Диссертация (786377), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Таким образом можноисследовать линейные и нелинейные режимы.51Ситуация с большой величинойпараметра (пропорциональногоотношению величин инерционных членов к диффузионным) приводит как идля течений открытого типа к локальным задачам, описывающим квадратныевихри с асимптотически одинаковыми размерами в направлениях y и z.Можно показать, что возмущенное течение описывается в этом случаепараболизованными уравнениями Навье-Стокса для несжимаемой жидкостис локальными термодинамическими величинами, соответствующимиместоположению вихря (расположенному около одной из стенок иливсплывшему).Более интересной оказываются течения, в которых действительносказывается влияние вязкости, а именно в таких для которых размер вихря внаправлении y сравним с величиной зазора.Естественно начать анализ с таких длин волн возмущений или вихрей,размер которых в направлении z также совпадает с величиной зазора.В настоящей работе приведены результаты асимптотического анализатечений сжимаемого газа для случая больших чисел Рейнольдся и малых (посравнению с радиусами цилиндров) величин зазора между поверхностями.Сформулированы соответствующие математические задачи и найденыпараметры подобия.

Приведены результаты вычислительных расчетов,показывающих влияние температурыповерхностей цилиндров ивращательных скоростей на плотности вихрей.2.1. Определяющие уравнения в цилиндрической системе координатВводится цилиндрическая система координат . На рис. 2.1 показан эскизсистемы координат для установившегося потока сжимаемой вязкойжидкости. Течение газа между двумя коаксиальными цилиндрамиподдерживается за счѐт постоянной угловой скоростью одного или обоихцилиндров, при этом в среднем течение в осевом направлении отсутствует[осреднѐнный поток в осевом направлении равен нулю]. Внутреннийцилиндр имеет радиус R1 и вращается с угловой скоростью 1 , а внешнийрадиус R2 и вращается с угловой скоростью 2 .

Звѐздочкой обозначеныразмерные величины.52Рис. 2.1. Система цилиндрических координат2.2. Система оценокОценим вначале перепад давления между стенками цилиндров,возникающий под действием центробежных силp ~  d(2.1)предполагая, что скорость в окружном направлении порядка единицы, а dширина зазора между цилиндрами.Индуцируемая этим перепадом скорость в направлении z (предполагая,что перепад давления в радиальном направлении такой же как и втрансверсальном) оценивается следующим образом(2.2)w ~  1/ 2 d 1/ 2 .Эта оценка, строго говоря, имеет место, если силы вязкостинесущественны.

Мы рассматриваем именно режимы, для которых иливязкость несущественна или граничные, для которых вязкость иинерционные силы сравнимыПоскольку мы ограничиваемся режимами, где от окружной координатыничего не зависит и неустойчивость (в отличие от вихрей Тэйлора Гертлерана пластине) развивается как нестационарный процесс, то уравнениенеразрывности в невырожденном виде должно содержать производные, как врадиальном направлении, так и в трансверсальном.Тогда при заданном масштабе по z53v 1/2 d 3/2или v ~. dОценим теперь в уравнении радиального импульса влияние вязкостиw~(2.3)v 4/5  1/52 v.(2.4)v ~  2 или dv ~ddТо есть имеется такая иерархия.

Если зазор и длина волны сравнимы,тогда если они совпадают с этим вязким размером получатсяпараболизованные уравнения Навье-Стокса, в которых вязкость работает вдвух направлениях в радиальном и трансверсальном. Если эти размерыбольше вязкого размера тогда у нас получаются уравнения Эйлера.Далее если длина волны больше зазора тогда есть предельная длинаволны, при которой в течении проявится влияние сил вязкости, но ужетолько в одном направлении радиальном.

