Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Важным элементом современного вариационного исчисления является следующий класс «малых» возмущений управления, также приводящих к малому (в обычном смысле слова) возмущению траектории и функционалов. Пусть задано невозмущенное управление и( ) и соответствующая ему траектория х(1) (параметры р, ради простоты, опустим). Рассмотрим другое, в некотором смысле близкое, управление: о(1), 1Е 14, й(1) = и(1), 1 М 14. (13) Здесь г( ) — некоторая функция того же типа, что и и, причем [[и(1) — о(1) [[ = О(1), 14 — некоторое множество малой меры: тез 14 = е. Конструкции типа (13) называются конечными возмущениями управления на множествах малой меры (рассматриваются всевозможные множества 14 и функции г( )). Проведенные выше выкладки по существу содержат в себе доказательстводифференцируемости функционала (9) по Фреше.
В качестве упражнения рекомендуем читателю проделать аналогичные вычисления в следующих, мало отличающихся от рассмотренной ситуациях: а) Пусть р[и( ), р[ вя Ф[х(1'), р[, где Ф и 1' заданы. (Отдельно необходимо рассмотреть часто встречающийся в приложениях случай 1' = Т.) б) Пусть вместо начальных данных Коши х(0) = 2'(р) заданы общие краевые условия 2'(х(0), х(Т), р) = О. Существование, единственность решения такой краевой задачи, и гладкую его зависимость от управления следует предположить (доказательство этих свойств — отдельная наука, которой мы здесь не касаемся).
пгнзлиженныв мвюды вычислительной тазики 1Ч. и Пусть управлению й(1) соответствует возмущенная траектория х(1). Тогда (для задачи (8), во всяком случае) можно получить оценку Ьх(1) = О(з). Вычисление вариации функционала (теперь уже лучше не говорить о производной — оиа в данном случае не определена) проводится по той же схеме, что и раньше, но некоторые детали следует уточнить. Итак, сначала вычислим вариацию функционала т г цтт = ~ Ф(х + Ьх, й) ~(1 — ~ Ф(х, и) Ы1 о„ о ж $ Ф„[1[ Ьх(1) Ы1+ $ [Ф(х(1), о(1)) — Ф(х(1), и(1)) А.
(14) о Н Кроме обычных формул Тейлора, в (1') использовано следующее: а) в члене Ф„Ьх производная Ф„везде вычисляется в точке и(1); это неверно при 1 Е р, но мера р мала и связанная с этим погрешность есть, очевидно, О(ез); б) по тем же причинам в последнем интеграле в (14) х + Ьх заменено на х. Перейдем к уравнению в вариациях.
Имеем уравнения х=1(х, и), х= 1'(х, й), х(0) = х(0). Беря их разность, проделаем простые преобразования: Ьх = /(х + Лх, й) — У(х, и) = = у.[1[ Ьх(1) + [у(х(1), й(1)) — Дх(1), и(1))) + д(1), (15) Здесь 11(1) — разность между точным значением Ьх н первыми тремя членами последнего в (15) выражения. По тем же соображениям, которые использовались в преобразованиях (!4), можно показать, что Я(1) = О(е~) при 1 Ф и и й(1) = О(с) при 1 Е р. Поэтому для вариации Ьх(1) = съх(1) + О(сз) можно использовать уравнение в вариациях в форме Ьх = У„[1] Ьх+ [1(х(1), й(1)) — 1(х(1), и(1))), Ьх(0) = О. (1б) Выражение в фигурных скобках есть, очевидно, величина О(1) прн 1 Е и; оно обращается в нуль при 1 4 и. Тождество Лагранжа (1О) берется в той же форме (10); уравнение для ~р такое же, как (11).
В результате получаем окончательную формулу для вариации функционала: ЬР[1г, о( ) [ = ~ [Ф[х(1), и(1) [ — Ф[х(1), и(1)) п1+ + $ (ц~(1), У(х(1), в(1)) — У(х(1), и(1))) И1. (17) к ДИ««ЕГВНИВГОК«НИЕ «ГНКЦИОН4ЛОВ 441 В варнационном исчислении различают слабый относительный минимум — это точка и(.), которая' не может быть «улучшена» при возмущениях управления вариациями Ьи( ), малыми в обычной метрике (типа' С), и сильный относительный минимум — это точка и(.), которую нельзя улучшить, используя конечные вариации на множествах малой меры. Современные теории, если это удается, строят именно как теории сильного экстремума.
Дифференцирование спектра. В приложениях часто встречаются задачи следующего типа. Состояние системы х(г) определяется как та или иная (например, главная) собственная функция линейного дифференциального оператора, зависящего от «управления» ш Ци) х = Лх. (18) В таком компактном виде записываются как дифференциальное уравнение, так и краевые условия, которые обычно оформляются указанием на принадлежность х некоторому линейному пространству функций. Это пространство определяется числом необходимых производных и краевыми условиями. Уравнение (18) следует дополнить четким указанием о том, какая именно точка спектра имеется в аиду в данной задаче и как она нормируется. Итак, мы считаем, что задание и однозначно определяет как х, так и Л. Рассмотрим функционал и его прямую вариацию: г"(и) ш Л, ЬГ(Ьи( = ЬЛ.
