Диссертация (786377), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для идеальной жидкостиудается получить результаты аналитически.Несжимаемая жидкость с однородной плотностьювязкостьюи динамическоймежду двумя соосными цилиндрами описывается уравнениями:,,где– давление, – плотность, – кинематическая вязкость, – векторскорости жидкости, – вектор ускорения внешних сил.

В первом уравненииавтор пренебрегает влиянием объемной вязкости. В силу симметрии задачи, вкачестве системы координат разумно выбрать цилиндрическую.Тогда, в общем случае в этой системе координат система допускает решениявида,,.В случае вязкой жидкости азимутальная компонента уравнениясохранения импульса фиксирует вид функции:,где коэффициенты иопределяются из граничных условий.Таким образом, функция угловой скорости фиксирована, и ее значенияопределяются константами, зависящими от граничных условий, которыефиксируются геометрией задачи.

Автор также отмечает существованиеобщего решения для цилиндров с конечной длиной.В своей работе [26] автор ограничивается решением задачи длялинейного приближения и рассматривает линейную устойчивость кбесконечно малым возмущениям. Возмущенное решение при этомпредставляется в виде,,,где,,,,малы по сравнению с невозмущенными величинами.Автор ставит задачу исследования неустойчивости линеаризованнойсистемы с учетом граничных условий.

Безразмерным числом задачи являетсячисло Рейнольдса, а параметрами –19,,, ,.В ходе математических выкладок становится ясно, что накоэффициенты линеаризованной системы оказывает влияние лишьрадиальная компонента, поэтому, ее решение можнопредставить в видесуммы нормальных мод вида,гдев данном случае представляет собой искомую произвольнуюпеременную. Это позволяет свести трехмерную задачу к одномерной. Изгеометрии нетрудно понять, что азимутальное число m– целое, аксиальноеволновое число kможет принимать любые вещественные значения, аинкремент – произвольное комплексное число.В случае осесимметричных возмущений и идеальной жидкости, когдасистема сводится к одному уравнению второго порядка:.Данное уравнение примечательно тем, что из него можно легкополучить необходимое и достаточное условие устойчивости вращающейсяжидкости.

Для этого можно, например, воспользоваться результатами теорииШтурма-Лиувилля. Течение устойчиво тогда и только тогда, когдадля любойточки рассматриваемого интервала выполнено неравенство (условие Рэлея).Для течения Куэтта это условие принимает вид,где,– соответствующие радиусы цилиндров,,– угловыескорости.Иными словами, идеальное течение Куэтта устойчиво косесимметричным возмущениям, если угловой момент возрастает сувеличением радиуса.

Если существуют точки, в которых он убывает, тотечение является неустойчивым к осесимметричным возмущениям.В неидеальном случае ситуация намного сложнее. После перехода кбезразмерным величинам, задача сводится к системе уравнений, которуюудается решить лишь численными. Автор приводит несколько источники, вкоторыхпредлагаютсяразличныеметодырешения.Наиболеепредпочтительным автор считает метод конечных разностей.Типичная кривая нейтральной устойчивости для неидеального теченияКуэтта схематично представлена на рис. 1.5.20Рис.

1.5. Типичная кривая нейтральной устойчивости неидеальноготечения Куэтта (сплошная кривая) при фиксированном ˆ . Вязкое течениенеустойчиво в области над кривой и устойчиво в области под кривой.Пунктирной прямой показана предельная линия Рэлея. (Результаты работыД.А. Шалыбкова [26])Как видно из рисунка, минимальные числа Рейнольдса наблюдаютсяпри покоящемся внешнем цилиндре. Вдоль кривой меняются не только числаРейнольдса, но и остальные параметры. Для цилиндров,вращающихся в одном направлении, осесимметричная мода всегда наиболееустойчива. Моды сстановятся наиболее неустойчивыми только дляцилиндров, вращающихся в разные стороны. Асимметричная неустойчивостьявляется осциллирующей ().Стратификация плотности рассматривается автором в двух вариантах:в случае радиальной стратификации и в случае осевой.Случай с радиальной стратификацией плотности сводится крассмотрению системы уравнений,,.21Решение описывается в аналогичном виде, только плотность теперьявляется функцией радиуса:,,.После линеаризации и несложных математических преобразованийсистема уравнений для идеальной жидкости сводится к одному уравнению:,где,,– эпициклическая частота,– частота плавучести Брента-Вяйсяля.Совместно с граничными условиями уравнение для идеальнойжидкости удовлетворяет классической задаче Штурма-Лиувилля.