Поэтому u  v(2.5) v  0 ,tzr u  u 2 p  uv 11 2  u v 1  uv  { [2  (   v)] tzzrrRe 3 z z r r, (2.6)2 uv vu v [  (  2  ]  [  ]}3 rzr rr z2 v  uv  v p1  u v  v 2   w2  {[  (  ] tzrrRe z r z,(2.7)2 uv v2  u v[  2  ]} [   2v]3 rzr r3 Re z r w  (  uw)  (  vw)1 2  vw tzrr, (2.8)1 w1  w w w w[ ] [  (  )]   [  ]Re z zRe r r r rRe r r54 E  uH  vH 1 2 u v 1  vH {u[2   v] tzrrRe 3 zz r ru vu v 2uv v[  ]  u[  ]   v[  2  v] zr zr z 3zr2 u uvv u vu v[  2  v]  [  ]  [  u (  )] 3 z zrz r z rr z2 uv vu u v[  v(  2  )]  [  ] 3 rzr rr r z.2 v uv[  2  v] 3 r zr1TT T[ () ()]2zzrr`rPr(  1) M Re(2.9)1 w1 w w1w w[ w ] [  w(  )] [  w(  )]Re zzRe rr rRer rИтак, введем следующие представления координат и функций теченияz   z1 , r  dr1 , t  d 1/2t1w  w0  ...,u  d 1/2u1  ...,v  d 3/2 1v1  ...p  p0  dp1  ...,   0  ...Подстановка разложений в исходную систему уравнений дает0 0u1 0v1 0,t1z1r1 0u1t12 0u12z1p1z1u 0u1v1r12 u v { [2 1 2  (  )] 3 zz rv(2.10),(2.11) [1 (  2 ]}3r zr0 w0 ( 0u1w0 ) ( 0v1w0 ) w w 1 2 [  ]  1 21 [  ( )] ,t1z1r1z zr r r[0v1 0u1v1 0v02 2 p1 uv] 2  0 w02  1 2{[  (   22 ] t1z1r1r1z rz2 uv[  2 ]}3 rzr55,(2.12)(2.13) E  uH  vH1TT[1 2 (  )  1 21 (  )]2tzrPr(  1) Mzzr `r, (2.14)ww1 2 [ w ]  1 21 [  w( )]zzrrгде 1 2d3/2, 2 d.Полученные параметры подобия имеют простой физический смысл(Рис.

2.2). Параметр 1 определяет отношение диффузионных эффектов кинерционным эффектам. По существу это обратная величина локальногочисла Рейнольдса. Параметр  2 определяет отношение ширины зазора кдлине волны пространственных возмущений (вихрей). Напомним, что вовсех случаях мы имеем дело с безразмерными параметрами.Общая система уравнений соответствует точке А, для которой обавведенных параметра подобия сохраняют конечное значение.Для дальнейшего анализа отметим, что возможны различныепредельные переходы. Если мы будем двигаться вдоль линии АВ параметр1  0 , а параметр  2 сохраняет конечное значение.

Система уравнений дляэтого предельного перехода имеет вид:0 0u1 0v10 ,t1z1r1[(2.15)0u1 0u12 p1 0u1v10t1z1z1r1,(2.16)0 w0 ( 0u1w0 ) ( 0v1w0 )0t1z1r1,(2.17)0v1 0u1v1 0v02 2 p1] 2  0 w02  0 ,t1z1r1r1(2.18)0 w0 ( 0u1w0 ) ( 0v1w0 )0t1z1r1(2.19) E uH  vH 0.tzr56,(2.30)Соответственно, параметры, находящиеся вдоль линии АС приводят крежиму течения, в котором вязкость существенна (в одном направлении):0 0u1 0v1 0,t1z1r10u1 0u12 p1 0u1v1 2 uv [1 (  2 ] ,t1z1z1r13r zr w[  ( 0 )]  0 ,r1 r1 r1p1 0 w02  0 ,r1 E uH  vH1Tw[1 (  )]  1 [  w( )] .2tzrPr(  1)Mr `rrr(2.31)(2.32)(2.33)(2.34)(2.35)2.3.

Диаграма различных возможных режимов течения Куэтта-ТейлораПолученные оценки можно использовать для построения диаграммывозможных режимов (Рис. 2.2). Анализируемые режимы располагаютсявнутри треугольника ABC. Наиболее общим, с точки зрения проявляющихсяэффектов, будет режим, соответствующий точке А, где течение описываетсяпараболизованнымиуравнениямиНавье-Стокса.Термин«параболизованные» соответствует здесь отсутствию диссипативных членовв окружном направлении. Эти эффекты проявляются лишь в направлениях порадиусу и вдоль оси цилиндров. Соответственно параметры, находящиеся налинии AB ниже точки А соответствуют режимам, для которых вязкость ужене существенна, а длина волны вихрей совпадает по порядку величины свеличиной зазора.Линии AC соответствуют вихри, на которые влияет вязкость, ахарактерный размер зазора много меньше, чем длина волны.57Рис 2.2.

