билеты08 теория задачи (56стр) (798014), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Принцип Паули.Основа квантовой статистики – принципиальная неразличимость одинаковых частиц.Перестановка местами двух квантовых частиц не приводит к новомумикросостоянию. Волновые ф-ии должны быть симметричными илиантисимметричными по отношению к перестановке любой пары частиц, причемпервый случай имеет место для частиц с целым спином, а второй с полуцелым. Длясистемы частиц, описывающейся антисимметричными ф-ями справедлив принципПаули: в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более однойчастицы. Статистика, основанная на этом принципе, называется статистикой ФермиДирака.
Частицы , подчиняющиеся этой статистике – фермионы. К их числу относятвсе частицы с полуцелым спином. Статистика Бозе-Эйнштейна, ктр. подчиняютсячастицы с целым спином. Частицы подчиняющиеся этой статистике – бозоны. Невыполняется принцип Паули; вероятность Р возникновения бозона в состоянии, в ктр.уже имеется n частиц, пропорциональна n. Обе статистики подчиняются принципутождественности одинаковых микрочастиц.Задача №1Фотон с энергией E1 рассеялся на свободном электроне под углом θ . Считая, чтоэлектрон до соударения покоился, найдите энергию E2 рассеянного фотона.=k ′⎧⎪ = ω + m c 2 = = ω ′ + c⎨⎪⎩ = k = p + = k ′pθ=kP2p2+ m 2c 2+ m 2 c 2 = = ( k − k ′) + m c⎧⎪ p 2 = = 2 ( k 2 + k ′ 2 − 2 k k ′ ) + 2 = m c ( k − k ′ )⎨ 222222⎪⎩ p = = ( k − k ′ ) = = ( k + k ′ − 2 k k ′ c o s θ )m c ( = k − = k ′ ) = = k ⋅ = k ′ (1 − c o s θ )EE2 ⎞E1⋅ E 2=ω⎛ E1(1 − c o s θ )= =k =⇒ mc⎜−⎟ =ccc ⎠c2⎝ cE 1mE2 =E1m + 2 (1 − c o s θ )cЗадача №2Рассчитайте активность одного граммаT1 = 1620 лет.22688Ra , если период полураспада этого изотопа2m(Vmax ) 2+ A⇒2hc m(Vmax ) 2A=;−2λhchcλКР = =A hc m(Vmax ) 2−λ2=ω =Задача №3Во сколько раз изменится при повышении температуры от T1 = 300 К до T2 = 320 Кэлектропроводность σ собственного полупроводника, ширина запрещенной зоныкоторого равна ΔE = 0,330 эВ.m(Vmax ) 2+ A⇒2hc m(Vmax )2A=−;λ2hchcλКР = =A hc m(Vmax )2−λ2=ω =Задача №4Кинетическая энергия E к электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10эВ.
Используя соотношение неопределенностей оцените минимальные линейныеразмеры атома.Δp ⋅ Δx ≥ = , примем:Δp = p = 2mE ,Δx = l ⇒l ⋅ 2mE ≥ = ⇒ l ≥=2mE.Задача №5В некоторый момент времени частица находится в состоянии, описываемом волновой⎞⎛ x2функцией, координатная часть которой имеет вид ψ ( x ) = A ⋅ exp⎜⎜ − 2 + ikx ⎟⎟ , где A и a⎠⎝ a– некоторые постоянные, а k – заданный параметр, имеющий размерность обратнойдлины.⎛ − x2 + ikx ⎞⎛ − x 2 − ikx ⎞a⎜⎟⎜ Ae a⎟ dx⋅⋅Aex∞∫0 ⎜*⎟⎜⎟ˆΨΨxdx∫⎠⎝⎠ =< x >= 0 ∞= ⎝22xx*⎛⎞⎛⎞ikxikx−+−−∞∫0 Ψ Ψdx ∫ ⎜ Ae a2 ⎟ ⋅ ⎜ Ae a2 ⎟ dx0 ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠22∞2x1 ∞ − a2 2⋅ e dx⋅xedx∫2 ∫0= 0==12 x2−∞ − 22π⎛ 2⎞∫0 e a dx⎜ ⎟2 ⎝ a2 ⎠∞−∞2 x22 x22a21 ⎛ a 2 ⎞ − a2⋅ ⎜ − ⎟e2 ⎝ 2⎠π⎛ 2⎞⎜ ⎟2 ⎝ a2 ⎠1−20=a24a π2 2=a2πЗадача №6При очень низких температурах красная граница фотопроводимости чистогобеспримесного германия λкр = 1,7 мкм.