Отсюдаследует, что необходимым и достаточным условием устойчивостикосесимметричным возмущениям идеального несжимаемого течения Куэтта срадиальной стратификацией плотности является неравенство.Устойчивая стратификация плотности стабилизирует идеальное течение.В случае осевой стратификации плотности уравнение становится ещесложнее. Предположение о том, что решение имеет вид,приводит к противоречию, в связи с этим рассматривается более сложныйфункциональный вид плотности и угловой скорости.Функциональный вид, естественно не зависит от координаты, в то время как плотность от нее уже зависит:.

Задача сводится кдвумерной.После линеаризации уравнений для обезразмеривания вводятсячислоРейнольдса и число Фруда:,где,.Условиеустойчивостикосесимметричнымвозмущениямвращающейся жидкости с осевым градиентом плотности имеет вид,что для однородной жидкостипереходит в условие Рэлея, а дляневращающейся жидкости в условие Рэлея-Тэйлора.22Однако эксперимент показывает наличие новой неустойчивости зачертой Рэлея, хотя по неясной причине она не получила должного вниманияв литературе.Только в 2001 году линейный анализ устойчивости для идеальноготечения Куэтта продемонстрировал, что достаточным условиемнеустойчивости к ассиметричным возмущениям будет уменьшение величиныугловой скорости с возрастанием радиуса:,что сдвигало границу неустойчивости за черту Рэлея.Действие внешнего магнитного рассмотрено в статье [26] достаточноподробно. Исследуется влияние однородного осевого магнитного поля,азимутального магнитного поля, а также их совместное влияние (винтовоемагнитное поле).В общем случае, динамика жидкости в магнитном поле описываетсясистемой уравнений:,,,где – плотность электрического тока,поле,– скорость света,– электрическое поле,– магнитное– коэффициент магнитной диффузии.Предполагается, что – однородно и.Аналогично, данную систему удобнее рассматривать в цилиндрическойсистеме координат.

Далее автор статьи рассматривает различные вариантыдействия магнитных полей. Кратко приведем основные результаты.Для случая однородного осевого магнитного поля показано, чтомагнитное поле дестабилизирует течение Куэтта. Условие устойчивости косесимметричным возмущениям идеального течения имеет вид.При наличии азимутального магнитного поля необходимое идостаточное условие устойчивости вращающейся идеальной жидкости косесимметричным возмущениям принимает более сложный вид:.23Автор также уделяет некоторое внимание на неустойчивость в случаесовместного влияния магнитного поля и стратификации плотности.Таким образом, в статье [26] достаточно глубоко рассматриваетсявлияние магнитного поля и различной плотности жидкости нанеустойчивость течения Куэтта.

Кратко изложим основные выводы,полученные автором.Течение при наличии магнитного поля также рассмотрено в работе [26]. Еслимагнитное поле при учѐте диссипативных процессов успеваетпродиффундировать из возмущѐнного объѐма (или распасться в нѐм) завремя развития неустойчивости, то оно не будет влиять на развитиенеустойчивости. Учитывая, что время распада магнитного поля обратнопропорционально коэффициенту магнитной диффузии, а время развитиянеустойчивости обратно пропорционально кинематической вязкости v, томагнитовращательной неустойчивостью (МВН) должна зависеть отмагнитного числа Прандтля Pm. При малых Pm магнитное поле не успеваетпродиффундировать из возмущѐнного объѐма только при быстром вращении(большие числа Рейнольдса) и МВН может проявляться только для большихчисел Рейнольдса.

В целом, чем выше магнитное число Прандтля, тем дляменьших чисел Рейнольдса должна проявляться МВН. Следует отметить, чтов экспериментах по замагниченному течению Куэтта [51-54] используютсяжидкие металлы, которые имеют очень малые Pm (порядка 10-5 и менее) и,действительно, МВН до сих пор не наблюдалась экспериментально.Результаты работы [55] по утверждению еѐ авторов демонстрируют МВН длясферической геометрии. Однако исходное состояние течения (в отсутствиемагнитного поля) было уже неустойчивым (турбулентным), и, следовательно,наблюдаемая неустойчивость не является начальной неустойчивостьютечения.

Это обстоятельство не позволяет отождествлять наблюдаемуюнеустойчивость с МВН. Скорее можно говорить о неустойчивостимагнитного поля под действием турбулентного течения.Расчѐты Чандрасекара для неидеальной жидкости [33], выполненные впределе малого Pm для гидродинамически неустойчивого течения,продемонстрировали, в согласии с экспериментом, что магнитное полетолько стабилизирует течение. Дальнейшие расчѐты [56-59], выполненные втом же приближении малого Pm, подтвердили стабилизирующее влияниемагнитного поля. На этом фоне остались незамеченными расчѐты [60],24которые продемонстрировали наличие МВН и для гидродинамическинеустойчивого течения при Pm ~ 1.В работе [61] показано, что для гидродинамически неустойчивыхтечений в приближении малого Pm и узкого зазора магнитовращательнаянеустойчивость действительно исчезает.

Характеристики

Список файлов диссертации