Диаграмма различных возьможных режимов течения КуэттаТейлора2.4. Численные результаты по теории возмущений для различных модтеченийДля исследования устойчивости стационарного движения жидкости впространстве между двумя вращающимися цилиндрами в предельном случаесколь угодно больших чисел Рейнольдса можно применить простой способ,аналогичный, применѐнному в параграфе 4 при выводе условиямеханической устойчивости неподвижной жидкости в поле тяжести(Rayleigh, 1916).

Идея метода состоит в том, что рассматривается какойнибудь произвольный малый участок жидкости и предпологается, что этотучасток смещается с той траектории, по которой он движется врассматриваемом течении. При таком смещении появляются силы,действующие на смещѐнный участок жидкости. Для устойчивости основногодвижения необходимо, чтобы эти силы стремились вернуть смещѐнныйэлемент в исходное положение.Каждый элемент жидкости в невозмущѐнном течении движется поокружности r = const вокруг оси цилиндров. Пусть  (r )  mr 2  есть моментимпульса элемента с массой m (   - угловая скорость ).

Действующая на негоцентробежная сила равна 2 / mr 3 ; эта сила уравновешиваетсясоответствующим радиальным градиентом давления, возникающим вовращающейся жидкости. Предположим теперь, что элемент жидкости,находящийся на расстоянии r0 от оси, подвергается малом смещению со58своей траектории, так что попадает на расстояниеr  r0от оси.Сохраняющийся момент импульса элемента остаѐтся при этом равнымсвоему первоначальному значению 0  0 (r ) Соответственно в его новомположении на него будет действовать центробежная сила, равная 02 / mr 3 .Для того чтобы элемент стремился возвратиться в исходное положение, этацентробежная сила должна быть меньше чем еѐ равновесное значение 2 / /mr 3 , уравновешивающееся имеющимся на расстоянии r градиентомдавления.

Таким образом, необходимое условие устойчивости гласит: 2  02  0 ; разлагая  (r ) по степеням положительной разности r  r0 ,напишем это условие в видеd0dr(2.36)Теперь аналогично выведем данное условие для сжимаемой жидкости,для этого введѐм характерный объѐм V и следовательно   Vr 2mrv 2 mvr  v m r 2   rrr2r2(2.37)Исследуемое течение содержится между двумя концентрическимицилиндрами бесконечной длины, которые вращаются с разной угловойскоростью и имеют разные температуры. Использована полярнаяцилиндрическая система координат.Нижевведеныследующие2tR1 / W1 , zR1 , rR1 ,, uW1 , vW1 , wW1 , 0W1 , s  , HW12 , s  , aW1дляобозначениявремени, дляосевой, радиальной и угловой координат и для соответствующихкомпонентов вектора скорости, для статического давления, плотности,полной энтальпии, для динамического коэффициента вязкости и дляскорости звука.

Индекс ―1‖ соответствует параметрам внутреннего цилиндра(если внутренний цилиндр покоится в качестве характерных параметроввзяты параметры внешнего цилиндра, которые отмечены индексом ―2‖).Индекс ―s‖ соответствует термодинамическим функциям газа, заполняющегопространство между цилиндрами при отсутствии вращения.Невозмущенное течение описывается следующей системой уравнений59dd wd w[ 0 r ( 0 )]  20 ( 0 )  0drdr rdr r(2.38)dd H1 2dd{0 r [ 0  (1 ) w0 ]}  [ 0 w0 (rw0 )]  0drdr 2drdrp0 0 w02r(  1)dp00dr(2.39)(2.40)w020C pT0 , CpT0  H 0 2(2.41)w02 0  ( H 0  )2(2.42)w02a  (  1)( H 0  )2(2.43)20, где  - число Прандтля,  - отношение удельных теплоемкостей.Граничные условия имеют видr  1 w0  1, H 0  H w1r  R2 / R1(2.44)w0  b2 , H 0  H w2(2.45)Уравнение энергии (для полной энтальпии) может быть проинтегрировано, врезультате получается следующее уравнение2r ww2H  (  1)    dr  c1r  ( H w1  c1 )1 r2где c1 (2.46)R / R w21(  1) 2[ H w2 b2   dr  H w1 ] (2.47)1( R2 / R1  1)2r2601Можно показать, что при больших числах Рейнольдса возвожны различныережимы развития возмущений.

Характеристики

Список файлов диссертации