Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Расчет магнитного поля соленоида:

Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводника. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.

(Рисунок 4.1)

Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнитного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.

Из соображений симметрии ясно, что линии вектора внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.

Следует выбрать прямоугольный контур так, как показано на рисунке 4.1. Циркуляция вектора по данному контуру равна , и контур охватывает ток . Согласно теореме о циркуляции , откуда следует, что внутри длинного соленоида

, т.е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида). Произведение называют числом ампервитков.

Расчет магнитного поля тороида:

Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рисунок 4.2).

(Рисунок 4.2)

Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора должны быть окружностями, центры которых расположены на оси тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей. Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток , где – число витков в тороидальной катушке; – ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции , откуда следует, что внутри тороида

Видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока , текущего вдоль оси . Устремив и радиус тороида к бесконечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.

Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает, поэтому для такого контура . Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.

В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат строго в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси . Эта составляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.

2) Волновое уравнение для электромагнитного поля. Скорость распространения электромагнитных волн:

Электромагнитное поле способно существовать самостоятельно без электрических зарядов и токов, при этом изменение его состояние имеет волновой характер. Поля такого рода – электромагнитные волны, в вакууме их скорость – с (скорость света). Рассмотрим однородную нейтральную непроводящую среду с проницаемостями ε и μ: .

В этом случае плотности зарядов и токов равны 0 ( ), и уравнения Максвелла:

– уравнения выражают роторы и

– уравнения выражают дивергенции и

Продифференцировав уравнение по времени получим и затем используем :

, где – оператор Лапласа

Таким образом, мы приходим к идентичным волновым уравнениям для полей и :

, где коэффициент перед второй производной по времени – величина обратная квадрату скорости v распространения волны:

, где c – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме

3) Решение:

(Рисунок 4.3)

Найдём напряженность поля, зная напряжение

Тогда

Запишем уравнение Максвелла для циркуляции напряженности магнитного поля в интегральной форме:

Приведём выражение к косинусу суммы. Разделив

Ответ:

Билет 5

1) Работа электростатического поля при перемещении зарядов:

Любое стационарное поле центральных сил является потенциальным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле – поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля в точку2, взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении равна , а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как , где вектор – напряженность поля

Потенциал электростатического поля:

Рассмотрим способ описания электрического поля с помощью вектора – с помощью потенциала

Тот факт, что линейный интеграл , представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат , убыль которой ,

Где и – значения функции в точках 1 и 2. Так определенная величина называется потенциалом поля.

Воспользуемся тем, что формула справедлива не только для конечных перемещений, но и для элементарных . Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть

Другими словами, если известно поле , то для нахождения надо представить как убыль некоторой функции. Эта функция и есть . Найдем потенциал поля неподвижного точечного заряда: ,

где учтено, что , ибо проекция вектора на вектор , а значит, и на равна приращению модуля вектора , т.е. . Величина, стоящая в круглых скобках под знаком дифференциала, и есть . Таким образом, потенциал поля точечного заряда

Потенциал поля системы: , где – расстояние от точечного заряда до интересующей нас точки поля.

Связь вектора напряженности электростатического поля и потенциала:

Связь между и можно установить с помощью уравнения . Пусть перемещение параллельно оси X, тогда , где – орт оси X, – приращение координаты , , где – проекция вектора на орт (а не на перемещение ). Сопоставив последнее выражение с формулой , получим , где символ частной производной подчеркивает, что функцию надо дифференцировать только по х, считая у и z при этом постоянными.

Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций и . А определив , легко найти и сам вектор :

Тогда: , т.е. напряженность поля равна со знаком минус градиенту потенциала.

Уравнение Пуассона:

Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция — потенциал. Для этого подставим в левую часть ( – объемная плотность заряда) вместо его выражение через , т.е. . В результате получим общее дифференциальное уравнение для потенциала – уравнение Пуассона: , где – оператор Лапласа (лапласиан). В декартовых координатах он имеет вид

2) Пространственная и временная когерентность:

Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, т.е. согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Так как ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, то волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, всегда некогерентны. Спектр частот реальной волны имеет конечную ширину . Если в какой-то момент времени волны были в фазе, через некоторое время разность фаз будет уже равна (волны в противофазе). Такую волну можно приближенно считать монохроматической только в течение времени , – время когерентности немонохроматической волны. За промежуток времени разность фаз колебаний изменится на .

Время когерентности – время, по истечении которого разность фаз волны в некоторой, но одной и той же точке пространства изменяется на .

Волна с циклической частотой и фазовой скоростью распространяется за это время на расстояние , – длина когерентности, расстояние между точками, разность фаз в которых .

Таким образом, длина когерентности есть расстояние, при прохождении которого две или несколько волн утрачивают когерентность. Отсюда следует, что наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях хода, которые меньше длины когерентности для используемого источника света.

Чем ближе волна к монохроматической, тем меньше ширина и тем больше длина когерентности , а следовательно и время когерентности .

Когерентность колебаний, определяемая степенью монохроматичности волн, которая совершаются в одной и той же точке пространства, называется временной когерентностью.

Наряду с временной когерентностью для описания когерентных свойств волн в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, вводится понятие пространственной когерентности. Два источника, размеры и взаимное расположение которых позволяют наблюдать интерференцию, называются пространственно-когерентными. Радиусом когерентности (или длиной пространственной когерентности) называется максимальное, поперечное направлению распространения волны расстояние, на котором возможно проявление интерференции.

Таким образом, пространственная когерентность определится радиусом когерентности: , – длина волны света, – угловой размер источника.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)