Диссертация (786377), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Численные расчѐты [62] обобщилиэтот результат для произвольного зазора между цилиндрами. Расчѐты [62]показали, что значение Pm = 0,25 является минимальным, при котором ещѐнаблюдается магнитовращательная неустойчивость.Достаточно неожиданным представляется то, что вопрос обустойчивости течения Куэтта при наличии азимутального магнитного поляне привлѐк широкого внимания. Кроме того, до недавнего временисуществовала только одна теоретическая работа для реальногодиссипативного течения Куэтта [70], в которой было рассмотрено бестоковоемагнитное поле. Поскольку рассмотренное Ад принадлежит интервалу (120),то неудивительно, что в работе [70] была получена только стабилизациятечения азимутальным магнитным полем.Недавно [71, 72] были выполнены теоретические расчѐты устойчивостинеидеального течения Куэтта к осесимметричным возмущениям при наличииазимутального магнитного поля для произвольных Ад и как для проводящих,так и для непроводящих граничных условий.
Для простоты авторыограничились изучением монотонных осесимметричных возмущений,которые, как правило, наиболее неустойчивы. Результаты [71,72]продемонстрировали, что устойчивость диссипативного течения Куэтта косесимметричным возмущениям согласуется с идеальным критерием (119).При этом диссипативные процессы стабилизируют течение и возникают двакритических числа: критическое число Рейнольдса и критическое числоГартмана. В общем случае течение, имеющее и неустойчивое вращение, инеустойчивое магнитное поле, устойчиво только при числах Рейнольдса иГартмана меньших критических.
При этом критическое число Рейнольдсамаксимально в отсутствие магнитного поля и спадает до нуля при некоторомконечном числе Гартмана. В свою очередь, критическое число Гартманамаксимально в отсутствие вращения и спадает до нуля при некоторомконечном числе Рейнольдса. Таким образом, комбинация неустойчивоговращения и неустойчивого магнитного поля в общем случае усиливаетнеустойчивость течения Куэтта.25Тейлор [34] предположил, что течение теряет устойчивость при числеРейнольдса, соответствующем минимальному числу Рейнольдса длянейтральных областей при всех возможных значениях параметров (далее этиминимальные числа будем называть критическими числами Рейнольдса).Отметим, что в рамках этого подхода мы ничего не можем сказать овеличине инкремента неустойчивости (мнимая часть инкремента, как сказановыше, принимается равной нулю).
Инкремент неустойчивости можнорассчитать только в рамках нелинейного подхода. Это свойство существенноотличает теорию линейной устойчивости для идеальной жидкости от теориилинейной устойчивости неидеальной жидкости. В идеальной жидкости мы,наоборот, можем рассчитать инкремент неустойчивости, но не можем найтичисло Рейнольдса.Классическое идеальное течение Куэтта устойчиво к осесимметричнымвозмущениям, если величины углового момента возрастает с увеличениемрасстояния. Общий критерий для асимметричных возмущений до сих порустановлен не был. Теория и эксперимент показывают, что для цилиндров,вращающихся в одном направлении, наиболее неустойчива осесимметричнаямода.
Эта неустойчивость является монотонной и называется вращательнойнеустойчивостью. Вязкость ее стабилизирует, и неидеальное течение Куэтта,которое неустойчиво согласно условию Релея, реально теряет устойчивостьтолько при достаточно быстром вращении (когда число Рейнольдса оченьвелико). Для вращательной устойчивости наблюдается хорошее согласиемежду теорией и экспериментом.Устойчивая вертикальная стратификация плотности стабилизируетосесимметричную моду, но дестабилизирует асимметричные моды, которыестановятся более неустойчивыми даже для цилиндров, вращающихся водном направлении.
Наиболее неустойчивой в данном случае является мода сm = 1, а неустойчивость перестает быть монотонной, становясьосциллирующей. Более того, эта неустойчивость дестабилизирует течениедаже за чертой Рэлея. Предел распространения такой «стратовращательной»неустойчивости находится между пределом Рэлея и пределом классическоймагнитовращательной неустойчивости. Его величина сильно зависит отвеличины расстояния между цилиндрами – чем больше расстояние, темменьше этот предел.Однородное осевое магнитное поле дестабилизирует течение Куэтта.Эта неустойчивость называется магнитовращательной неустойчивостью. Онапроявляется для течений как неустойчивых, так и устойчивых в отсутствие26магнитного поля.
Для неустойчивых в отсутствие магнитного поля теченийкритические числа Рейнольдса могут уменьшаться при наличии поля. Однакоэто свойство сильно зависит от магнитного числа Прантдаля и проявляется,только если Pm ~ 1. Основным проявление магнитовращательнойнеустойчивостиявляется дестабилизация течений с угловой скоростью,убывающей с возрастанием радиуса, а также изменение критерияустойчивости. Сильная зависимость критических чисел от магнитного числаПрантдаля приводит к определенным трудностям при проведенииэкспериментов.
