Автореферат (786022), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В случае, когда  i  1 хотя бы приодном i, то уравнения (3) становятся неинвариантными относительноповорота кристаллической решетки на 90 и потому являютсяматематической моделью сильно анизотропной среды. Если же всепараметры анизотропии  i равны 1, то полученная система (2) с точностьюдо коэффициентов совпадает с ранее выведенными уравнениями (1) длягексагональной решетки из круглых частиц.Найдены в аналитическом виде зависимости скоростей упругих волн ипараметра дисперсии от размеров частиц и параметров взаимодействиймежду ними:c12a2Mc 22c3222(a  h1 ) 2 K 0  2 K1  2(a  h1 )KK23 ,2222(a  h1 )  h2(a  h1 )  (b  h2 )2a 2Mh22(b  h2 ) 2,KK (a  h ) 2  h 2 2 (a  h ) 2  (b  h ) 2 3 1212 2a 2 h22(ah2  bh1 ) 2hKKK23 ,2  2 122222MR (a  h1 )  h2(a  h1 )  (b  h2 )a2(a  h1 )(b  h2 )4a 2s K3 ,M (a  h1 ) 2  (b  h2 ) 2214(4)2a 21 M12 M2h(b  h2 )(ah2  bh1 )2KK (a  h ) 2  h 2 2 a((a  h ) 2  (b  h ) 2 ) 3  ,1212a 2 h22b 2 h12(ah2  bh1 ) 2()KK (a  h ) 2  h 2 (b  h ) 2  h 2 2 (a  h ) 2  (b  h ) 2 3  .122112При условии подобия формы частиц форме решетки d 2 / d1  b / a из (4)следует соотношение 1  с22  fs2 / 2 , где f  b / a  h2 / h1 - параметр формычастиц.

Если частицы являются круглыми, то 1   2   и, как и длягексагональнойрешетки,  с22  s 2 / 2 .Проанализировановлияниепараметра формы частиц f и их размера p  d1 / a  h1 2 / a  h2 2 / b  d 2 / bна скорости распространения волн различных типов. Показано, что скоростьпродольной волны всегда превышает скорость поперечной волны, которая, всвою очередь может быть как больше, так и меньше скорости ротационныхволн.

В цепочке из анизотропных частиц скорость продольной волны сростом параметра формы монотонно уменьшается, а скорость поперечной –монотонно увеличивается, причем обе они стремятся к некоторымпредельным значениям, зависящим от величины силовых констант K1 и K2.Скорость ротационной волны имеет локальный максимум при некоторомзначении f, зависящем от размера частиц и параметров силовыхвзаимодействий. С ростом размера частиц точка этого максимума сдвигаетсявлево. При малых значениях размера частиц изменения скоростей волнпроисходят более плавно, чем при больших значениях р. Размер зерна неоказывает существенного влияния на величины скоростей волн при малыхвеличинах моментных взаимодействий (K2<<K0).Проанализированы дисперсионные свойства рассматриваемой средыпри различных значениях параметров формы решётки.

Выявлено, что дляквадратной решетки с круглыми частицами в области частот 0    2.42 и3.09    3.22 (   M / K 0 - безразмерная частота) в системе имеется двеволновые моды (продольная и поперечная – в области низких частот,продольная и ротационная – в области высоких частот), а при 2.42    3.09в системе присутствуют все три волновые моды. В случае прямоугольнойрешетки из анизотропных частиц меняется лишь длина трех вышеуказанныхинтервалов.Ротационная мода имеет две критических частоты: наибольшую  ( ) инаименьшую  (0) , причем для эллипсовидных частиц с параметром формыb / a  1,5 у ротационной моды появляется локальный минимум.

