Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Из теоремы Гаусса:

Ответ:

Билет 9

1) Принцип суперпозиции и его применение к расчёту поля системы неподвижных зарядов:

Вектор напряженности поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

, где – расстояние между зарядом и интересующей нас точкой поля.

Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Он позволяет вычислять напряженность поля любой системы зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов.

Расчёт электрического поля равномерно заряженного кольца:

Пусть заряд равномерно распределён по тонкому кольцу радиуса a.

Вектор должен быть направлен по оси кольца (Рисунок 9.1).

(Рисунок 9.1)

Выделим на кольце около точки А элемент dl. Запишем выражение для составляющей от этого элемента в точке С:

, где . Для всех элементов кольца r и a будут одними и теми же, поэтому интегрирование этого выражения сводится просто к замене на q. В результате

, видно, что при поле , т.е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

Равномерно заряженной нити:

(Рисунок 9.2)

Пусть дана нить длинной , которая равномерно заряжена зарядом

Из соображений симметрии ясно, что вектор должен иметь направление, показанное на рисунке. Это подсказывает, как надо поступить далее: определим составляющую от элемента нити с зарядом и затем проинтегрируем по всем элементам нити. В нашем случае

, где – линейная плотность заряда нити. Из рисунка 9.2 видно, что и

,

где – максимальное значение угла ,

Поэтому , видно, что при поле , т.е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

Расчёт электрического поля диполя:

(Рисунок 9.3)

Для нахождения поля диполя воспользуемся формулой ( – проекция вектора на перемещение ), вычислив с помощью нее проекции вектора Е на два взаимно перпендикулярных направления — вдоль ортов и (Рисунок 9.3)

, где – электрический момент диполя.

2) Давление электромагнитной волны:

Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Это давление возникает в результате воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны.

Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что в среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью , а поэтому , т.е. поглощающая среда обладает проводимостью.

Электрическое поле волны в такой среде возбуждает электрический ток с плотностью . Вследствие этого на единицу объема среды действует амперова сила плотности , направленная в сторону распространения волны (рисунок 9.4). Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны.

(рисунок 9.4)

При отсутствии поглощения проводимость и , т.е. в этом случае электромагнитная волна не оказывает никакого давления на среду.

1) Решение:

(Рисунок 9.5)

Ответ: Весть ток уходит в теплоту

Билет 10

1) Поток вектора напряжённости электростатического поля:

(Рисунок 10.1)

Для большей наглядности воспользуемся геометрической картиной описания электрического поля (с помощью линий вектора ) и еще, для упрощения рассуждений, будем считать, что густота линий равна модулю вектора . Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку , нормаль которой составляет угол с вектором , определяется согласно рисунку 10.1 как . Эта величина и есть поток вектора сквозь площадку . В более компактной форме: ,

Где — проекция вектора на нормаль к площадке , — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке. Заметим, что выбор направления вектора (а следовательно, и ) условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону.

Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то по ток вектора сквозь нее

Теорема Гаусса в интегральной форме в вакууме:

Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S обладает свойством: он зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью. А именно – это выражение и составляет суть теоремы Гаусса: поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на

В дифференциальной форме:

, где – объемная плотность заряда

В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля в данной точке зависит только от плотности электрического заряда в той же точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля.

Применение для расчёта теоремы Гаусса:

Теорема Гаусса оказывается весьма эффективным аналитическим инструментом: она позволяет получить ответы на некоторые принципиальные вопросы, не решая задачи, а также находить и само поле , причем чрезвычайно простым путем.

Расчет поля равномерно заряженной плоскости:

(Рисунок 10.2)

Пусть поверхностная плотность заряда равна . Из симметрии задачи очевидно, что вектор перпендикулярен заряженной плоскости. В симметричных относительно этой плоскости точках вектор одинаков по модулю и противоположен по направлению. Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать прямой цилиндр, расположенный, как на рисунке 10.2, где предполагается .

Поток сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, и поэтому полный поток через всю поверхность цилиндра будет , где – площадь каждого торца. Внутри цилиндра заключен заряд . Согласно теореме Гаусса , откуда , где – проекция вектора на нормаль к заряженной плоскости, причем вектор направлен от этой плоскости.

Если , то и , значит, вектор направлен от заряженной плоскости, как на рисунке 10.2, и наоборот.

Цилиндра:

(Рисунок 10.3)

Поле бесконечного круглого цилиндра, заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд q.

Из соображений симметрии следует, что поле здесь имеет радиальный характер, т.е. вектор в каждой точке перпендикулярен оси цилиндра, а модуль вектора зависит только от расстояния r до оси цилиндра. Это подсказывает, что замкнутую поверхность здесь надо взять в форме коаксиального прямого цилиндра (рисунок 10.3). Тогда поток вектора сквозь торцы этого цилиндра равен нулю, а через боковую поверхность , где – проекция вектора на радиус-вектор , совпадающий по направлению с нормалью к боковой поверхности цилиндра радиусом и высотой h. По теореме Гаусса для случая имеем , откуда

При , то и , значит, вектор направлен от заряженного цилиндра, как на рисунке, и наоборот.

Если , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области независимо от r. Таким образом, внутри равномерно заряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра поля нет.

Сферы:

Поле сферической поверхности радиусом а, заряженной равномерно зарядом q. Это поле, очевидно, центрально-симметричное: направление вектора в любой точке проходит через центр сферы, а модуль вектора должен зависеть только от расстояния r до центра сферы. Ясно, что при такой конфигурации поля в качестве замкнутой поверхности надо взять концентрическую сферу. Пусть ее радиус , тогда по теореме Гаусса , откуда ,

Где – проекция вектора на радиус-вектор , совпадающий по направлению с нормалью n к поверхности в каждой ее точке. Знак заряда q и здесь определяет знак проекции , а следовательно, и направление самого вектора : от заряженной сферы (при ) или к ней (при ).

Если ,то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области всюду , т. е. внутри равномерно заряженной сферической поверхности электрическое поле отсутствует. Вне этой поверхности поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда.

Шара:

Пусть заряд q равномерно распределен по шару радиусом а. Поле такой системы, очевидно, также центрально-симметричное, поэтому и здесь для нахождения поля следует в качестве замкнутой поверхности взять концентрическую сферу. Для поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем примере (сферы). Внутри же шара выражение для поля будет другим. Сфера радиусом охватывает заряд , ибо в нашем случае заряды относятся как объемы, а последние как кубы радиусов. Поэтому согласно теореме Гаусса

Откуда , т.е. внутри равномерно заряженного шара напряженность растет линейно с расстоянием r от его центра. График зависимости от r показан на рисунке 10.4.

(Рисунок 10.4)

2) Плоская электромагнитная волна:

В плоской волне волновые поверхности (где точки среды колеблются в одинаковой фазе) имеют вид плоскостей. Когда говорят, что плоская волна распространяется вдоль , то это надо понимать так, что её волновые поверхности (плоскости) перпендикулярны этой оси.

Поперечность электромагнитных волн:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)