Автореферат (786022), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

При замораживании одной изротационных мод - =0 - автоматически исчезает и уравнение для второйротационной моды - . При вырождении стержней (нанотрубок) вматериальные точки, равно как и в случае отсутствия взаимодействий присдвиговых деформациях, не только исчезают все нелинейные слагаемые,пропорциональные поворотам , но и изгибные волны становятсянераспространяющимися. Таким образом, в разработанной математическоймодели произойдут качественные изменения, что согласуется сэкспериментально известным существенным отличием между физикомеханическими свойствами фуллеренов и углеродных нанотрубок.Рис.

7. Квадратная решетка из частиц шарообразной формыи ее ротационные степени свободы.Третья из рассмотренных в этом параграфе математических моделейимеет следующий вид:u tt  c12 u xx  c 22 u yy  s 2 v xy   y 1 F1 1 F2,2 x 2 yvtt  c 22 v xx  c12 v yy  s 2 u xy   x 1 F3 1 F4,2 x 2 ywtt  c32 ( w xx  w yy  2 y  2 x ) 1 F5 1 F6,2 x 2 y21 M b (c  M b (c J tt  M b 2 c 42 ( xx   yy )   (u y  v x  2 )  F7 ,J ttJ tt225 xx c62 yy )  2c32 (w y   )  F8 ,226 c52 yy )  2c32 (wx   )  F9 .xx(10)В уравнениях (10) введены следующие обозначения: c1 , c 2 , c3 –скорости распространения соответственно продольной, поперечной иизгибной волн, c 4 , c5 , c 6 – скорости волн микровращений, s – коэффициентлинейной связи между продольными и сдвиговыми волнами,  – параметрдисперсии, Fi (i=1…9) – функции нелинейностей. В предельном случае,когда w      0 , система (10) вырождается в ранее выведенные уравнениядинамики квадратной решетки из круглых частиц (1), которые, в своюочередь, совпадают с уравнениями двумерного континуума Коссера,состоящего из центрально-симметричных частицКоэффициенты линейных частей уравнений (10) выражаются черезсиловые постоянные K0, K1, K2, K3 (аналогичные тем, что были впрямоугольной решетке из анизотропных частиц, рассмотренной в главе 3),период решетки a и размер частицы b  d / 2 3 следующим образом:c12K0K 2 K34(a  b) 2 K14(a  b) 2,aa( a  b) 2  b 2 a(a  b) 2  2b 2 ac 22 4b 2K 2 K3,22 aa(a  b)  2bK14b 2( a  b) 2  b 2 a(a  b) 2  2b 2K1( a  b) 2a2c 42 ( a  b) 2  b 2 a(a  b) 2  2b 2c32c524b 2b2K1,( a  b) 2  b 2 ac622K 3s ,a2a2( a  b) 2  b 2 K1 K2,aK2,a(11)a2(a  b) 2  2b 2K2 ,4b 2K2,(a  b) 2  2b 2 aгде   M / a 3 – плотность среды.Благодаря наличию зависимости (11) можно получить следующиесоотношения между макропараметрами среды:22s2 c 22 ,2c52c 42(a  b) 2 с32  (b 2  2ab) 4b 2с32  ,4c62,(12)a 2  с32 . 2b  4 Следует отметить, что первое из равенств (12) также справедливо дляквадратной и гексагональной решеток из плоских круглых частиц (см.

главы2 и 3).При вырождении линейных частей уравнений (10) в уравнениядинамики квадратной решетки из круглых частиц совпадают дажезависимости коэффициентов от параметров микроструктуры, если приниматьво внимание, что в случае сферических частиц пружин вида K1 и K2 сталовдвое больше.С помощью (11) и первого соотношения (12) можно получитьследующие выражения параметров межчастичного взаимодействия черезмакропараметры среды:K 3 s 2K2  2 s2 a, (c 2  )((  1) 2  2),a2a42 bK1  2s2 a (c3  c 22  )((  1) 2  1),a42 b2 2 s2  aK0 2   c1    1 c3 .a2b(13)Таким образом, если экспериментально определить скорости упругихволн с1 , c 2 , c3 (в трехмерной среде с кубической симметрией с3  с 2 ) изначение параметра s, то по известной плотности среды  и относительномуразмеру частиц b/a несложно вычислить значения параметров межчастичноговзаимодействия, которые затем можно использовать для оценки значенийскоростей ротационных волн и коэффициентов нелинейностей.

Подробноерешение подобного рода задачи параметрической идентификации дляквадратной и гексагональной решеток из плоских круглых частиц, а такжепрямоугольной решетки из эллипсовидных частиц приведено в главе 4.Глава 6 посвящена исследованию влияния микроструктуры среды наособенности распространения в ней нелинейных волн. В ней показано, чтонелинейная двухмодовая система методом многих масштабов приводится кэволюционномууравнениюКадомцева-Петвиашвилиотносительносдвиговой деформации, которое имеет решение в виде плоского солитона.Благодаря использованному в работе методу структурного моделированияпоказано, что в кристаллической среде с параметрами как у NaBr илифуллерита С60 (см.

