Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Для того чтобы эта функция была решением исходной задачи, нужно обеспечить непрерывность потока в каждом внутреннем узле х . Соответствующие «балансные соотношения» образуют систему уравнений, имеющую форму обычной трехточечной разностной схемы, решением которой должны быть и (для того чтобы (5) было просто точным решением). Для составления таких соотношений нам нужны не базисные функции р, а некоторые функционалы от них.
Определим эти функционалы (потоки): Они имеют смысл потоков внутрь ячейки через ее левую и правую границы. Очевидно, при интерполяции (5) поток в точку х определяется значениями и„,, и, и,, и точное решение характеризуется тем, что он равен нулю (ввиду отсутствия б-образных источников). Это, впрочем, равносильно непрерывности потока: йи„~„в= «уи„~ „« . В терминах функционалов (6) условие непрерывности потока в узле х записывается следующим образом: и, Пса+ и,„Пз, з+ и П',, + и,„«, Пх ~ = О, (7) или в стандартной трехточечной форме: а и,+2Ь„и +с и,=О, где а =П, 'з, Ь =0.5(Щз+Щ,), с =Па~и Лля простоты предполагаем, что на (х „х ) помещен элемент первого типа, на (хм, хм+,] — элемент второго типа.
505 5зО МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОН Таким образом, (8) есть так называемая «точная разностная схема» (точная в той мере, в которой точно нахождение базисных функций р). Если бы исходная задача (4) была неоднородной и содержала в правой части не нуль, а у(х), причем у — гладкая на Н-сетке функция (т.е. на интервалах [х, х +,] можно пренебречь отличием у от среднего значения у +н ), то следовало бы оснастить каждый элемент еше одной базисной функцией р'(х), определяемой краевыми значениями р(0) = р(Н) = 0 ио с правой частью, тождественно равной единице. Тогда в схеме (8) добавится слагаемое У„-НЕПОо, з+ / е+пзПа г Подчеркнем еще раз отличие метода конечных суперэлементов от метода конечных элементов. В методе конечных суперэлементов базис состоит из решений исходной задачи, и зто определяет его преимущество. В частности, метод конечных суперэлементов претендует на расчет с большим шагом Н.
Однако с этим же связана и его определенная ограниченность. Он требует предварительного расчета базисов и сохранения используемой в дальнейшем информации — потоков П, что реально можно сделать только для ограниченного числа стандартных «элементов», из которых и должна компоноваться рассчитываемая система. Метод конечных элементов, конечно, гораздо универсальнес, но он требует достаточно малых размеров конечных элементов, геометрическая форма которых может быть достаточно разнообразной.
Гомогеннзация. Как подчеркивалось выше, существуют важные приложения, в которых посильными для расчетов на современных ЭВМ являются сетки с шагом Н, однако требующие расчета реальные системы имеют пространственную структуру с много меныпими Н размерами. Конкретно это можно представить себе, например, следующим образом. Решается задача (4) в слоистой среде, т.е. интервал [О, Х] заполнен слоями разных веществ, толщины которых много меньше Н. Для этих веществ известны коэффициенты Р и А.
Используется такой подход. Для каждой ячейки размером Н пы- таютсЯ найти свои эффективные коэффициенты «Р +нз, А +нм с которыми составляют стандартную разносгную схему. Такая операция весьма распространена, например, в математической теории атомных реакторов. Она получила название «гомогениэацил», а эффективные коэффициенты уравнения (4) называют «гомогенизированными». Часто гомогенизация осуществляется простым осреднением коэффициентов «на решении». Поясним суть дела на примере задачи (4). Прежде всего следует конкретизировать «типичное» решение, по которому производится осреднение.
Так как шаг Н в некотором смысле в дальнейшем считается не очень большим (в том смысле, что можно ожидать малого изменения искомого решения ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [ч. и полной задачи при переходе от точки х к х +[), то «типичное» решение в ячейке длиной Н определяется решением задачи (4) с краевыми условиями й(0) = й(Н) = 1. Определив решение й(х), осредняют на нем коэффициенты (4), придерживаясь физических соображений. Так, в уравнении (4) и ему подобных важную роль играет число поглощенных частиц в ячейке )А(х) и(х) Б[х (здесь и(х) означает решение исходной задачи (4)).
