Диссертация (786409), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Выдерживается микроканонический ансамбль ХУЕ. Под распространением тепла предполагается распространение фононных волн. В завершение проводится математическая обработка полученного распределения температуры по образцу. Осреднение температуры проводится по 1 пс (1000 временных шагов) по области длиной 16А, Полученная картина затем анализируется с целью определения наблюдавшегося режима распространения тепла. 4.2.1 Моделирование распространения тепла в листе графена Для количественного описания теплопроводн ости листа граф ена выбран образец длиной 629.8 нм.
Проводилась серия вычислительных экспериментов с варьированием значения начальной средней температуры листа от 16К до 40ОК. После стабилизации системы термостатами по центру листа в полоске шириной 2ОА задавался тепловой импульс, соответствующий температуре 600К, с гауссовым распределением проекций скоростей атомов в каждом случае. Генерация теплового импульса со значительно большими энергиями приводит к распаду образца ~при температурах выше температуры кипения графена).
Получившиеся картины распределения температуры по длине образца показаны на рис. 4.2 для начальной средней температуры листа в 16К и на рис. 4.3 для температуры листа в ЗООК. Приведено по 10 графиков, представляющих результаты 119 осреднения температуры за каждые 1000 временных шагов; для наглядности приведено также распределение Гаусса, масштабиро в анно е по первому пику распределения температуры.
120 Рисунок 42. Распространение теплового импульса в листе графена при температуре листа Т=16К. На графиках отмечено среднее значение температуры за 1 пс процесса распространения тепла Рисунок 4.3. Распространение теплового импульса в листе графена при температуре листа Т=ЗООК Для математической обработки полученных распределений температуры по образцу возможно применение разных методов.
Проведем анализ полученного распределения температуры по образцу. В первую очередь, количественно изменение ширины теплового импульса во времени измеряется среднеквадратичным отклонением а: ~„(и(г„~) — ие (г,))(г, (г) — г, )' .21г) ю — О 2 (и(г„г) — ие(г,)) ю=е где Х вЂ” количество атомов в системе, г,.(г) — радиус-вектор г-ого атома в момент Г, г,' 14,1) — радиус-вектор атома в начальный момент времени, иСг„~) = и,( у,! 37с а и, (г,.) — энергия атома в начальный момент времени. 14.2) На рис.
4.4 зеленым цветом отображены рассчитаные по формуле 14.1) значения о2, а красным цветом отображена линейная зависимость у=1.75х-22.59, полученная методом наименьших квадратов для этих значений, синим цветом отображено значение ширины гаусс оного импульса, мас штабированного по первому пику распределения температуры. Все зависимости приведены для 10000 шагов моделирования в логарифмическом масштабе для распространения тепла в листе графена при температуре 16К. Можно видеть, что наблюдается существенное отклонение наблюдаемого режима распространения тепла (г')=ст'-~', р=1.75 от нормального (г'~=о'-~. Таким образом, в листе графена шириной 20А и длиной 630 нм при температуре 16К наблюдается аномальная теплопроводность.
сК(!п[тах и(х,г)]) сЦ1п(г)) (4.3) 123 Рисунок 4.4. Распространение теплового импульса в листе графена при Т=16К (логарифмическая шкала) На практике среднеквадратичное отклонение (Ьх')(г) = (г') = о' дает в целом верное представление о характере теплопроводности, но может давать неточное количественное представление числом р. Поэтому один из основных вопросов заключается в установлении точного значения этого параметра аномальности по результатам полученного распределения температуры и ее динамике.
Другим способом определения этого параметра для задачи теплового импульса представляется оценка скорости убывания максимума полученного распределения. Поэтому помимо определения параметра р в зависимости (г')=сг' — ~', по результатам эксперимента вычислялся также порядок теплопереноса р' по соотношению: На рис.
4.5 показан график зависимости температуры в центре образца от времени при начальной температуре 16К. На рис, 4.6 зта зависимость дана в логарифмической шкале. Красным цветом отображена линейная зависимость у=1.99х- 33.81, полученная методом наименьших квадратов для этих значений температур. Можно видеть, что по-прежнему наблюдается существенное отклонение режима распространения тепла (г') = о.' — 1'', р '=1.99 от нормального (г') = сг' — г', Температурный пик т,к 140,00 120,00 10О,ОО 8О,ОО 60,00 ао,оо 2О,ОО ьфс о,оо Рисунок 4,5.
Спад пика энергии в листе графена при Т=)бк с течением времени 6,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 -1,00 -8,00 -9,ОО !оа(Т) — ~ах+Ь Рисунок 4.6. Спад пика энергии в листе графена при Т=16К с течением времени 1логарифмическая шкала) Использованные выше методы дают оценку характера теплопереноса в случае сильного преобладания пика над соседними температурными регионами. Однако с 124 -1О,ОО -11,00 -12,00 -13,00 -14,ОО -15,00 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 повышением температуры образца и усреднением в 1000 фс данные оценки сильно затруднены из-за шума (см. рис.
4.2 для ЗООК). Поэтому в работе предлагается третий способ определения параметра р. Необходимо выделить часть импульса, содержащую 68.26% энергии (для простоты) и определить его местоположение на образце. Для нормального распределения это расположение будет соответствовать интервалу [-о, о1, для аномальной теплопроводности он будет шире (-й, Щ. о -Зп -2а -1с О 1п 2о За Рисунок 4Л.
