Диссертация (786409), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Спад пика энергии в нанотрубке (10,0) при У'=ЗООК с течением времени (логарнфмическаа шкала) 141 На рис. 4.28 показаны графики зависимостей доли суммарной энергии теплового импульса, поданного на образец при начальной температуре 300К, от размера взятого интервала [-х, х) для различных моментов времени. Горизонтальная линия соответствует доле энергии в б8.2б%, пересечение этой линии графиком дает значение искомого интервала (-й, Й]. Доля энергии отх 2,5 0 100 200 300 400 500 500 700 300 900 1000 — ---1000 2000 " .
ЗООО -- †40 — 5000 "-"--5000 7000 †60 9000 10000 Рисунок 4.28. Зависимость доли энергии теплового импульса от размера интервала 1-х,х1 при распространении тепла вдоль нанотрубки (10,0) при Т=ЗООК. Графики соответствузот моменты времени, усредненные за 1000 фс На рис. 4.29 дана зависимость искомой 1,1 от времени в логарифмической шкале. Красным цветом отображена линейная зависимость у=0.50х+3.44, полученная методом наименьших квадратов для этих значений 12. Наблюдается близкий к нормальному режим распространения тепла (г'~ = о' — 1, р "=1.01, 142 14,00 12,00 Ю,оо 0,00 — с,а — у=амо 6,00 4,00 2,00 0,00 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 Рисунок 4.29.
Зависимость размера интервала 1-гс, Щ от времени прн распространении тепла вдоль нанотрубки (10,0) при Т=ЗООК. Графики отображают моменты времени, усредненные за 10 фс (логарифмнческаа шкала) Подобный анализ режимов теплопроводности, возникающих в нанотрубках, возможно проделать для целого набора начальных температур. Была проведена серия вычислительных экспериментов для температур трубок в 1бК, 24К, 72К, 300К.
Результат математической обработки возникающих в каждом случае распределений температур представлен в табл. 4.5. Значения в пустых ячейках таблицы необходимо уточнить. Таблица 4.5. Ха При низких температурах, как и ранее для листов графена, наблюдается аномальный режим распространения тепла. 4.3 Описание аномальной теплопроводности с использованием дробно-дифференциальных уравнений Явление распространения тепла в исследованных пан о структурах можно описать математической моделью аномальной теплопроводности, по аналогии с 143 моделью аномальной диффузии 11021.
В этом случае явление аномальной теплопроводн ости представляется следующим уравнением в частных дробных производных: д'и(х,~) д и(х,~) дг' дх' где и(х,~) — функция температуры, Р— коэффициент температуропроводности (Р > 0), а и 7 — параметры, характеризующие порядок дробных производных по пространству и времени соответственно, из физических соображений выполняются соотношения 0<1 <! и 1<а<2, в предельном случае и = 2, 7 = 1 уравнение (4.5) описывает классическую теплопроводность. Параметр 7 в уравнении (4.5) отвечает за появление субдиффузии — при а = 2 уравнение (4.5) описывает аномальную теплопроводность с зависимостью (г') = сг' — ~'. Параметр а отвечает за появление супердиффузии — при у=1 уравнение (4.5) описывает аномальную теплопроводность с зависимостью (г') — ~'".
Комбинация обоих параметров в уравнении (4.5) может описывать аномальную теплопроводность как в режиме субдиффузии, так и в режиме супердиффузии (г')-~'="" (0<р<2) — в зависимости от того, какой механизм является преобладающим. Физических механизмов для появления субдиффузии в изучаемых образцах нет, поэтому можно принять у = 1 и задать искомое уравнение аномальной теплопроводности как: ди(х, ~) д" и(х, ~) дк дх' Данное уравнение получается из классического дифференциального уравнения теплопроводности заменой производной второго порядка по пространственной д и(х,~) д и(х,г) координате на дробную производную ' . Здесь выражение дх' дх представляет собой двустороннюю производную (взвешенная комбинация левосторонней и правосторонней): д'и(х,~) д;и(х,~) д и(хД а + а — а дх дх дх где С->0, С > О и С~+ С =1.
