Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Обычно в содержательной постановке задачи условия формулируются в виде Р, М С,, где заданные значения С,. определяют, как правило, характерные значения для Р,: малое значение для Р, — это значение, существенно меньшее значения Сг Ради стандартизации постановки задачи все функционалы заменяются на Р,. — С,. О значениях С,. можно судить по значениям Р,. в начальном приближении (ч =0). Видно, что для Рз, Рз, Р«, Рз характерными являются значения порядка единицы, а для Р, — порядка 104, С учетом этих значений и следует оценивать точность выполнения условий Р,. «О для разных г. О совместных ограничениях и н х.
Как было сказано выше, для повышения гладкости функций, входящих в выражения для недифференцируемых функционалов, используется искусственный прием. Первоначальные управления объявляются фазовыми координатами, а новыми управлениями становятся их производные. Это делается для того, чтобы от функционала (10) (с явным вхождением управления в Ф) перейти к функционалу типа (9). Есть и другой способ, предложенный В.
Г. Болтянским. Пусть в задаче поставлено условие Ф[х(1), и(1)) цО, У1. Прн построении вариации управления мы должны использовать линеаризованное условие Ф[х(1), и(1)) + Ф„Ьх(1) + Ф„Ьи(1) ПО, У1 (18) (разумеется, на самом деле это условие нужно использовать не при всех значениях 0 а лишь при тех, где Ф[х(1), и(1)) > — « (е Ф„Ьи Ф„Ьх). Условие (18) очень неудобно с вычислительной точки зрения, так как Ьх(1) зависит не от Ьи(~), а от Ьи( ) (от всех значений Ьи(Р) для Р «1). Возникаег идея как-то избавиться от Ьх(г) и трактовать условие (18) независимо для каждого г (тах же, как трактуются условия типа и(~) й У, наиболее простые в данной задаче). Это достигается следующим образом. Будем искать вариацию управления в виде Ьи(1) = Ьй(1) + С(1) ЬхЯ, (19) где Ьх(1) — вариация фазы, вызванная полной вариацией управления Ьи(.), С(1) — некоторая подходящим образом построенная матрица. 470 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч.
и Подставляя (!9) в (18), получаем Ф[Г] +Ф„[Г] Ьх(1) + Ф„[1] Ьй(1) + Ф„[1] С(г) Ьх(Г) «О. здесь Ф[г] = Ф[х(г), и(1)] и т.п. Очевидно, поставленная цель будет достигнута, если в качестве С(г) взять решение матричного уравнения Ф„[г] +Ф„[1] С(г) =О. (20) В этом случае условия (18) превратятся в «локальные» (независимые при разных г) условия для Ьй(г); Ф[г] + Ф„[г] Ьй(г) ж О, 'е и Разумеется, надо внести соответствующие изменения во все элементы техники вычисления функциональных производных (дифференцирование по Ьй с учетом связи (19)), В частности, уравнение в вариациях преобразуется так: лг Ьх = 1„[г] Ьх+ У [г] Ьи = К„[1] + Яг] С(1)] Ьх + У„Щ Ьй(1).
Остальное преобразуется таким же образом. Что касается уравнения (20), то искомая матрица С есть матрица типа 4!!ш и- ойш х, т.е. она содержит ойш и.д!ш х неизвестных элементов. Само же уравнение (20) есть (так как Ф вЂ” скаляр) ейш х скалярных уравнений. Стало быть, зто есть переопределенная система. Нас устраивает любое ее решение. Несколько сложнее случай, когда условие Ф < 0 векторное. Тогда стандартной является ситуация, при которой в каждый момент времени!из всех условий Ф[х(1), и(1) ] к 0 не более гйш и являются активными (они реализуются в виде равенства, остальные — в виде строгого неравенства, их можно игнорировать) и уравнений в (19) сгановится не больше, чем неизвестных.
$29. Варнацнонные задачи механики с неднфференцнруемымн фуннцнонапамн Очень многие задачи механики имеют вариационную формулировку. Это связано с такими фундаментальными в естествознании идеями, как принцип наименьшего действия, особое значение состояний с минимальной энергией и т.п. Таким образом получаются задачи, с математической точки зрения имеющие вариационный характер. Определено некоторое пространство У и на его элементах и— функционал Р(и). Требуется определить элемент и", решая задачу шш Г(и). (1) чеи Иногда то же самое записывают в виде и' = аг8 пнп Г(и). 471 1 29! ВАГИАЦИОННЪ|Е ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ В классической механике такие задачи возникали весьма часто.
При этом формулировка и е У включала в себя указание о числе производных у допустимых функций, для которых определено вычисление г, и о краевых условиях, которым они должны удовлетворять. В наше время все чаще .возникают задачи типа (1)', в которых в формулировку и Е У включается, например, условие положительности функции и. В абстрактном представлении это оформляется как требование и Е К, где К является не линейным пространством, а, например, выпуклым замкнутым конусом. Разница между линейным пространством н конусом сосюит в том, что если два элемента и, и и принадлежат пространству, то ему же принадлежит и любая нх линейная комбинация аи, + ри2 (а, р— скзляры). Конусу такая комбинация принадлежит только при неотрицательных а, р.
