билеты08 теория задачи (56стр) (798014), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Воa ⎝a ⎠втором возбужденном состоянии n = 3 , т.к. n = 1 это основное состояние, а n = 2 –первое возбужденное. Поэтому пси-функция второго возбужденного состояния имеетТогда пси-функции собственных состояний имеют вид: ψ n ( x ) =2 ⎛π⎞sin ⎜ ⋅ 3 x ⎟ .a ⎝a⎠Из постулатов квантовой механики среднее значение какой-нибудь физическойвеличины Q в состоянии, описываемом пси-функцией ψ определяется какQ = ψ *Qˆ ψdx , где Q̂ – оператор физической величины Q , а ψ * – функция,вид: ψ 3 ( x ) =∫сопряженная к пси-функции ψ . Операторы проекций импульса на координатные оси= ∂= ∂= ∂имеют вид: pˆ x =, pˆ y =., pˆ z =i ∂yi ∂xi ∂zФормулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовойфизике справедливы для операторов этих физических величин.
Поэтому можно⎛ ∂∂∂ ⎞записать: pˆ 2 = pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 = −= 2 ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = −= 2 ∇ 2 . Операторы квадрата∂y∂z ⎠⎝ ∂x=2 2pˆ 2импульса и кинетической энергии связаны выражением: Eˆ k ==−∇ . Для2 m02m0=2 ∂2.одномерного случая: Eˆ k = −2m0 ∂x 2Тогда среднее значение кинетической энергии во втором возбужденном состоянииопределяется выражением:a2229π 2 = 2⎛π⎞⎛ = ∂ ⎛ ⎛ π⎞ ⎞ ⎞⎟ˆ= ∫ψ E kψ 3 dx = ∫ sin ⎜ ⋅ 3 x ⎟⎜⎜ −⋅sin3xdx=⎟⎜⎜⎟2 ⎜⎟a0 ⎝a2m0 a 2⎠⎝ 2m0 ∂x ⎝ ⎝ a⎠ ⎠ ⎟⎠0aEk*3Задача №23Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечновысокими стенками.
Найдите отношение вероятностей нахождения частицы в среднейтрети ямы для основного и первого возбужденного состояний.x22x2ψ (x ) =sin nπ ; P = ∫ ψ ( x ) dxaax12a32⎛ 2x⎞P1 = ∫ ⎜⎜sin π ⎟⎟ , n = 1 – основное состояниеaa⎠a⎝32a32⎛ 2x⎞P2 = ∫ ⎜⎜sin 2π ⎟⎟ , n = 2 – первое возбужденноеaa⎠a⎝32a3P1=P2⎛ 2x⎞⎜⎟πsin∫a ⎜⎝ aa ⎟⎠32a3⎛∫ ⎜⎜⎝a3211⎛x⎞∫ 2 − 2 cos⎜⎝ 2π a ⎟⎠dx2π ⎞⎛ a a ⎞ 1 a ⎛ 4π− sin⎟⎜ sin⎜ − ⎟− ⋅3 ⎠33 6 ⎠ 2 2π ⎝==⎝=4π ⎞2⎛ a a ⎞ 1 a ⎛ 8π− sin⎟⎜ sin⎜ − ⎟− ⋅1 1x⎞x⎞2⎛363 ⎠243ππdxcos4sin 2π ⎟⎟−⎝⎠⎝⎟⎜∫2 ⎝ a⎠aa⎠a 2⎛33⎞⎜−⎟−⎜ 22 ⎟⎠⎝==3⎞a a ⎛ 3⎟− ⎜+6 8π ⎜⎝ 22 ⎟⎠a a−6 4π2a3a32a33a a 3+6 4πa a 3+6 8πЗадача №241. Зонная теория твердых тел.
Структура зон в металлах, полупроводниках идиэлектриках.2. Ядерная модель атома Резерфорда-Бора. Постулаты Бора.3. Найдите с какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройляэлектрона λ Б равна его комптоновской длине волны λк .λ к = 0, 0243 Аλб == 2, 43 ⋅ 10 − 10 см =2π =me c2π =2π =2π ==; V =pm eVλб m eλб = λк ;V =2π =λк meЗадача №25Считая, что кинетическая энергия E нуклона (протона или нейтрона) в ядре равна 10МэВ, оцените, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.p2→ p = 2mKK=2mΔp ~ pΔpΔx ≥ = → ΔxЗадача №26Частица массой m0 движется в одномерной прямоугольной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками.
Ширина ямы a . Найти значения энергии частицы,имея в виду, что возможны лишь такие состояния, для которых в яме укладываетсяцелое число дебройлевских полуволн.Задача №27Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме снепроницаемыми стенками. Определите, при какой ширине ямы a дискретностьэнергии электрона становится сравнимой с энергией теплового движения притемпературе T .En =π 2= 22m0 a2n 2 , n = 1,2,3,...ΔEn = En+1 − En =π 2= 22m0 a 2(2n + 1) .me = 0,9 ⋅10 −30 кгЭлектрон свободный E ≈ 1 эВ. В металле a ≈ 0,01 м. Здесь ΔEn = 7,5 ⋅10 −15 ⋅ n эВ, чтонесравнимо с 1 эВ.Когда электрон свободен в атоме a ≈ 10 −10 м, ΔEn = 0,75 ⋅ n эВ, что уже являетсязаметной величиной.Например, энергия связи электрона в атоме Eсв ≈ 10 эВ.Задача №28Волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид1⎛ r⎞ψ (r ) =⋅ exp⎜ − ⎟ , где r – расстояние от электрона до ядра, a – радиус первой3⎝ a⎠πaборовской орбиты.
Найдите вероятность того, что электрон находится в области r ≤ a .⎛4⎞d ⎜ π r3 ⎟2r2dp dp dV23⎠ = Ψ 2 ⋅ 4π r 2 = 4r e − a=⋅= Ψ ⋅ ⎝dr dV drdra32r2−a 4rP = ∫ 3 e a dr0 aЗадача №29Частица массой m0 падает на прямоугольный потенциальный порог высоты U 0 .Энергия частицы равна E , причем E < U 0 . Найдите эффективную глубинупроникновения частицы в область порога, т.е.
на расстояние от границы порога доточки, в которой плотность вероятности нахождения частицы уменьшится в e раз.Плотность вероятности проникновения частицы на глубину X порога:4k 2⎛ 2⎞Wz ( x ) = 2 1 2 exp⎜ −2m0 (U 0 − E )x ⎟ , гдеk1 + k 2⎝ =⎠2 m02m0(U 0 − E ) .E , k2 =2==2k1 =Задача №30Покажите, что в атоме водорода на круговой стационарной боровской орбитеукладывается целое число длин волн де Бройля электрона. Определите длину волны деБройля электрона на круговой орбите с главным квантовым числом n .λ2 π =p=Б2m Vrm V r→==0er22n =n =m r=4 π ε 0 = 2 nm e 2e 2=4 π ε 0 = n2Бl==Б8 π2 π r ( n ) =l ( n ) =λ4 π ε*r ( n ) =Vλ12 π =m Vn=8 π2ε0m e2ε0m e= 2 n2=22n2Vr.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
