билеты08 теория задачи (56стр) (798014), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вычтем из ур-я Ш.комплексно22∂ψ∂ψ−+ Uψ = −i2∂tсопряженное ему ур-е 2m ∂x−2∂ ⎛ ∂ψ∂ψ ⎞∂∂ψ∂ψ−ψ+ψ(ψ)⎜ψ⎟=i∂x ⎠∂t∂t∂t илиполучим 2m ∂x ⎝ ∂x∂ 2 ∂ ⎛ i ⎛ ∂ψ∂ψ ⎞ ⎞ψ + ⎜−−ψ⎜ψ⎟ =0∂t∂x ⎝ 2m ⎝ ∂x∂x ⎠ ⎟⎠−2∂ 2⎛ iψ + div ⎜ −(ψ ⋅∇ψ −ψ ⋅∇ψ ) ⎞⎟ = 0⎝ 2m⎠где выражение в скобках и есть вектороткуда ∂t∂ρ+ divj = 0.плотности потока вероятности, по аналогии с уравнением непрерывности ∂tПринцип суперпозиции. Пусть в состоянии с волновой функцией ψ 1 (r ) некотороеизмерение приводит с достоверностью к определенному результату 1, а в состоянии сволновой функцией ψ 2 (r ) - к результату 2.
Тогда всякая линейная комбинация ψ 1 иψ 2 ,т.е. всякая волновая функция вида c1ψ 1 + c2ψ 2 , где c1 и c2 - постоянные, дает состояние,в котором то же измерение дает либо результат 1, либо результат 2. Вероятности22проявления этих результатов равны c1 и c2 соответственно. Если ψ 1 (r , t ) и ψ 2 (r , t )являются решениями уравнения Шредингера, то и любая их лин. комб.также является решением уравнения Шредингера.ψ = ∑ cnψ nn2. Принцип работы лазера. Особенности лазерного излучения. Основные типылазеров, их применение.Лазеры –устройства, припрохождении через ктр. э/мволны, усиливаются за счетоткрытого Эйнштейномвынужденного излучения.Принцип работы: Когда средапоглощает энергию(доставленную любым способом,например, фотонами), то ее частьзапасается (поглощается) в виде энергии возбужденных атомов или молекул (рис.
1а).Молекула, атом или ион из возбужденного состояния может перейти на более низкийэнергетический уровень (рис. 1б) самопроизвольно (спонтанно) или под действиемвнешнего электромагнитного излучения (вынужденно) с частотой, равной частотекванта, испущенного спонтанно (рис.1в). Эти переходы могут сопровождатьсяизлучением, называемым соответственно спонтанным или вынужденным, причемhν = E j − Eiчастота излучения определяется соотношением:.где Ej и Ei — энергетические уровни, между которыми осуществляется переход,сопровождающийся излучением кванта энергии, дополнительного к кванту внешнегоэлектромагнитного излучения, его вызвавшему.Если кванты спонтанного излученияиспускаются в случайных направлениях, токвант вынужденного излучения испускается втом же направлении, что и квант внешнегоэлектромагнитного поля.
Причем частота, фазаи поляризация вынужденного и внешнегоизлучений совпадают, то есть оба кванта полностью тождественны (рис. 1в). Поддействием электромагнитного излучения могут происходить переходы не только сболее высокого энергетического уровня на более низкий, но и в обратном направлении,что соответствует акту поглощения.
Для того чтобы преобладали переходы, прикоторых происходит излучение энергии, необходимо создать инверсную населенностьвозбужденного уровня Ej, то есть создать повышенную концентрацию атомов илимолекул на этом уровне. Процесс создания инверсной населенности – накачка.
Длясоздания инверсной населенности прим. 3-х уровневая схема: 1)молекулыпривнесенной из вне энергией переводятся из основного I в возб. III сост. Уровень III –такой, что время жизни молекул очень мало 10-8, если на ур-не II вр. жизни мол-л 10-3,то молекулы спонтанно без излучения переходя с ур-ня III будут накапливаться на урне II (метастабильном). Созданная т.о. инверсная населенность обеспечит усл-я дляусиления излучения. среда в ктр.
создана инверсная населенность – активная. Однакогенерация оптич. колебаний может возникнуть только в том случае, если вынужденноеизлучение, раз возникнет будет вызывать новые акты. Для создания такого пр-саактивную среду помещают в оптич. резонатор. Опт. резонатор – сист. из 2 зеркалмежду ктр. располагается активная среда. Важнейшее св-во зеркал – высокий коэф.отражения. С ур-ня II на I могу происходить и спонтанные и вынужденные переходы.При спонт. переходе одного из атомов испускается фотон, ктр. вызывает вынужденныепереходы др. атомов, тоже сопровождающиеся излучением фотонов. Развиваетсялавинообразный процесс.
Оптический резонатор ориентирует направление движфотонов вдоль оси кристалла. При достижении опр. мощности излучение выходитчерез зеркала (особенно через полупрозрачное).Особенности: 1) выс. монохроматичность; 2) малая расходимость пучка; 3) больш.интенсивность; 4) выс. когерентность.Типы лазеров: 1) твердотельные; 2) полупроводниковые; 3) жидкостные; 4) газовые.Применение: 1) высокоточная мех. обработка; 2) в медицине (скальпель); 3) оружие.Билет №31. Спонтанное и индуцированное вынужденное излучение. Коэффициенты “A” и “B”Эйнштейна.Спонтанный переход – переход атомов с более высоких на более низкиеэнергетические уровни. Такие переходы приводят к спонтанному испусканию атомамифотонов. Индуцированные переходы – переходы с более низких на более высокиеуровни энергии под действием излучения.
