Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 112
Текст из файла (страница 112)
метод дифференциальной прогонки Прогонка, как устойчивый метод решения краевых задач с большим параметром, была введена и исследована И. М. Гельфандом и О. В. Локуцневским в 1952 г. (опубликована в приложении к [43[). Важнейшие обобщения принадлежат А. А. Абрамову [2! и С, К, Годунову [43[.
См. также список литературы к 8 1О, 18. К 9 10. Прогонка в розностной задаче Штурма-Лиувиллл Прогонка ввлвется алгоритмом Гаусса с предписанным порядком исключения неизвестных, который обычно неустойчив (устойчив метод Гаусса с выбором максимального элемента матрицы). Прогонка была «открыта» И. М.
Гельфандом и О, В. Лакуциевским в 1952 г. именно как применение алгоритма, изложенного в школьном учебнике алгебры. Их заслугой является установление устойчижктм и использование алгоритма при решении сложных задач. Примерно в то же время в связи с аналогичным работами прогонка была предложена другими авторами. В настоящее время она является одним из самых массовых алгоритмов.
Этот алгоритм (и его обобщения) описаны практически в любом руководстве по численному анализу [9, 18, 19, 118, 120[, См. также список литературы к 8 9, 15, 18, 22. К 9 уй Численггое интегрирование задачи Коши длл уравнений с частными производными Методы построения и анализа разностных аппроксимаций уравнений ьатематической физики на простейших сетках подробно описаны в [9, ! 9, 30, 43, 44, 70, 83, 112, 118[; там же рассмотрены вопросы реализации схем. Впервые на важность соотношения между шагами сетки бьио указано в [76[. Фундаментальный характер «условий Куранта» в полной мере был оценен позже, когда на ЭВМ стали решаться задачи, требующие проведения миллионов операций без контроля математика. В настоящее время практика вынуждает использовать сетки с нерегулярным расположением узлов.
Построение аппроксимаций на таких сетках осуществляют не явными формулами, а алгоритмами вычисления коэффициентов схемы. Видимо, первым такие схемы использовал В.Ф.Дьяченко [58, 591 (см. б 23). См, также [130, 156[. К 9 12. Спеюпральный признак устойчивости Автором метода спектрального анализа устойчивости считают фон-Неймана, хоти он и не является автором первой публикации [28[. Это — пример работы, оказавшей огромное влияние на численный анализ, несмотря на крайнюю простоту используемого математического аппарата.
Изложение теории устойчивости разностных схем и практики ее применения см. а [30, 43, 44[. Общую теорию устойчивости (необходимые и достаточные условия в терминах матричных неравенств) см. в [! 16-118[. Метод исследования разностных краевых условий был доложен К. И. Бабенко, И. М. Гельфандом и О. В. Локуциенским на конференции по функциональному анализу (Москва, 1956) и опубликован в [10!.
Подробное изложение и дальнейшее развитие этого метода см. в (44[. К у 13. Метод переменных направлений Метод переменных направлений, принадлежащий к небольшому числу алгоритмических изобретений, оказавших существенное кзияние на развитие вычислительной математики, быя предложен в 1955 г. Д.
Писманом и Г. Рэчфордом [107!. Обобщение этой конструкции привело к созданию методов расщепления. В настоящее время эта конструкция широко используетсв для решения двумерных н трехмешгых задач. Методы решения систем линейных уравнений с разреженными матрицами описаны в [5э!. Теория схем со слабой аппроксимацией изложена в [117, 165[.
К 9 14. Решение эллиптических задач методом сеток Теория приближенного решения эллиптических краевых задач разработана очень полно. Многие теоретические результаты (особенна расчет оптимальных итерационных параметров) используются в практической работе. До появления ЭВМ основным был 525 БиБлиОТРАФический кОмментАРий релаксационный метод Р. В, Саусзелла (!32), используемый и сейчас, Современное ега антонине описано в [ ! 64) . Метод переменных направлений, предложеннмй апервме в [!071 и оптимизированный В.Л. Вашпрессом [361, стал ярким сабьпием в развитии численного анализа. Обобщения метода. расширяющие обяасть ега приложений, и развитие соответствующей теории выполнены Б.