Найдите температурный коэффициентсопротивления α =1 dρ⋅данного германия при комнатной температуре.ρ dTρ=1σ=1σ0 ⋅ ed ρ ΔE ΔkTE ⎛ 1 ⎞= e ;=e ⋅ ⎜ − 2 ⎟;σ0dT kσ 0⎝ T ⎠1−ΔEkTΔEkTΔEhc1 d ρ σ 0 ΔE ΔkTE ⎛ 1 ⎞⋅= ΔE ⋅e ⋅ ⎜ − 2 ⎟ = − 2 ; ΔE =⇒ρ dTkσTkTλ⎝⎠0e kThc⇒α = −λkT 2α=Задача №7Узкий пучок моноэлектрических нерялитивистких электронов нормально падает наповерхность монокристалла в направлении, составляющим угол α = 60D с нормалью кповерхности, наблюдается максимум отражения электронов третьего порядка.Определите ускоряющую разность потенциалов, которую прошли электроны, еслирасстояние между отражающими атомными плоскостями кристалла d = 0,2 нм.θθ = 900 −αα= 60022π =2π =λБ ==2mE2meU2 ⋅ d ⋅ sinθ = n ⋅ λБ , n = 3 ⇒2 ⋅ d ⋅ sin600 = 3 ⋅ λБ =6π =2meU12π 2 = 26π 2 = 2α 3 ⋅ 2meU = 6π = ⇒ 2meU =⇒U =d2med 2Задача №8Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определитеестественную ширину Δλ спектральной линии излучения атома при переходе его извозбужденного состояния в основное.
Среднее время жизни атома в возбужденномсостоянии τ = 10 −8 с, а длина волны излучения λ = 600 нм.= ⋅ Δ ω = E 2 − E 1;Δ E1 =Δ t 2 = τ ; Δ t1 = ∞=;Δ t1ΔE 2 ==;Δt 2( т .к . в основном состояние мож ет ∃ ∞ долго ) ⇒=Δ E 1 = 0, Δ E 2 = .τ= ⋅ Δω = ΔE 2 ==τ⇒ Δω =1τ= 10 8 ГцЗадача №9При увеличении термодинамической температуры T абсолютно черного тела в η = 2раза длина волны λm , на которую приходится максимум спектральной плотностиэнергетической светимости, уменьшилась на Δλ = 400 нм. Определите начальную иконечную температуры тела T1 и T2 .λm ⋅ T = bλm ⋅ T 1 = b ⇒ T 1 =bλm; T 2 = 2 ⋅ T1 =2bλm−3b = 2,90 ⋅ 10 м ⋅ КЗадача №10В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего 24 Na сактивностью A = 2,0 ⋅10 −3 Бк. Активность 1 см3 через t = 5,0 ч оказалась A′ = 0,267Бк/см3.
Период полураспада данного изотопа T1 = 15 ч. Найдите объем крови человека.2V ⋅ A = A0 ⋅ e−ln 2 ⋅tT;A0 − ln32 2000 − ln32V= e=e≈ 6 л.0, 267AЗадача №11Масс-спектрометрический анализ образцов лунной породы показал, что отношениеколичества атомов Ar и 40 K в ней равно η = 10,3 . Считая, что аргон целикомобразовался из калия в результате радиоактивного распада, определите возраст луннойпороды. Период полураспада 40 K составляет T1 = 1,25 ⋅10 3 лет.2NначK= ( N К + N Ar )e1 = 11.3* e−−ln 2tT1 / 2;ln 2tT1 / 2t = 4.37 *109 летЗадача №12Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной ямешириной a с бесконечно высокими стенками в основном состоянии.
