saveliev1 (797913), страница 67
Текст из файла (страница 67)
У, Ц, Щ Доказательство будем вести от противного. Возьмем две произвольные обратимые тепловые машины р' Я~' М и й (рис. 290) и предположим, что к.п.д. одной из машин, наприФзлймзнл мер М, больше, чем другой. Как мы увидим, зто предположение привеРнс. 290. дет нас к противоречию со вторым началом термодинамики и, следовательно, должно быть отвергнуто. Для простоты рассуждений допустим, что обе машины отбирают за цикл от нагревателя одинаковое количество тепла '), которое мы обозначим для краткости Я~с Фм=Юм=Р~ По предположению т1м,> т)н, т.
е. % — %вн % — 0ем Ю~ где ч)' и ()з„— количества тепла, отдаваемые за цикл холодильнику машинами М и )У. Очевидно, что при высказанном предположении машина М должна совершать за цикл больше работы, чем машина зт', причем Ам — Ам=Ь вЂ” 4Ьм) — Ь вЂ” Фм) = мам — Ю м (128 1) ') Это аопушенне не обязательно. Если 0~ ч +0„, нужно соаоставнть т циклов машины М и л циклов машины Л~, взяв ле н н такими, чтобы тЮ~м = н0~л. Я32 Пустим машину И в обратную сторону, заставив ее работать в режиме холодильной машины. При этом, поскольку машина обратима, она будет отбирать от холодильника за цикл то же количество тепла Я , которое отдавала при прямом ходе, и отдавать нагревателю количество тепла Щ.
Кроме того, над машиной необходимо совершать за цикл работу Ак. Для совершения этой работы можно использовать машину М, сочленив машины таким образом, чтобы машина М приводила в действие машину Ф. Сочлененные так машины будут представлять собой некоторую обратимую тепловую машину, Рассмотрим баланс составной машины за один цикл. От нагревателя машина М отберет тепло Я~, то же количество тепла возвратит ему машина 1У.
Следовагельно, в результате совершения цикла составная машина не получит и ие отдаст тепло нагревателю. От холо/ дильника за цикл будет отнято тепло Я = (;чт — Яим. Часть работы Ааь совершаемой машиной М„будет использована на приведение в действие машины 1У. Остаток же работы, равный А = Ам — Ам, может быть использован по нашему усмотрению. В соответствии с (128.1) эта работа равна теплу Я. получаемому сочлененной машиной от холодильника. Следовательно, сочлеиив указанным образом обе машины, нам удалось бы осуществить такой процесс, единственным результатом которого было бы получение некоторого количества тепла Я от одного тела (холодильника) и превращение этого тепла полностью в работу, что, как утверждает второе начало термодинамики, невозможно.
Таким образом, предположение о том, что т1м.) т1я, должно быть отброшено. Аналогично приводит к противоречию со вторым началом теРмодинамики пРедположение, что г1м(т1юДла того чтобы в этом убедиться, нужно повторить изложенные выше рассуждения, заставив работать в обратном направлении машину М. Таким образом„к.п.д. обеих обратимых машин М н И должен быть одинаков. Поскольку мы не делали о машинах М н й никаких предположений, кроме того, что они обратимы, полученный результат справедлив для всех обратимых машин, независимо от нх конструкции и свойств рабочего вещества.
23 и. в. савельев, т, 433 Итак, мы пришли к выводу, что к.п.д. всех обратимых машин, работающих с одним н тем >ке нагревателем и холодильником, должен быть одинаков. Следовательно, к.п.д. обратимой машины может зависетьтолько от температуры нагревателя и холодильника. Теперь сопоставим к.п.д. обратимой О и необратимой г>' машин (рис. 29!). Предположим, что к.п.д. необратимой машины больше, чем обратимой. Пусть обе машины отбирают от нагревателя за цикл одинаковое количество тепла Я! Яа, = Я>„= Я!).
Пустив обратимую машину в обратную сторону и заставив при этом необратимую машину приводить в действие обратимую, можно, проведя точно такие рассуждения, как и а р в слУчае ДвУх 06Ратимых 'машин. аа! я »н ! показать, что предположение>>и>т! >>а !> С я э» приводит к противоречию со вто- рым началом термодинамики. 4!л ', Ьаа игн йоказать подобным же обрааааайанаиаи зом, что т! необратимой машины не может быть меньше ц обратимой Рис 29!. машины, не представляется воз- можным, ибо, проводя рассуждения, нам пришлось бы пустить в обратную сторону необратимую машину. Хотя это и возможно, но нет оснований считать, что работа, совершаемая при обратном ходе необратимой машиной, и количества тепла, которыми она обменивается с нагревателем н холодильником, будут отличаться от работы и количеств тепла при прямом ходе только знаком.
Таким образом, проведенные нами рассуждения приводят к необходимости отвергнуть предположение о том, ЧТО а>и ) а>а НО НЕ ИСКЛЮЧН!От ВОЗМОЖНОСТИ а>и ( а>а. Вместе с тем ряд физических соображений указывает на то, что к.п.д, необратимой машины всегда меньше, ем обратимой, работающей в тех же условиях. С некоторыми из этих соображений мы познакомимся. Сопоставим обратимый и необратимый циклы расширения и сжатия газа.