Исходя из стремления правильно передать физическую сущность процесса (а число поглощеннмх частиц есть одна из основных характеристик при расчетах атомных ректоров, их защит, прохождения излучения через оптически толстые среды и т.п.), осредненный (гомогенизированный) коэффициент А определяют, например, формулой Н и А = ~ й(х) А(х) Нх/ ~ й(х) е[х. В о Близкие соображения используют и прн осреднении коэффициента диффузии.
Точная разностная схема. Если отвлечься от погрешностей расчета базисных функций, то при любых значениях и функция (5) является «кусочно-точным» решением уравнения (4): оно удовлетворяется во всех точках, кроме узлов х . Если к тому же значения им удовлетворшот разностному уравнению (7), т.е. в узлах х выполняется условие непрерывности потока, то функция (5) является просто точным решением (4). Описанная выше процедура построения «точной» схемы является наиболее обоснованной процедурой «гомогенизации». Она дает нетривиальные резулътаты даже при постоянных коэффициентах Р и А только за счет «большого» шага.
Поучнтелъно привести характерный пример. Пусть А и 1Р в (4) постоянны, но шаг Н большой. Тогда точная схема (7) получается стандартным образом: (ЙРР-)(и„,— 2и +и +,) — Аи =О, если используются коэффициенты В = .БРа/з[Б а, А = 2(ЯНВ) а [[ь (ц[2), а = 4~Я» 1. Простое усреднение не учитывает большого шага и дает в данном случае тривиальный результат. Кстати (предоставим убедиться в этом читателю), результат гомогенизации на базе точной схемы 507 Я з11 метод конечных сгпвгэлвмвнтов зависит и от вида схемы (например, можно записать член Аи в виде (А/б)(и, + 4мм+ и,„+,); тогда будут другие значения Ь, А.
К сожалению, такую схему гомогенизации можно реализовать только в не очень-то интересном, одномерном, случае. Однако некоторые высказанные выше соображения можно в какой-то мере использовать и в более реальных двумерных н трехмерных задачах. Двумерный метод конечных суперэлементов.
Имея в виду расчет задачи о трещине гидроразрыва и другие аналогичные задачи, рассмотрим в качестве суперэлемента квадрат Нх Н, из которого исключен расположенный в центре круг радиусом г 1кН («скважинав), Занумеруем вершины 4 з квадрата так, как показано на рнс. бО. Границу квадрата разделим на четыре части од каждую из которых ассоциируем с соответствующей вер- © шиной. Оснастим такой элемент базисом из пяти ц "г функций р,(х, у) (1=0, 1,.„, 4), Функцию 2 р,(х, у) определим как решение уравнения Лапласа Ь р = 0 при следующих краевых условиях. Положим в первой вершине элемента р=1, в остальных — р = О. С вершин на грани элемента значения р проннтерполируем линейно.
На внутренней границе хз + уз = г~ (на скважине) положим р = О. Аналогичным образом определим базисные функции рм рм р4. Что касается р, то она определяется решением того же уравнения Лапласа при нулевых значениях на внешней границе квадрата и при значении ~р = 1 на границе скважины. Таким базисом оснащается элемент первого типа. Элемент второго типа — обычная однородная ячейка Нх Н, в которой подобная процедура построения базиса приводит к элементарным билинейным функциям типа / ~р(х, у) = 1 — х/Н вЂ” у/Н + ху/Нз.
Именно таким базисом оснащается элемент (ячейка счетной сетки) в стандартном методе конечных элементов. Расчетная область покрывается сеткой с шагом Н, в каждую ее ячейку помещается элемент первого или второго типа в зависимости от того, содержится в ней скважина или нет. В узлах сетки Нх Н определяется сеточная функция Р»,„. Внутрь ячейки, содержащей скважину с заданным давлением Р, функция р интерполируется с помощью базиса элемента данного типа: р(х, у) = Р ~рв(х, у) + ~ р; р; (х, у), (9) г ! 5ое пРиБлиженные метОды вычислительной Физики 1ч. и где р, — значения р», ио иначе занумерованные (р, = р» рз = р», и т.д.).
В (9) ради простоты опущен индекс у базисных функций — номер типа суперэлемента, помещенного в данную ячейку. Конечно, эта формула действует лишь внутри ячейки (х + 1/2, на + 1/2), т.е. при х Е (х», х +,), у Е (у, у +,). Функция (9) всюду, кроме координатных линий сетки, удовлетворяет уравнению Ьр = О, на границах скважин она принимает заданные значения, Здесь мы, конечно, отвлекаемся оттого, что вычисление базисных функций осуществляется на специальной неравномерной сетке, шаг которой вблизи скважины существенно меньше г. Кроме того, если требуется решать неоднородное уравнение (2), это делается аналогично одномерному случаю.