Плотность вероятности гауссового распределения Тогда логарифмирование позволит оценить параметр р*'. е 1О8, й(() =1О8, /2ХУ'~~ = — 1О8, ~+ — 1О8, Па+в (4.4) Подобный способ оценки параметра аномальности р представляется как самый точный из трех. Также следует по формуле (4 4) оценить параметр 17*. На рис. 4.8 показаны графики зависимостей доли суммарной энергии теплового импульса, поданного на образец при начальной температуре 16К., от размера взятого интервала 1-х, х1 для различных моментов времени. Горизонтальная линия соответствует доле энергии в 68.26%, пересечение этой линии с кривыми дает значение искомого интервала (-Й, Щ. 125 Доля энергии отх 0,8 О,б 0,4 гвао 1гаа вао гаса а 200 400 600 1800 1400 -- — 1ООΠ— гоаа — 9ООΠ— — 4ООΠ— -- зааа --"- 8000 — 7000 — 8000 ' ' 9000 10000 Рисунок 4,8.
зависимость доли энергии теплового импульса от размера интервала ~-х, х1 при распространении тепла вдоль листа графена при Т=гби. Графики соответствуют моментам времени, усреднвнные за 1000 фс На рис. 4.9 дана зависимость искомой 84 от времени в логарифмической шкале. Красным цветом отображена линейная зависимость у-0.90х-7.37, полученная методом наименьших квадратов для этих значений ьг.
Наблюдается аномальный режим распространения тепла (гг) = о.' — г', р"=1.81. 126 4,00 о,д — ~ах+Ь 2,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14„00 Рисунок 4.9. Зависимость размера интервала (-зс, х11 от времени при распространении тепла вдоль листа графеиа при Т=16К (логарифмпческан шкала) В следующем эксперименте подводится тепловой импульс при температуре ЗООК, что дает увеличение температуры на 1К. На рис. 4.10 зеленым цветом отображены рассчитаные по формуле (4.1) значения о', а красным цветом отображена линейная зависимость у=0.0022х-2.11, полученная методом наименьших квадратов для этих значений, синим цветом отображено значение ширины гауссового импульса, масштабированного по первому пику распределения температуры.
Все зависимости приведены для 10000 шагов моделирования в логарифмическом масштабе для распространения тепла в листе графена при температуре ЗООК. 127 Рисуиок 4.10. Распростраиепие теплового импульса в листе графеиа при Т=ЗООК (логарифмическая шкала) Из-за уровня зашумленности данных таким методом определить режим распространения тепла не удается.
На рис. 4.11 показан график зависимости температуры в центре образца от времени при начальной температуре ЗООК. На рис. Рисунок 4.12 эта зависимость дана в логарифмической шкале. Красным цветом отображена линейная зависимость у=1.89х-30.33, полученная методом наименьших квадратов для этих значений. Вновь уровень шума не позволяет даже приблизительно определить режим распространения тепла. 128 Температурный пик т,к 90,ОО 8О,ОО то,оо 60,00 5О,ОО 4О,ОО зо,оо 20,00 10,00 ьфс о,оо о 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Рисунок 4.11, Спад пика энергии в листе графена при Т=ЗООК с течением времени 1,00 1009,оо 1о,оо 11,00 12,00 13,00 14,00 -3,00 -5,00 -?,00 ! оа(Т) — ~ах+Ь -9,00 -11,00 -13,00 -15,00 -17,00 Рисунок 4Л2.
Спад пика энергии в листе графена прн Т=ЗООК с течением времени (логарифмическая шкала) На рис. 4.13 показаны графики зависимостей доли суммарной энергии теплового импульса, поданного на образец при начальной температуре ЗООК, от размера взятого интервала [-х, х| для различных моментов времени. Горизонтальная линия соответствует доле энергии в 68.2644, пересечение этой линии графиком дает значение искомого интервала ~-й, Щ. 129 Доля энергии от х 1,8 1,2 О,б 0,4 о 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -0,2 1000 2000 ЗООΠ††-4000 — 6000 6000 †70 8000 †' '9000 †100 Рисунок 4.13. Зависимость доли энергии теплового импульса от размера интервала [-х, х~ прн распространении тепла вдоль листа графена при Т=ЗООК.
Графики соответствуют моменты времени, усредненные за 1000 фс На рис. 4.14 дана зависимость искомой 12 от времени в логарифмической шкале, Красным цветом отображена линейная зависимость у=0.50х+2.45, полученная методом наименьших квадратов для этих значений 14 при усреднении 10 фс. Наблюдается близкий к нормальному режим распространения тепла (г')=67' — 1, 130 12,00 1О,ОО 8,00 — о,А †у=ах 8,00 4,00 г,оо о,оо 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 Рисунок 4.14.
Зависимость размера интервала 1-42, Щ от времени при распространении тепла вдоль листа графеиа при Т=ЗООИ. Графики отображают моменты времени, усредненные за 10 фс (логарнфмическаа шкала) Очевидно, что достоверные значения параметра аномальности предоставляются только числом р". График значений параметров р", полученных по результатам моделирования теплопроводности листа графена в исследованном диапазоне температур от 16К до 400К, представлен на рис. 4.15. При низких температурах (32К и ниже) наблюдается аномальный режим распространения тепла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