В частности, множество положительных функций образует выпуклый конус (лположительный квадрант» в бесконечномерном пространстве). Кроме того, в классической механике обычно функционал Р(и) был дифференцируемым в смысле Фреше, т.е. при малом возмущении элемента и имеет место формула Р(и + Ьи) = г(и) + Г„(и) Ьи+ О(!!Ьл!!~). Линейный функционал Р„(и) есзь производная Фреше от Р в точке и (мы не останавливаемся на вопросе о том, в какой норме мало возмущение Ьи), В этом случае задачу можно решить не только в вариационной форме (1), но и используя необходимое условие экстремума Г„(и) =О. Это уравнение обычно называют уравнением Эйлера для вариационной задачи (1).
Например, известная задача Дирихле допускает две формулировки: 1) ш!и ~~ (НЗ+ из) Их 4(у; 2) Ьи=О, и Е У. (2) «яи с Здесь У вЂ” пространство функций, удовлетворяющих следующим условиям:, а) и ПРИНИМаст ЗадаННЫЕ ЗиаЧЕННя На д4г; б) и непрерывна и имеет первые производные, ограниченные в норме 1.2; вторая формулировка задачи предполагает существование вторых производных. В современной науке все чаще возникают задачи (! ), в которых функционал Р(и) не имеет производной Фреше. Он дифференцируем в более слабом смысле Гато, т.е. лишь по направлениям в функциональном пространстве.
Другими словами, для любого возмущения е», такого, что и + ен Е У, 1г е ~ О, имеем Г'(и + ЕН) = г'(и) + Ег"(И, Н) + С(Е), 472 оаикляхшнныв методы вычислительной ьизики 1ч. и При этом У считают конусом, а Р'(и, г) называют производной Р в точке и по направлению и. Введем конус У, включающий такие элементы, для которых и+ еи е У при достаточно малом е > О.
Этот конус г' может быть своим для кахсяой точки и, т.е, его следует обозначать Р(и), н необходимое условие экстремума принимает форму так называемого ашриационного неравенства: функция и является решением задачи, если Р(и+ с) В г"(и) для всех о Е У(и), или Р'(и, аа) ~0, Чаа Е 1'(и). Приближенные методы решения задач, сформулированных как вариационные с недифференцнруемым по Фреше фукционалом или в терминах варнационного неравенства, в настоящее время делают первые шаги. В этой области открывается широкое поле для создания эффективных вычислительных методов. Однако это достаточно трудная область, она требует использования неклассических методов линейной алгебры, в частности алгоритмов линейного программирования (алгоритмов решения задач типа (26.1), линейных, но содержащих условия-неравенства).
Заметим, наконец, что часто функционалы Р(и) шочти всюду» имеют обычную производную Фреше: они дифференцнруемы только в смысле Гаго в очень редких точках и. К сожалению, именно таковыми являются искомые решения (н близкие к ннм точки). Простейший пример Р(и) = ~ и~ поясняет это замечание. Обратимся к некоторым характерным конкретным задачам.
Задача Бингама, В заданной двумерной области О ищется функция и'(х, у), минимизирующая функционал г(аа(, )) ш г))г (2 (и'„+ И) +Ъ'из+ иг — аи) Их АУ, и!ас — -О. с (3) Физически и(х, у) есть продольная скорость движения в трубе сечением О так называемою вязкопластичного вещества, т.е. вещества, подчиняющегося обычному закону Ньютона (ускорение "пропорционально силе), только если сила превосходит некоторый порог. Поэтому в этом случае говорят о стационарном движении неньютоновской среды.
Такую среду образуют, например, пульпа, колбасный фарш, некоторые виды ракетного топлива и т.п. Параметр а связан с перепадом давления, Π— область не очень сложной формы (круг, прямоугольник). Что же можно сказать о дифференцируемости функционала (3)? Он недифферевцируем в смысле Фреше в том случае, когда функция и(х, у) тождественно равна постоянной в некоторой области я е С, имеющей ненулевую плоскую меру. Это, к сожалению, типичная си- «тз 4 29] ЕАуиАционныь 3АЦАчи мехАники туация.
Некоторые части среды образуют как бы твердое тело: и(х, у) = сопят, и„= и = 0 при (х, у) е я. Если область я находится внутри б, ее называют «ядром» течения. Если оиа примыкает к границе б, ее называют «зоной застоя», так как в этой зоне и ° 0 (зоны застоя часто образуются вблизи угловых точек, если Π— прямоугольник). Наднчиетаких областей — характерное явление, если перепад давления а не очень велик. Прн достаточно большом а таких областей нет, при достаточно малом а все сечение 6 образует зону застоя и «жидкость» не движется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