Для того чтобы функция всюду была гармонической, нужно потребовать условий сшивки на координатных линиях сетки. Такие условия, как известио, состоят из требований непрерывности самой функции (это требование автоматически выполняется конструкцией (9) при любых р» ) и непрерывности нормальных к линиям сетки производных. Последнее требование, разумеется, точно выполнить невозможно, распоряжаясь лишь значениями р» ). Однако можно потребовать выпола, нения его в некотором «слабом» смысле. га с каждым внутренним узлом сетки (х, нт) свя© жем специальную область о», имеющую нулевую площадь. Эта область имеет форму креста (рис. б1), но каждый его луч имеет две стороны, обращенные в соседние ячейки.
Функцию р(х, у) вида (9) будем считать приближенным решением, если для всех внутренних узлов (к, нз) выполняется условие равенства нулю потока в области о . Введя обозначения до» для двусторонней крестообразной линии (границы о» ) и и для направления нормали к до», условие равенства потока в о»,„запишем в виде $ РКИБ=О. (10) аа„ Можно показать, что такое же условие (10) получается, если проинтегрировать уравнение 61Р Р етаб р = 0 по квадрату Н х Н с центром в узле (/Б, нт), исключив из него, разумеется, скважину, если она имеется в какой-то из примыкающих к узлу ячеек. Уравнение (10) следует превратить в разностное уравнение, связывающее девять значений р» „+а, где а, р е ( — 1, 11.
Для этого при расчете базисных функций вычислим и сохраним значения потоков через элементарные контуры ои показанные на рис. 60: аа! П'з =$Р» — '»Ь, 1=0,1,...,4, /=1,2,...,4. а 509 Ф зз1 МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ Напомним смысл индексов: з — номер типа ячейки, 1 — номер базисной функции (1-я функция соответствует 1-й вершине, в которой з'-я функция равна единице), У вЂ” номер участка границы.
Если коэффйциент диффузии в ячейке постоянен (или очень мало меняется, т.е, в расчетной схеме полагается постоянным), то потоки вычисляются для решений уравнения Ь р = О и затем умножаются на зг. ЕслИ ВЗ в ячейке имеет сложный характер, базисная функция ищется решением уравнения б!у Р агам р = О. Теперь для представления явного вида разиостиой схемы нужно рассмотреть все точки (й + а, лз + В), каждая из которых дает свой вклад в интеграл (10). Выпишем соответствующую формулу, полагая, что читатель без труда поймет принцип ее образования: Ре — д — А, з + Ра, — ~(Пг з + Пк 4) + Ре Р ь т-1 Пгг 4 + 1 + Ри-ь и(П4 з+ П~ г) + Ре+~,»(Пз 4+ Пз з) + + РВ (Пз з + П4 4 + Пз 1 + Пг г) + РВ з +~ П4 г + + РВ щ+~ (Пз г+ П4 У) + Ри+1 м м Пз У + Р ПО з = О~ ( ) где верхние индексы у П есть номера типов суперэлементов„поме- щенных в ячейки, примыкающие к узлу (к, лг).
В (11) мы ограни- чились случаем, когда только в ячейке 1 имеется скважина с задан- ным на ней давлением Р'. Если попытаться сформулировать класс задач, в которых методы расчета с «большим шагом» окажутся достаточно эффективными, то, видимо, следует принять важное предположение: на координатных линиях сетки с шагом Н искомая функция хоро- шо аппроксимируется с помощью линейной низ терпаляпнн. Успех вероятен в том случае, когда з ь дифференциальные свойства искомой функции 4 р(х, у) и ее ограничения на координатные линии Н-сетки существенно различны. Для функции, рассматриваемой во всей двумерной области, шаг Н очень велик, ограничение ее на Н-сетку пропускает существенные детали (в данном случае, сильные дефор- мации решения в малой окрестности скважины), Но функция, рас- сматриваемая лишь на координатных линиях, может быть достаточно гладкой, и значения ее в узлах (к, Рл) дают весьма полное представ- ление о поведении функции на линиях сетки, но не во всей плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