Привырождении решётки в квадратную с круглыми частицами продольная модаостаётся изотропной до   1,5 а ротационная мода до   2,8 . Впроизвольном случае даже в области низких частот все моды являютсяанизотропными.15Дисперсионныекривыедлинноволнового(континуального)приближения, представлены в нормированном виде в системе координат( k / k0 ,  / 0 ), где волновое число k0  0 / c2 , на рисунке 4.Рис. 4. Дисперсионные кривые для квадратной решетки.Здесь введены обозначения: L – продольная, T – поперечная, R –ротационная моды. В левой полуплоскости изображены дисперсионныезависимости для волн, распространяющихся вдоль оси х (   0 ), а в правойполуплоскости – для волн, бегущих под углом    / 6 к оси х. Из рисунка 4видно, что при распространении волн под углом    / 6 более ярковыражена дисперсия поперечной моды.

Таким образом, если вдлинноволновом (континуальном) приближении гексагональная решеткаизотропна по акустическим свойствам, то квадратная решетка из круглыхчастиц анизотропна.Рис. 5. Экспериментально измеренные зависимости дисперсионных кривыхмагнонов и фононов в ферромагнетике FeF2.ТА - поперечный, LA - продольные акустические фононы, М - магноны.16Дисперсионные кривые, изображенные на рисунке 4, качественносовпадают с зависимостями энергии магнонов и фононов в ферромагнетикеFeF2 от величины волнового вектора при температуре 4,2К (рис. 5), которыебыли получены экспериментально методом неупругого рассеяния нейтронов(см.

Неупругое рассеяние нейтронов // Физический энциклопедическийсловарь. М., Сов. энциклопедия. 1983). Этот факт не является неожиданным,если учесть, что в ферромагнетике изменение углового момента системымикрочастиц приводит к изменению магнитного момента этой системы(эффект Эйнштейна - де Гааза), и наоборот, при изменении магнитногомомента меняется механический угловой момент системы (эффект Барнетта).Полученные в данном разделе результаты можно применить приконструировании искусственных периодических структур (в частности,фононных кристаллов) с заранее определенными дисперсионнымисвойствами, а именно по требуемым наибольшему и наименьшему значениямчастоты ротационной моды, благодаря полученным в диссертационнойработе соотношениям, можно найти значения параметров микроструктурысреды.В главе 4 рассмотрено низкочастотное приближение полученных вглавах 2 и 3 динамических уравнений зернистых сред.

В этом случае можнопренебречь вращательными степенями свободы частиц и исходные уравнениядинамики вырождаются в уравнения градиентной теории упругости:u tt  c12 u xx  (c 22 2)u yy  ( s 2 2) w xy R2   22 2 u y  w x  c 3  u y  w x ,4 y  twtt  (c 22 2) w xx  c12 w yy  ( s 2 2(5))u xy R2   22uwcuwyx3yx .4 x  t 2При этом “память” о структуре остается в виде зависимостей междуэффективными макроскопическими характеристиками среды и параметрамимикромодели.Путем сопоставления уравнений (5), описывающих распространение ивзаимодействие продольных и поперечных волн в зернистой среде внизкочастотном приближении, с уравнениями классической теорииупругости, произведена параметрическая идентификация разработанных вглавах 2 и 3 моделей.

В частности, показано, что силовые константы моделивыражаются через константы упругости 2-го порядка следующим образом:K2 2 1 p  p2a9 p2172C11  3C12 ,(6а)K12 2 2( p  1)C3C(C3C) 11121112  a 9(  2) p2для гексагональной решетки, и  2 2 K2 C 44  C12 1   1  ,ap  2 2  K11 C11  C12  2C 44  C12   p  1  a 2 K3 C12 ,a(6b)для квадратной решетки из круглых частиц. Здесь   K 0 / K1 – отношениемежду центральными и нецентральными силами взаимодействия, p=d/a –относительный размер частицы.Выражение для оценки скорости и критической частоты волнымикровращений в среде с гексагональной симметрией можно получить из (6a)и (2):c3 14p  2  C11  3C12 ,(C3C)11122V (  2) 2p(7a) 0 d  4 C11  3C12 / V ,(8a)а в среде с кубической симметрией – из (6b) и (4):c3   4p 2  22CС2CCC 1112444412  , (7b)V (  2) p2 0 d  4 2 C 44  C12 / V .(8b)Здесь “объемная” плотность равна V   6 2a для среды с гексагональнойсимметрией и V  M / a 3 для среды с кубической симметрией.Количественные оценки скорости и критической частоты волнымикровращений в кристаллах с гексагональной и кубической симметрией,найденные по формулам (7) и (8), приведены в таблице 1.Выявлена зависимость констант континуума Коссера и коэффициентаПуассона от параметров микроструктуры.