(4.7) Необходимые односторонние дробные производные произвольного порядка а определяются формулами Римана-Лиувилля для дробной производной Лиувилля и Вейля: да (. ) 1 ~<ан1 дх' ГЯа)+1 — а) й"" ~ д и(х,~) (-1)"' ~1Ф"" дх .Г(1а)+1 — а) сКх"' „' Теплопроводность рассматривается на всем одномерном пространстве, т.е. (4.9) граничных условий нет (решается задача Коши).
В качестве начального условия может быть задана любая неотрицательная функция из пространства Х,( — с;+ о), т.е. и(х,О) = Ях) > О, ~ ~(х)~Й=У, с с, в том числе возможно и и(х,О) = Уо.б(х). В дискретном представлении ~~~Яп)=У, с с, где 21 — длина образца, в том числе можно задать и(0,0) = У0 =600. Решение задачи Коши для классического уравнения теплопроводности, т.е. уравнения (4.5) при значении параметров а = 2 и у = 1, дает плотность вероятности и(х„~)Ш0, представляющую собой распределение Гаусса: д~ и(х ~) — 0 е 2а~ ~л 2ДУ (4.10) а /2г Однако решения уравнения аномальной теплопроводности (4.6) описываются Решим уравнение (4.6) с параметрами а = — = — =1.10 и О=0.17.
На рис. 4.30 г р" 1.81 показано сравнение распределения температуры по образцу по результатам моделирования с такой дробно-дифференциальной моделью в момент времени 7 пс. 145 функциями, большинство из которых не имеет явного аналитического выражения. Поэтому для его решения существуют различные численные методы, в том числе конечно-разностные методы и метод случайного блуждания 1103]. В качестве примера приведем сравнение распределения температуры, полученного для листа графена при 16К, с решением соответствующего дробно- дифференциального уравнения по аналогии с тем, как это сделано в 114).
Рисунок 4.30. Графики распределения температуры листа графена при 16К (синий), распределение Гаусса (розовый) и решение соответствующего уравнения аномальной теплопроводности (зеленый) в момент времени 7 пс от начала воздействия Можно видеть, что аномальная модель теплопро водности описывает возникающее распределение температуры более точно по сравнению с функцией Гаусса. Выводы к главе 4 В главе 4 были исследованы процессы теплопроводности в наноструктурах, по результатам чего можно сделать следующие выводы. молекулярного-динамического (микроскопического) Результаты 146 моделирования распространения тепла в исследуемых образцах (листы графена и нанотрубки) свидетельствуют о том, что рассматриваемые процессы проявляют аномальный характер, причем степень аномальности или ее отсутствие зависит от заданных начальных температур наноструктур.
Получаемые распределения температуры по образцам во времени могут быть достаточно точно описаны на макроуровне с использованием уравнения аномальной теплопроводности (4.5). Для различных образцов возможно определение параметров соответствующих дробно-дифференциальных уравнений. Заключение В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные результаты. 1. Разработана технология построения программных средств для молекулярно- динамического моделирования наносистем со сложными потенциалами межчастичного взаимодействия на графических процессорах.
Разработаны методы отображения вычислительных процессов на архитектуру видеокарт, способы наследования классов в технологии СПИ, обеспечивающие возможность оснащения программ новыми потенциалами межчастичного взаимодействия без модификации основного кода. 2. Предложены подходы к повышению эффективности параллельных вычислений на графических процессорах, включающие использование гибридной модели расчетной области, методы размещения данных в памяти видеокарты с целью минимизации конфликтов доступа при параллельном обращении, оптимальное распределение операций по вычислительным потокам, выделение дополнительной памяти для создания копий координат взаимодействующих атомов.