табл. 1), плоский солитон неустойчив относительно23двумерных возмущений, в кристалле NaF солитон имеет положительнуюполярность, а в кристалле LiF – отрицательную полярность.В рамках нелинейной двухмодовой системы, полученной в главе 5,согласно критерию Лайтхилла найдены области модуляционнойнеустойчивости (самомодуляции) сдвиговой волны деформации при условииналичия в материале статической продольной деформации. В различныхдиапазонах длин волн определены зависимости высоты и ширины волновогопакета, сформировавшегося в результате самомодуляции квазигармоническойволны, от параметров микроструктуры материала.Проведено численное исследование встречного и попутноговзаимодействий сильно нелинейных солитоноподобных дозвуковых исверхзвуковых волн в одномерной зернистой среде с внутренниминапряжениями, моделируемой не интегрируемой методом обратной задачирассеяния системой нелинейных уравнений в частных производных:utt  c12u xxwtt  с~22 wxx 1  31u x2   wx2,2x(14)2 u x wx R 2    2 wx2  wx ,c 234 x  txx 2 2 'где с~22  c22  1  0 K 0 ,  '0 - предварительная деформация центральных2 2 Mпружин, моделирующая внутренние напряжения в среде, 1 и  коэффициенты нелинейностей.Система (14) сводится к имеющему солитонные решения уравнению:2 ~2 ~~~~ ~~  0 .~~(15)wt t  1  w~x w~x ~x  2 w~t ~t  с 2 wxx~x~  w/ w ,Здесь введены безразмерные перемещение, координата и время: w0~222222222~x  x / X , t  t / T , причем X  Т  R / 4 , w  R c  / 6 , а с  c /  ,0132с где  может принимать одно из двух значений:   с~22 ,  ( 2)  с~22  1 .31Поскольку при отсутствии внутренних напряжений в среде   2 и с~ 2  0 ,2(1)122то в этом случае уравнение (15) солитонных решений не имеет.Взависимостиотзначенийпараметровмикроструктурырассматриваемая система может обладать как жесткой (знак “+” в уравнении(15)), так и мягкой (знак “–”) нелинейностью.В системе с мягкой нелинейностью могут существовать дозвуковыесолитоноподобные волны, которые устойчиво распространяются начиная снекоторой скорости.

Дозвуковые солитоны взаимодействуют неупруго, приэтом наблюдается их взаимное ускорение, т.е. отрицательный сдвиг фазы.В системе с жесткой нелинейностью реализуются сверхзвуковыесолитоноподобные волны, которые также неупруго взаимодействуют, однако24сценарий взаимодействия зависит от относительной скорости столкновения.При малой скорости столкновения происходит обменное взаимодействие.При попутном столкновении со сверхзвуковой скоростью могут образоватьсяодин или два пакета квазигармонических волн, распространяющихся впротивоположные стороны.

Если скорость столкновения превосходит внесколько раз скорость звука, то и при встречном, и при попутномвзаимодействиях наблюдается расщепление солитона на ряд вторичныхсолитонов с образованием пакетов квазигармонических волн.Рис. 8. Расщепление разнополярных солитонов при встречном взаимодействииНа рисунке 8 показано образование двух вторичных солитонов и,естественно, нестационарного волнового процесса.

Относительно начальнойамплитуды A0 амплитуды вторичных солитонов распределяются следующимобразом: A1  0,96 A0 , A2  0,27 A0 (относительная точность измерениясоставляет 1,2%), причем такое распределение амплитуд вторичныхсолитонов не зависит от значения параметра c 2 в диапазоне 1  c 2  5 и ототносительной скорости взаимодействия в диапазоне 5  vc  16 .ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ1.Развитытеоретическиеосновыметодаструктурногомоделирования, с помощью которого построена иерархия математическихмоделей обобщенных континуумов для различных периодическихструктур, частот и длин волн.2.

Получены линейные уравнения динамики для прямоугольной,квадратной и гексагональной решеток. Эти уравнения идентичны междусобой и аналогичны хорошо известным уравнениям динамики двумерногоконтинуума Коссера, состоящего из центрально-симметричных частиц.Отличия между всеми этими уравнениями наблюдаются только в25коэффициентах, зависящих от формы и размеров частиц, параметров ихвзаимодействия и структуры решетки.3. Найдена взаимосвязь в аналитическом виде междумакропараметрами рассмотренных сред и параметрами их микроструктуры.Показано, как именно размер и форма частиц, а также параметрымежчастичных взаимодействий влияют на скорости распространения всреде упругих и ротационных волн. Продемонстрирована возможностьвычисления параметров микроструктуры среды и эффективных модулеймакроупругостипоизмерениямскоростейупругихволн,распространяющихся в различных кристаллографических направлениях.4.

Анализ дисперсионных свойств сред с плотной и неплотнойупаковками частиц показал, что если в длинноволновом (континуальном)приближении гексагональная решетка изотропна по акустическимсвойствам, то квадратная решетка из круглых частиц анизотропна. Приэтом продольная мода не имеет дисперсии, в то время как ротационнаямода обладает дисперсией Клейн-Гордоновского типа и имеет критическуючастоту, ниже которой она является нераспространяющейся.

Характеристики

Список файлов диссертации