Приведены теоретические оценкиэтих констант для некоторых гипотетических материалов с параметрами, каку кристаллов с гексагональной и кубической симметрией (см. табл. 1).Показано, что при определенных значениях параметров микроструктурыкоэффициент Пуассона может быть отрицательным, что соответствуетауксетичным материалам.18Таблица 1.Параметры структуры для кристалловс гексагональной и кубической симметриейКристаллыПараметрыструктурыКубическиеBeCdZnLiFNaFC60V181686427140260028001720Константыупругости(ГПа)C11292.3114.5161.1113.097.0014.9C1226.739.534.248.0025.606.9C44---63.0028.008.1c11268736404750659358902943c21147020273603547732952325c39317140428233164226220360 d43239272111450 135875237478126.7Коэффици132.8енты упругости в тео-  / R 2 157.7рии Коссера(ГПа)212.239.534.248.0025.606.937.563.563.0028.008.117.056.926.0414.337.1-4.058.530.004.82.4Параметрысиловыхвзаимодействий междучастицами(ГПа)Экспериментальные данныеданныеПлотность(кг/м3)Скоростиволн (м/с)Вычисленные характеристикигексагональныеКритическаячастотаротационныхволн0 d(м/с).K0/a83.8161.2865.2846.0158.196.01K1/a8.3816.1286.5284.6015.8190.601K2/a74.92 -1.412 20.6519.893.1831.59248.0025.606.90K3/a---Проведенные в данной главе исследования позволяют не толькополучить представление о качественном влиянии локальной структуры наэффективные модули упругости, но и проводить количественные оценки ихвеличин.

Результаты этих исследований могут найти применение дляразвития методов волновой диагностики гранулированных сред, композитных19материалов, нанокристаллических сред и иных сред с микроструктурой, атакже для целенаправленного проектирования материалов с заданнымифизико-механическими свойствами.В главе 5 методом структурного моделирования получены тринелинейных математических модели для двумерных сред, состоящих изплоских круглых частиц с 3 степенями свободы, из нанотрубок (стержней) с 5степенями свободы (рис.

6) и из шарообразных частиц с 6 степенями свободы(рис. 7). Выявлена взаимосвязь между макропараметрами таких среды ипараметрами их микроструктуры.В первой части главы уравнения низкочастотного приближения (5)обобщены на нелинейный случай и на их основе проведены теоретическиеоценки коэффициентов нелинейностей для ряда материалов с кубическойсимметрией.Рис. 6. Квадратная решетка из стержней (нанотрубок).Во второй модели (см. уравнения (9)) показано, что в линейномприближении продольные (u) и поперечные (v) волны не зависят отостальных мод колебаний, а из всех трансляционных и ротационных модзависимы лишь изгибная w и ротационная  (угол  отсчитывается от оси z вплоскости (x, z), а  характеризует поворот в плоскости (x, y) от оси у).u tt  c12 u xx  c 22 u yy  s 2 v xy 1 F1 1 F2,2 x 2 yvtt  c 22 v xx  c12 v yy  s 2 u xy 1 F3 1 F4,2 x 2 ywtt  c32 ( w xx  w yy )   y 1 F5 1 F6,2 x 2 y20(9)l21 2l2 2( tt   t sin 2 )  (cx xx  c2y yy )   (  w y )  F7 ,1222l2( tt sin 2    t  t sin 2 )   6 w x .6Уравнение для  имеет неволновой вид.

Характеристики

Список файлов диссертации