Для того чтобы цикл был обратимым, он должен совершаться очень медленно, вследствие чего давление газа будет успевать выравниваться по всему обьему. Полная работа за цикл складывается из положительной работы при расширении А+ и отри- 434 цательной работы при сжатии А . Результирующая работа будет равна А =А+ — Л (предполагается, что при расширении газ получает, а при сжатии отдает тепло). Если провести цикл необратимо, т. е. достаточно быстро, то давление не успевает выравниваться и при расширении давление газа под поршнем будет меньше, чем то, которое было при аналогичном положении поршня во время обратимого цикла, а при сжатии, наоборот, несколько больше (рис. 292).
В результате положптельг ное слагаемое А+ будет меньше А+, а отрицательное А больше А, так что полная работа Л =А+ — А' будет Р(рг Рг Р~рг Р~рг Р<Рг ерленни оиеегро геедленне быеа~п Сггааие Раегиирение Рас. 292. меньше, чем при обратимом цикле. Соответственно и к. п. д. необратимого цикла будет меньше, чем обрати. мого. Трение всегда связано с превращением работы в теплоту, т. е. является типичным необратимым процессом. Поэтому у обратимой машины трения не должно быть. Пусть какая-то обратимая машина получает за цикл тепло Я1 и совершает работу А.
Нарушим обратимость машины, допустив трение, например, между цилиндром и поршнем. Из-за трения часть работы А превратится в тепло, которое либо перейдет к холодильнику, либо рассеется в окружающую среду. В результате, получая от нагревателя то же количество тепла Яь что и прежде, машина будет совершать работу, меньшую А, а следовательно, и к.п.д. после появления необратимости станет меньше. Итак, мы доказали следующие утверждения: 1) к. п.д.
всех обратимых машин, работающих в идентичных условиях (т. е. при одной н той же темпера- гуре нагревателя и холодильника), одинаков; 2) к.п.д. необратимой машины всегда меньше, чем обратимой, работающей в тех же условиях. $129. К. и. д. цикла Карно для идеального газа В предыдущем параграфе было выяснено, что к.п.д. обратимой машины не зависит от ее устройства и свойств рабочего вещества и определяется только температурой нагревателя и холодильника.
Однако вид зависимости к.п.д. от температуры нагрева~ рг геля Т, и температуры холодильника Тз остался невыясненным. Чтобы г найти эту зависимость, естественно рассмотреть машину с рабочим веще- 4 1г ством, свойства которого отличаются наибольшей простотой. Такими свой.
ствами обладает идеальРис. 293. ный газ. Прн достаточ. но большой теплоемкости нагревателя и холодильника единственным обрати. иым циклом будет, как мы знаем (см. $127), цикл Карно. Итак, рассмотрим цикл Карно для идеального газа. Если нам удастся найти к.п.д. такого цикла как функцию температур Т, и Ть то тем самым мы найдем выражение для к. п.д. всех обратимых машин. К.п.д. тепловой машины по определению равен / (129. 1) где Я, — тепло, получаемое за цикл от нагревателя г 1;Ь вЂ” тепло, отдаваемое за цикл холодильнику.
При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остается постоянной. Поэтому коли- 436 честно полученного газом тепла ()~ равно рабате Апь совершаемой газом при переходе нз состояния 1 в состояние 2 (рис. 293). Эта работа согласно (105.9) равна ф = Ам — — ™ КТ,!и — ', (129.2) к где лг — масса идеального газа в машине. Р Количество отдаваемого холодильнику тепла Яг равно работе Ам, затрачиваемой на сжатие газа при переводе его из состояния 3 в состояние 4.
Эта работа равна (Я А' '" КТ,(п !' (129.3) Н ! 4 Для того чтобы цикл был замкнутым, нужно, чтобы состояния 4 и 1 лежали на одной н той же адиабате, Отсюда вытекает условие Т,р,' '=ТР,'-' (129А) (см. уравнение адиабаты (103.3)). Аналогично, поскольку состояния 2 и 3 лежат на одной и той же адиабате, выполняется условие Т ~ Т Я» (129.5) Деля (129.5) на (129А), приходим к условию замкнутости цикла: (129.6) !', и,' Теперь подставим (129.2) и (129.3) в выражение (129.1) для к.
и. д. м !Я, ~х 1'э !!т1 !и !!Т2 !и Р $! Р ~4 т! = м Гр — !!г, !и — ' Р !'~ 11аконец, учитывая (129.6), получаем: г! = (! 29.7) Таким образом, к.п.д. цикла Карно для идеального газа действительно оказывается зависящим только ог температуры нагревателя и холодильника. Как уже отмечалось, выражение (129.7) дает значение к.
п.д. любой обратимой машины. 3 130. Термодинамическая шкала температур Доказанная в 5 123 теорема о независимости к.п.д. обратимым машин от свойств рабочего вещества позволяет установить температурную шкалу, не зависящую от выбора термометрического тела. В соответствии с укааанной теоремой величина 0! 02 ~ 0~2 Э Я~ ' Я~ а следовательно, и отношение ~"Ь/Я~ для цикла Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника.
Обозначив величины этих температур по некоторой, пока не известной нам шкале через 6~ и 6ь можно написать, что ч =1(6п 6м', (130.1) 1 где )(6ь 6,) — универсальная (т. е. одинаковая для всех циклов Карно) функция температур нагревателя и холодильника. Соотношение (130.1) дает возможность определять температуру тел через Рис 294. количества тепла, получаемые и отдаваемые при циклах Карно. Докажем, что функция (130.1) обладает следующим свойством: Е (6,1 ((6 6)= Е(6,1 ° (130.2) где 0(6) есть опять-таки универсальная функция температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