Найдите среднеезначение квадрата импульса p 2 в этом состоянии.2πxsinaaΨ I ( x) =2∂ ⎞∂2⎛pˆ 2 = ⎜ − i = ⎟ = − = 2 2∂x ⎠∂x⎝< p2∫>=aΨ * pˆ 2 Ψ dx0a∫a0Ψ * Ψ dx= −=2∫a0πx2π x ∂ sin asindx⋅2∂xaπx2∫0 sin aa=π 2=2a2Задача №13До какой температуры нужно нагреть классический электронный газ, чтобы средняяэнергия его электронов была равна средней энергии свободных электронов в серебрепри T = 0 К? Энергия Ферми серебра EФ = 5,51 эВ.3∞E =∫ E ⋅ F (E )dE0∞∫ F (E )dE, где F (E ) =0электронов по энергиям2 m0 2π 2=3E , E < EF– функция распределения свободных0, E > E FEFE =∫E3∫E10EF22dEdE3= EF .50Для классического газа: Eкл3= kT2T=2 EF= 2,55 ⋅10 4 К.5 kЗадача №141 dρчистого беспримесногоρ dTгермания при комнатной температуре равен α = −0,05 К-1. Найдите ширинузапрещенной зоны данного полупроводника.Температурный коэффициент сопротивления α =σ1ΔE3 = −2kT ln= −2kTe −αT ln e −αT ;σ (T ) = σ 0 eσ0σ01 dρ d ln ρεα==; αdT = d ln ρ ;1 dσ 1 d ⎛ ε д ⎞1= σρ = ; σ (T ) = σ 0 e 2 kT ; α = σ 2ρ dTdT⎜⎟σ dT σ dT ⎝ 2kT ⎠σ1ρ = eαT ; σ = = e −αT ;εα = − д 2 ; ε д = −2kT 2αρεд2 kTд2kTЗадача №15Воспользовавшись распределением свободных электронов в металле по энергиям,найдите при T = 0 отношение средней скорости свободных электронов к ихмаксимальной скорости.2При абс.
нуле max энергия выражденного газа есть энергия Ферми: E (0)F = meVmax / 2Vmax =2 E F(0)Для свободных эл-ов: E = meV 2 / 2 ⇒ V =me2EmeДля f Ферми f(Е,0) имеет вид ступенчатой f ⇒ f распределения эл-на по энергиям:n(E)=g(E) ⋅ f(E,0) для Т=0 равно 0. При E>E (0)F :∫< V >=EF( 0 )2 E / me g ( E ) dE0∫EF( 0 )0VсрVmax=g ( E ) dE2E∫0∫EF( 0 )03 / 4 2 E F(0) / me(0)F=2⋅me/ me=EF( 0 )EdE12=E dE2 1/ 2( E F(0) ) 23 2 E F(0)⋅== Vсрme 2 / 3( E F(0) )3 / 2 4me34Задача №16Волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид⎛ r⎞ψ (r ) = A ⋅ exp⎜ − ⎟ , где r – расстояние от электрона до ядра, a – радиус первой⎝ a⎠боровской орбиты.
Определите наиболее вероятное расстояние rвер электрона от ядра.⎛4⎞d ⎜ π r3 ⎟2rdp dp dV32⎠ = Ψ 2 ⋅ 4π r 2 = 4π r 2 A2 e − a=⋅= Ψ ⋅ ⎝dr dV drdr2r ′2r2r−−⎛⎞8 2 2 −a2 22aa48πππrAerAerAe=−=0⎜⎟a⎝⎠r1 − = 0 ⇒ rВЕР = aaЗадача №17Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическуюэнергию электрона, движущегося в области, размер которой L = 10 − x м соответствуетхарактерному размеру атомов.Δp ⋅ Δx ≥ =Δx ≈ lΔp ≈ pK=p 2 Δp 2=2m 2 mЗадача №18Воспользовавшись распределением свободных электронов в металле по энергиям,найдите отношение средней кинетической энергии свободных электронов в металлепри T = 0 к их максимальной энергии.Задача №19На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель заряженныхчастиц с массой покоя m0 , чтобы с их помощью можно было исследовать структуры слинейными размерами l ? Решите задачу для электронов в случае l = 10 −15 м, чтосоответствует характерному размеру атомных ядер.Соотношение неопределенностей: ΔxΔp x ≥ = . В нашем случае Δx = l , поэтому lΔp x ≥ h .Импульс частицы p = p + Δp , где Δp – неопределенность импульса, p – среднеезначение импульса.Минимальное значение импульса равно его неопределенности: lΔp x = l ⋅ pmin ≈ = .(E)2+ mc 2 = m 2 c 4 + c 2 p 2E к2 + 2mc 2 Eк = c 2 p 21p=Eк Eк + 2m0 c 2c1pmin =E кmin Eкmin + 2m0 c 2cl=Eкmin Eкmin + 2m0 c 2 =c2к()(())2⎛ c= ⎞2E кmin + 2m0 c 2 Eкmin − ⎜ ⎟ = 0⎝ 2l ⎠2Решая это уравнение, получаем: E кmin⎛ c= ⎞= −m0 c ± m c + ⎜ ⎟ .