Поэтому, магнитовращательная неустойчивость до сих порне наблюдалась экспериментально.Отметим результаты Лонгаретти [89], который для сжимаемой жидкостиполучил критерий устойчивости отличный от критерия Сайдама.Что касается собственно течения Куэтта, то недавно было показано, чтодобавление бестокового азимутального магнитного поля (устойчивогосамого по себе) к постоянному осевому магнитному полю дестабилизируеттечение Куэтта по отношению к осесимметричным возмущениям [90, 91].При наличии осевого магнитного поля течение Куэтта становитсянеустойчивым за линией Рэлея, но критические числа Рейнольдса оченьвелики при малых магнитных числах Прандтля типичных для экспериментовс жидкими металлами (см. раздел 4.1).
Оказывается [90, 91], что добавление косевому магнитному полю бестокового азимутального магнитного полясущественно понижает величину критических чисел Рейнольдса (от ~ 106 до~ 104).Магнитное поле с учѐтом холловских токов тоже рассмотрено в работе[26]. В работе [92] было рассмотрено влияние холловских токов наустойчивость течения Куэтта при наличии вертикального однородногомагнитного поля. Без учѐта холловских токов направление магнитного поляне имеет значения, важна только его величина. Холловские токи приводят ктому, что устойчивость течения зависит как от величины магнитного поля,так и от его направления.
Более того, при наличии эффекта Холла течениеКуэтта с однородным аксиальным магнитным полем неустойчиво для любогозакона вращения (критические числа Рейнольдса существуют для любогоД0). Впервые дестабилизация вращения с возрастающей угловой скоростьюпод действием эффекта Холла была получена для аккреционных дисков [93].Течения устойчивые даже для МВН ( 1 ) дестабилизируются магнитнымполем с направлением противоположным направлению вращения (при27положительном знаке холловского сопротивления).
Эффект Холла такжедестабилизирует течения, которые были неустойчивы и без его учѐта,например течение с покоящимся внешним цилиндром. При этом критическиечисла Рейнольдса существенно уменьшаются. Тем не менее, оценкивеличины магнитного поля, при котором можно наблюдать холловскуюмагнитовращательную неустойчивость (ХМВН) при экспериментах сжидкими металлами, приводят к слишком большим значениям магнитныхполей (~ 107 Гс), что создаѐт серьѐзные препятствия для проведениясоответствующих экспериментов.
Однако ХМВН может оказаться важнойдля астрофизических приложений (особенно для слабоионизованныхаккреционных дисков [93-96]). Подчеркнѐм, тем не менее, что развитиеХМВН даже в астрофизических объектах требует достаточно большихмагнитных полей [92, 97].В работе [98] было показано, что эффект Холла может оказыватьсущественное влияние также и на пинчевую неустойчивость азимутальногомагнитного поля. Отметим, что следствием этого эффекта может бытьразличная напряжѐнность азимутального магнитного поля в различныхполушариях нейтронной звезды.
Кроме того, результаты расчѐтов [98]показали, что под действием эффекта Холла АМВН распространяется напроизвольные законы вращения, аналогично МВН. Тем не менее,лабораторному наблюдению всех этих эффектов по прежнему препятствуетбольшая напряженность магнитного поля, при которой они могутпроявляться.В отличие от осевого, азимутальное магнитное поле усложняетпроблему тем, что может быть неустойчивым само по себе (без вращения).Это так называемая пинчевая неустойчивость. Комбинация вращения иазимутального магнитного поля создает сложную картину взаимодействиявращательной и пинчевой неустойчивостей.
В зависимости от параметровнаиболее неустойчивой является либо мода с m = 0, либо мода с m = 1. Авторотмечает два интересных факта, касающихся этого случая. Во-первых,комбинация неустойчивое вращение и неустойчивое магнитное поле могут врезультате давать устойчивое течение (компенсация неустойчивостей). Вовторых, комбинация устойчивого вращения и устойчивого магнитного поля,может дать неустойчивое течение (азимутальная магнитовращательнаянеустойчивость). Свойства такой неустойчивости почти такие же, как и28простоймагнитовращательнойнеустойчивости(включаяпределыраспространения), кроме того она является асимметричной.В случае винтового магнитного поля ситуация еще более сложная.Единственный результат, который следует упомянуть, - это существенноеуменьшение критических чисел Рейнольдса при совместном действииоднородного магнитного поля и бестокового азимутального магнитного поля(которое само по себе устойчиво).В работе [76] исследовалась устойчивость течения Куэтта сазимутальным магнитным полем к асимметричным возмущениям.Результаты расчѐтов показали, что магнитные поля, как и дляосесимметричных возмущений, делятся на устойчивые и неустойчивые касимметричным возмущениям в соответствии с идеальным критерием.Соответственно будем называть магнитное поле устойчивым касимметричным возмущениям, если Ад принадлежит интервалу (123), инеустойчивым в противоположном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