Г. Лимоновым [561. Подробно описание итерационных ментов см. в [83, !20, !22, !40). Теория устойчивого метода чебышезского ускорения предложена в (78, !16). Устойчивый трехслойный вариант алгоритма, основанный на рекуррентном соотношении для полиномов Чебышева, изложен в (164). Многосеточный метод предложен Р. П.
Федоренко (149); его теоретическое обоснование в простейшем случае (уравнение Пуассона в квадрате) дано в [!44]. См. также [140, !6Ц, Независимость зффективностн итераций от шаш сетки в весьма общей ситуации доказана в [8, !7, ! 6Ц. Широкое распространение метод, названный Ма!ВБг!д, получил после работ Хакбуша ( !57], Применение метода к уравнениям упругости (бигармоническому, системе уравнений Ламе) см, в (98, 127), К у 15.
Спектральная задача Штурма-Лиувиллл Метод тригонометрической прогонки был предяожен в [80, 94[. См. также список литературы к $9, ! 1, 12, ! 8. Алгоритмы Х. И. Бабенко см. в [91. К у 16. Главная спекгпральпая задача для краевых задач математической Физики Изложение теории и практики решения спектральной задачи в расчетах реакторов см. в [35, 36].
Метод решения уравнения Шредингера разработан П. М. Блехерам н В. И. Турчаниновым [23], Исследование равновесных конфигураций плазмы проводилось Н. М. Зуевой [68) и др. Метод расчета нестационарного процесса в реакторе разработан и реализован Л. Г. Страхавскоп и Р. П. Федоренко (127, ! 23(. К у 17. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений Вопросы приближенного решения жестких систем см. в [51, !08, !521. Теорию сингулярно-возмущенных систем см, в ]32).
Системный метод изложен в [3, 99]. Асимптотическая теория жестких систем предложена Р. П. Федоренко [139, 143. !50]. В- теория чисяенного интегрирования подробно изложена в [51 ) . К у 18. Жеспшие линейные краевые задачи Параграф написан иа основе [2, 49[. Теория корректных краевых задач разработана С. К. Годуновым н В. С. Рябеньким 1441. Периодическая прогонка предложена в [Ц.
См. также [!20). К у 19. Осреднение быстрых вращений Теория метода построена Н. М. Крыловым и Н. Н. Богслюбовмм (24, 75). Стробоскопический метод введен Н. Минорскнм [9!); близкий «метод точечных отображений» см. в [93), Изложение основана на обзоре ( ! 38) и диссертации А, М. Молчанова [89(. В (!38) см.
изложение идей А. Н. Колмогорова (74] (осреднение для гзмильюновых систем), развитых в работах В. И. Арнольда [7) н Ю. Мозера 188]. К б 20. Одномерные уравнения газовой динамики и их численное интегрироепше мепшм приближенного решение одномерных уравнений см. в [4, 100, 112, 12Ц. теорию уравнений и аятомодельнькг ранении см.
в [951. Метод С. К. Годунова описан в [80], конструкции характеристических схем — в 12Ц. Теорию дифференциальных прибяиженнй см. в [!62). Расчет разрывных решений рысмотрен в )44). Гибридные схемы впервые предложены в [45, 73, !461. Их широкое применение началось после (27] (см,, например, [96)!. Следует выделить ТУП-схему А, Хартена (!58) и схемы А. С, Холодова [!56(. БиБлиОГРАФический кОмментАРиЙ 526 К 9 2А Нелинейное уравнение теплопроводности Параграф основан на опыте работы !Руппы И. М.
Гельфанда (ИПМ им. М. В. Келдыша, 50-е годы). Аппроксимация потока (21.6) была получена К. В. Брушлинским. Потоко- вая прогонка предложена в [51). См. также [120, 121]. К 9 22. Реализация разностной схемы для уравнений газовой динамики с теплопроеадностью Основу изложения составляет схема, разработанная И. М. Гельфандом, В.
Ф. Дьяченко, О. В, Локуциевским. Полностью консервативные схемы введены в [121]. Проблема «мо- ноюнизации» схем впервые рассмотрена в [146), откуда взяты численные результаты. К у 23. Приближенное решение двумерных задач газовой динамшси Р1С-метод предчожен Ф. Х. Харлоу (1955 г.) [153]. Метод крупных частиц и его при- менение см. в [21, 22]. Мезод свободных точек описан в [11); там же описаны и другие методы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