Так как отрицательный⎝ 2l ⎠22 402корень физического смысла не имеет, то: E кmin⎛=⎞= −m0 c + c m c + ⎜ ⎟ .⎝ 2l ⎠22 20Задача №20Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной a с бесконечновысокими стенками во втором возбужденном состоянии. Определите вероятность1обнаружения частицы в интервале a , равноудаленном от стенок ямы.3nπ xan=3 т.к. втрое возб. сост.Ψ( x) = 2/ a ⋅ sin6π xcos2 2 nπ x2 2a / 3 1a dx =sin−P = ∫ Ψ( x) dx = ∫dx = ∫x1a/3 a2aa a/3 22⎛ a a 1⎛ a1⎞⎞ 2 a a= ⎜ − − ⎜ (sin4π − sin2π ) ⎟ ⎟ = ( −(sin4π − sin2π )) =3a ⎝ 3 6 2 ⎝ 6π⎠ ⎠ a 6 12πx222a / 3Задача №21Определите красную границу λкр фотоэффекта для цезия, если при облучении егоповерхности фиолетовым светом с длиной волны λ = 400 нм максимальная скоростьфотоэлектронов равна Vmax = 6,5 ⋅10 5 м/с.m(Vmax ) 2=ω =+ A⇒2hc m(Vmax ) 2−A=;λ2hchcλКР = =A hc m(Vmax ) 2−λ2Задача №22Частица массой m0 находится в одномерной потенциальной яме с непроницаемымистенками в первом возбужденном состоянии.
Найдите среднее значение кинетическойэнергии частицы E к , если ширина ямы равна a .U (x )U =∞∞, x < 0U ( x ) = 0,0 < x < a∞, x > aСоставим уравнение Шредингера для области0< x < a:∂ 2ψ 2m0+ 2 Eψ = 0 , или∂x 2=20ax2m∂ψ+ k 2ψ = 0 , где k 2 = 2 0 E .2∂x=Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:ψ ( x ) = A sin (kx + α ) .Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию.
Так как в областиx < 0 потенциальная энергия равняется бесконечности, то частица находиться вобласти x < 0 не может. Следовательно, плотность вероятности, а значит и псифункция, в области x < 0 равны 0. Из условия непрерывности пси-функции для точкиx = 0 получим: ψ (0 ) = 0 ⇒ sin α = 0 ⇒ α = 0 .Аналогично из условия непрерывности пси-функции для точки x = a получим:ψ (a ) = 0 ⇒ sin (ka ) = 0 ⇒ ka = ±πn , n = 1,2,3,...Тогда пси-функции собственных состояний частицы в данной потенциальной яме⎛π ⎞имеют вид: ψ ( x ) = A sin ⎜ nx ⎟ .⎝a ⎠2m2mπ2π 2= 2 2Учитывая, что k 2 = 2 0 E , получим: k 2 = 2 0 E = 2 n 2 ⇒ En =n .=a2m0 a 2=Мы получили энергетический спектр частицы в потенциальной яме. Определимпостоянную A в выражении для пси-функции, используя условие нормировки:aa22⎞22⎛π∫0 ψ dx = 1 ⇒ A ∫0 sin ⎜⎝ a nx ⎟⎠dx = 1 ⇒ A = a .2 ⎛π ⎞sin ⎜ nx ⎟ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