Для возможности установления равновесияпри произвольной интенсивности падающего излучения необходимо существование«испускательных переходов», вероятность ктр. возрастала бы с увеличениеминтенсивности излучения, т.е. «испуск. переходов», вызываемых излучением.Возникающее при таких переходах излучение назыв. вынужденным илииндуцированным.Вынужденное и вынуждающее излучения являются строго когерентными. Пусть Pnm -вероятность вынужденного перехода атома в ед. времени с энергетического уровняEn на уровень Em , Pmn -вер-ть обратного перехода. При одинаковой интенсивностиизлучения Pnm = Pmn . Pnm = Bnmuω и Pmn = Bmnuω - вероятность вынужденных переходовпропорциональна плотности энергии uω вынуждающего переход магнитного поля,приходящейся на частоту ω , соответствующую данному переходу ( ω = ( En − Em ) / ).Величины Bnm = Bmn назыв.
коэф. Эйнштейна. Равновесие между веществом иизлучением будет достигнуто при условии, что число атомов N nm , совершающих в ед.времени переход из состояния n в сост. m, будет равно числу атомов N mn ,совершающих переход в обр. направ. Пусть En > Em , тогда переходы m → n смогутпроисх. только под воздействием излучения, переходы n → m будут совершаться каквынуждвынуждспонт+ N nm, N nm = N nmвынужденно, так и cпонтан., ⇒ N mn = N mnвынуждвынуждспонтвынужд= N nm+ N nm= Pmn N m = Bmnuω N mимеем N mnУсл. равновесия: N mnвынужд= Pnm N n = Bnmuω N n, N nm( N m и N n -числа атомов в сост.
m и n). Вероятность спонтанного перехода атома в ед.времени из сост. n в сост m через Anm . Тогда число атомов совершающих в ед. вр.спонтспонтанный переход n → m , опр. N nm = Anm N n т.е.Bmnuω N m = Bnmuω N n + Anm N n . определяем равновесноеu (ω , T ) =значениеAnmNn1= e( En − Em ) / kT = eBnm N m / N n − 1 (1), Согласно з-ну Больцмана N mω / kTAnm kTBnm ω сравнивая с формулой Рэлея-ДжинсаПри малых частотахAnmω3ω2= 2 3u (ω , T ) = 2 3 kTπ cнаходим, что Bnm π с подставляя в (1) получаем формулу Планка.u (ω , T ) =2. Движение микрочастицы в области одномерного потенциального порога. Случай“высокого” и “низкого” порога.Одномерный потенциальный порог. U ( x) = 0 ( x < 0)( I )и U ( x) = U 0 ( x > 0)( II ) ;Решения ур-ий Шредингера для стац. сост.
имеет видk1 − k22k1exp(−ik1 x) ψ 2 =exp(ik2 x)+k1 + k2kk12игде ψ 1 ( х) и ψ 2 ( х)11k1 =2m0 E k2 =2m0 ( E − U 0 )и,волновые ф-ии частицы в обл-тях I и II соотв.ψ 1 = exp(ik1 x) +Вер-ть того что частица отразится от порога опр-ся коэф. отраженияВероятность прохождения частицы D = 1 − Rk −kR= 1 2k1 + k22,Потенциальный барьер. Пусть ч-ца движущаяся слева направо,встречает на своем пути потенц. барьер высоты U 0 .Рассм. случайd 2ψ 2mE < U 0 тогда dx 2 + 2 Eψ = 0 (1) для обл. I и IIId 2ψ 2m+ 2 ( E − U 0 )ψ = 0dx 2(2) для обл-ти II причем E − U 0 < 0 .
Будем искать реш. ур-я (1) в2m12mEλ2 + 2 E = 0α=виде ψ = exp(λ x) подставляя получаемотсюда λ = ±iα , где,т.о. реш. ур-я (1) имеет вид ψ 1 = A1 exp(iα x) + B1 exp(−iα x) для обл-ти I,ψ 3 = A3 exp(iα x) + B3 exp(−iα x) для обл-ти III, аналогично для ур-я (2)ψ 2 = A2 exp( β x) + B2 exp(− β x) для обл.
II, β =12m(U 0 − E ). Заметим,что реш. видаexp(iα x) соотв. волне распростр. в положит. направлении оси х, а реш. вида exp(−iα x)- в противополож.В обл. III имеется только волна, прошедшая через барьер и распр. слева направо следов.B3 =0. Для того чтобы ψ была непрерывна должно вып. усл.
ψ 1 (0) = ψ 2 (0) иψ 2 (l ) = ψ 3 (l ) . Для того чтобы ψ не имела изломов необх.: ψ 1′(0) = ψ 2′ (0) и ψ 2′ (l ) = ψ 3′ (l ) ,2R = B1 / A12причем- отношение квадратов модулей амплитуд отраженной ипадающих волн определяет вер-ть отражения частицы от потенц. барьера – коэф.22D = A3 / A1- отнош.
квадратов модулей амплитуд прошедшей иотражения.падающей волн – вер-ть прохождения частицы через барьер – коэф.прохождения. R + D = 1 . Из ур-ний получившихся из условий непрерывности игладкости пси-ф-ии, находим⎛ 2⎞2m(U 0 − E )l ⎟D ≈ exp(−2β l ) = exp ⎜ −⎝⎠ , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