Предположим, для простоты, что спектр вещественный, дискретный н непрерывно зависит от и. (Этот факт нужно доказывать и это делается в соответствующих разделах теории. Мы будем действовать формально. ) Выпишем уравнение в вариациях. Оно получается теми же операциями — подставкой в (18) и '+ Ьи, х + Ьх, Л + ЬЛ, использованием первых членов ряда Тейлора и группировкой членов одного порядка малости: М.(и) Ьх+ М(и, х) Ьи= Л Ьх+ ЬЛ х. (20) Здесь и — заданное управление, х и Л вЂ” соответствующие ему собственные функция и число.
Таким образом, относительно Ьх мы имеем линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (М= Е„х — матрица, зависящая от х, и). Представим (20) в другой форме: (2.— ЛЕ) Ьх= — М Ьи+ ЬЛ х. Относительно Ьх это есть вырожденная задача (задача «на спектре»). Как известно, она имеет решение только в случае, когда правая часть ортогональна собственной функции сопряженного к ь оператора, соответствующей той же точке спектра Л (или Л, если оператор Ь несамосопряженный).
Обозначим эту функцию ~р, т.е. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФНПИКИ 442 1Ч. и Ь'(и) ~р = Л~р. Тогда условие существования решения (20) есть ( — М Ьи+ ЬЛ х, ф) =О. Отсюда получаем формулу ЬЛ(Ьи) =.(М'(и, х)1р, Ьи)/(х, 1р). (21) Заметим, что в (18) х есть функция, заданная в некоторой области ьз, и может быть функцией, заданной в й, а может быть определена только на ее границе дьз (если и есть коэффициент, входящий в линейные однородные краевые условия).
Возможен и такой случай, когда и есть комплекс, одна компонента которого определена в Й, другая — на дй. Поэтому в (21) скалярное произведение (х, 1р) есть интеграл по И, (М'1р, Ьи) может состоять из интеграла по й и интеграла по дь). В этом случае М' отображает функцию, определенную в й, в комплекс, одна компонента которого есть функция, определенная в й, другая — на дь2. Очевидно, фунхция М линейно зависит от х. Поэтому правая часть (21) не зависит от способа нормировки х, ~р. Формулы типа (21) используются, например, при решении вариационных задач для математических моделей ядерных реакторов (их состояние определяется главной собственной функцией некоторой краевой задачи для системы уравнений в частных производных),при оптимизации некоторых конструкций (например, мембран, важные технические характеристики которых выражаются через частоты собственных колебаний) и т.п.
Варьирование слабого разрыва, Рассмотрим задачу, в которой траектория имеет точку слабого разрыва, причем сама эта точка при варьировании управления меняет свое положение. С такими ситуа- циями имеют дело в случае, когда правая часть уравнения меняется при пересечении траекторией некоторой заданной поверхности в фа- зовом пространстве. Итак, рассматривается обычная задача для управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (х(0) = л.", 0 и 1 и Т) У(х, и), 0(х(Т)) с О, У(х, и), б(х(г)) > О. й Ради простоты предположим, что исследуемая траектория х(Б) только один раз пересекает поверхность б(х) = О, причем пересека-' ет, как говорят„нереально, без касания.
Другими словами, требует- ся (при всех рассматриваемых значениях и) выполнение неравенств (,Г(Х, И), СР„(Х)) > О, (У(Х, И), бх(Х)) > О, где х — точка, в которой анализируемая траектория пересекает поверхность ы = О. Это условие существенно. Если оно не выполняется, перестает работать теория малых возмущений: малое возмущение управления может привести к конечному (О(1)) изменению траектории. 443 5 27! дивьвввициговьиив втикииоиьлов Рисунок 48 иллюстрирует сказанное. На нем показана линия О, на которой рвется поле направлений рассматриваемой системы уравнений, и две траектории. Одна из них пересекает поверхность 0 = О нереально. Близкая к ней в области 0 < О траектория после пересечения поверхности разрмва ос- С О тастся близкой.
Мы будем анализировать только этот случай. Другая траектория пересекает по- с4о верхность, касаясь ее. Близкая к ней в области С>0 0 с О, траекторйя не пересекает поверхности 0 = О, и такие траектории расходятся на расстояние О(1) как бы ни были они близки до прихси ближения к поверхности разрыва. По существу в этом случае не работает теорема о единствеи- Риа. 4В ности решения задачи Коши. Ниже мы ограничимся только тем основным моментом, которым эта задача отличается от стандартной. Рассмотрим вывод формулы сп ~ (У(г), Ьх(Г)) й = $ (и(Г), Ьи(Г)) Ы~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