Дана оценка вычислительной сложности алгоритмов. На представительном ряде задач показана эффективность разработанных подходов. 3. На основе разработанной технологии программирования создан комплекс программ молекулярно-динамического моделирования наносистем на графических процессорах.
Разработаны методы и средства визуализации результатов вычислительного процесса в реальном времени, методы интеграции программного обеспечения с имеющимися программными комплексами молекулярно- динамического моделирования. 4. С использованием разработанного программного обеспечения исследованы вопросы моделирования теплопроводности углеродных наносистем. Для описания аномальных режимов теплопроводности предложен подход, основанный на сочетании методов молекулярной динамики и дробно-дифференциального исчисления. Представлен алгоритм определения параметров макроскопической модели по данным 147 молекулярно-динамического моделирования. Таким образом, установлена связь между различными масштабами в описании аномальной теплопроводности.
14В ГЛОССаРИй ОР13 СР(1 ЫЧ1О1А БЫ С()ОА ОрепМР Орепб(. ОрепС1. ОрепАСС КеахРР 1.АММРБ ЫАМО ВМСПСС АШ 1ИАМ ОПЭК 1ЕЕЕ Ь!ЧТ ИРТ рЧТ ).з ЧМЕ) Р()В ОС БФЫТ М%ЫТ СЫТ КЕВО Ьсс еЧ СЧ1) ВТЕ Многостенная нанотрубка Углеродная нанотрубка Эмпирический реакционный потенциал, учитывающий свойства связи Кубическая сингония Электрон Вольт Химическое парофазное осаждение Во1!хшапп !гапзрогг ецпабоп, кинетйческое уравнение Больцмана 149 — ОгарЫсз Ргосезгйпй (1п!й графический процессор — Сешга( Ргосезз)пй 1.)п!й центральный процессор — Бса!аЫе йп1с !пгег!асс, масштабируемый интерфейс связи — Сошрцге (!и!бед Рет)се АгсЫгес!пге, архитектура параллельных вычислений от ЫЧП)1А — Ореп Мц1Б-Ргосезгйпй, открытый стандарт для распараллеливания программ — Орел Огарйсз ЫЬгагу„спецификация, определяющая платформонезависимый (независимый от языка программирования) программный интерфейс для написания приложений, использующих двумерную и трехмерную компьютерную графику — Ореп Сошрпбпй Еапйпайе, открытый язык вычислений — Орел Ассе!егатогз, программный стандарт для параллельного программирования — йеаст!те апогее ВеЫ, эмпирическое силовое поле — 1агйезса1е А!ош!с/Мо!есп!аг Мазанке!у Рагайе! Б!пш!агог, свободный пакет для классической молекулярной динамики — Иапозса1е Мо!есп!аг Оупаппсз, бесплатная программа для молекулярной динамики — Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам — Арифметическо-логическое устройство — Рупаппс гаврош ассеьз шепюгу, динамическая память с произвольным доступом — ОгарЫсз ОоцЫе Рага Ваге, подвид энергозависимой динамической памяти с произвольным доступом на графических картах — 1пз!!гиге оТЕ1есгпса1 апд Е!есггоп!сз Епй!пеегз, Институт инженеров электротехники и электроники — Молекулярная динамика — Термодинамическое состояние характеризуется заданным набором частиц (Ы), заданным объемом (Ч) и заданной энергией (Е) — Термодинамическое состояние характеризуется заданным набором частиц (М), заданным объемом (Ч) н заданной температурой (Т) — Термодинамическае состояние характеризуется заданным набором частиц (Ы), заданным давлением (Р) и заданной температурой (Т) — Термодинамическое состояние характеризуется заданным химическим потенциалом (р), заданным объемом (Ч) и заданной температурой (Т) — Потенциала Леннарда-Джонса — Ч)зпа! Мо1еси1аг 1)упаш!сз, программа визуализации молекул — Ргоге!пз Оага Взлез, банк данных трехмерных структур белков и нуклеиновых кислот — Операционная система — Одностенная нанотрубка Список литературы 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
