~), (х, у) Е й П й. Введя обозначение Ь.Ф'(х, у) = й'(х, у) — Я'(х, у), (х, у) Б й, получим для этой функции уравнение в вариациях. Возмущенную границу удобно описывать с помощью скалярнмх функций а(!) и т(!): Ц! + т(!)) = Ц!) + а(!)л,(!), (32) т)(! + т(!)) = 7)(!) + а(!)лз(!), где а, т = О())Ьи)о, л (лн лз) — внешняя нормаль к дй в точке ), а(!) — смещение дй относительно дй по нормали, т(!) — малое возмущение параметра ), Можно обойтись и без этого смещения, изменив парзметризацню дй таким д!) образом.
Припишем значение ! точке пересечения дй с прямой (Ц!) + ал,(!), 7)(!) + аиз(!)). При этом надо пересчитать ЬР(!), увеличив сс, оче- ! )) й видно, на т(!) Р,(!). Будем считать эту операцию проделанной и уберем т из (32). Величина а(!), Рис. н) конечно, функционально зависит от Ьн(-), и это в дальнейшем будет учтено. Величины Ь р, а, т суть малые первого порядка; только этот порядок н будет учитываться в дальнейших выкладках. Определим У(х, у) в й решением уравнения ЬХ = 7(х, у), (х, у) Е й. Краевые условия на границе АВС!у — те же, что и для Х (н Х). На невозмущенной дуге АР поставим краевое условие 2'(~(!), !)(!))+а(!) ~;; = Р(!)+ЬР(!). Смысл этого условия очевиден! функция Х(х, у) на возмущенной дуге дй с точностью до малых второго порядка совпадает с Я'.
Если какая-то часть дй лежит вне й, речь идет об экстраполяции значений Я' в малой окрестности дй. Такая операция корректна, сели 44В нгивлижвнныв методы вычислитвльной оизики (ч. и граница дь2 достаточно гладкая, что обеспечивается определением границы уравнениями (29) при некоторых ограничениях на величину [[и(Г)[[, которые мы неявно считаем выполненными. Таким образом, можно считать, что Я'(х, у) определена и удовлетворяет в й тому же уравнению (стало быть, предполагается, что У(х, у) определена в окрестности Й и является достаточно гладкой) и совпадает с Х на границе Й с точностью до малых второго порядка. Следовательно, ~.х (х, у) — л'(х, у)~ есть величина второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
