Автореферат (786022), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Нижний Новгород, 2012, 2013 гг.), научном семинаре “Математическоемоделирование динамики систем и процессов управления ” (г. НижнийНовгород, 2013 г.).Личный вклад автора. Представленные в работе научные результатыполучены лично автором либо при его непосредственном участии. В работахс соавторами автор участвовал в постановке задач, в аналитических ичисленных расчетах по теме диссертационной работы и обсуждениирезультатов.

Во всех случаях использования результатов другихисследований в работе приведены ссылки на источники информации.Публикации. По теме диссертации опубликовано 63 работы, в томчисле 26 научных статей в изданиях, рекомендуемых ВАК Минобрнауки РФдля опубликования результатов докторских диссертаций, а также по 1 главе в2 коллективных монографиях. Некоторые результаты диссертационнойработы вошли в цикл работ на тему “Исследование процессовраспространения и взаимодействия упругих волн в твердых телах со сложнойструктурой”, за который автор в 2001 году был награжден медальюРоссийской академии наук с премией для молодых ученых (конкурс 2000 г.).Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения,шести глав, заключения, списка литературы и приложения. Объемдиссертации составляет 221 страницу, включая 51 рисунок, 7 таблиц и списоклитературы из 268 наименований.КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо Введении обосновывается актуальность темы диссертации,сформулированы цель и основные положения, выносимые на защиту, научнаяновизна, практическая значимость полученных результатов и ихдостоверность, а также приведена апробация работы.В Главе 1 содержится обзор литературы по исследуемой тематике,анализируются методы описания сплошной среды на различных масштабныхуровнях, формулируются принципы структурного моделирования, цели изадачи исследования. Обосновывается возможность применения законовклассической механики для теоретического описания сред с микро- инаноструктурой.Оговариваютсяграницыприменимостимоделей,9разрабатываемых в последующих главах диссертации.

В частности,подчеркивается, что частицы среды считаются недеформируемыми иоднородными, не обладающими собственной внутренней структурой,присутствующей в реальных материалах. Кроме того, в данной работе нерассматриваются диссипация волн и эффекты отражения волн от границысреды, т.к. все моделируемые среды здесь считаются безграничными.В Главе 2 рассмотрена двумерная гексагональная решетка (среда сплотной упаковкой частиц), состоящая из однородных круглых частиц массыM и диаметра d. (В качестве синонимов слову “частицы” здесь и далее во всейработе используются термины “зерна” и “гранулы”.

Однако эти термины ненесут за собой такую смысловую нагрузку, как это принято вматериаловедении.) В исходном состоянии они расположены в узлахрешетки, и расстояние между центрами масс соседних гранул равно a (Рис.1а). При движении в плоскости каждая частица имеет три степени свободы:смещение центра масс частицы с номером N  N i, j  по осям x и y(трансляционные степени свободы u i , j и wi , j ) и поворот относительно центрамасс (ротационная степень свободы  i, j ) (Рис. 1б).

Учитываетсявзаимодействие частицы с шестью ближайшими соседями по решетке,центры масс которых лежат в вершинах правильного шестиугольника,вписанного в окружность радиуса а (первая координационная сфера) (Рис.1а,б).(а)(б)Рис. 1. Гексагональная решетка из круглых частиц (а)и схема силовых взаимодействий (б).Взаимодействия между частицами моделируются упругими пружинамитрех типов: центральными (соответствующая пружина на рис.

2.1бобозначена цифрой 1 и имеет жесткость K 0 ), нецентральными (2 и 3 сжесткостью K1) и “диагональными” (4 и 5 с жесткостью K2). Взаимодействияпри растяжении-сжатии материала моделируются центральными и10нецентральными пружинами (Рис. 1б). Через пружины типа K1 передаютсятакже моменты при поворотах частиц.

Пружины с жесткостью K2характеризуют силовые взаимодействия частиц при сдвиговых деформацияхв материале. Точки соединения пружин K1 и K2 совпадают с вершинамиправильного шестиугольника, вписанного в частицу.Получены дифференциально-разностные уравнения, описывающиединамику гексагональной решетки из круглых частиц с квадратичнымпотенциалом взаимодействия между ними. Такие уравнения можноиспользовать для численного моделирования отклика системы на внешниединамические воздействия в широком спектре частот, вплоть до критическихзначений.В длинноволновом приближении, когда характерная длинаакустической волны много больше периода решетки, получена системалинейных уравнений в частных производных, описывающих распространениепродольных, поперечных и ротационных волн в такой среде:u tt  c12 u xx  c 22 u yy  s 2 wxy   y ,wtt  c 22 wxx  c12 w yy  s 2 u xy   x , tt  c32 ( xx   yy )   02 (1)(u y  w x ) .R2Здесь с1, с2, с3 – скорости распространения соответственно продольной,сдвиговой волн и волны микровращений (ротационной волны), s –коэффициент линейной связи между продольными и сдвиговымидеформациями в материале,  – параметр дисперсии, R – радиус инерциичастицы,  0 – критическая частота ротационной волны, ниже которой онаявляется нераспространяющейся.Квадраты скоростей волн, входящие в уравнения (1), выражаются черезплотность, силовые постоянные K0, K1, K2, K3, расстояние между частицами аи их диаметр d:с123 3 d2K2K(2)K012 ,4  a 2  ad  d 2с 223 3d 2K2K(2)K012 ,4  a 2  ad  d 2с323 3 a22KK12 ,224 a  ad  d3d 2 32  (a  ad  d )2211K2,s 2  c12  c22 .(2)Здесь   2M a 2 3 – поверхностная плотность двумерной среды сгексагональной симметрией.

Критическая частота  0 зависит от параметра и от радиуса инерции частиц R  d8 : 0  2  / R 2  4  / d 2 , апараметры c2,  и s связаны соотношением:   с22  s 2 / 2 , причем в силу1последнего равенства (2)   3с 22  с12 .2Система (1) описывает динамику зернистой (кристаллической) среды сучетом локальных взаимодействий гранул и совпадает с уравнениямидинамики двумерного континуума Коссера, состоящего из центральносимметричных частиц. От уравнений классической теории упругости этасистема отличается появлением дополнительного уравнения для волнымикровращений (ротационной волны). Это уравнение, в отличие от первыхдвух, имеет однородное в пространстве решение, осциллирующее с частотой 0 .

При континуальном подходе подобное уравнение возникает какследствие закона сохранения момента количества движения, когда вводятся врассмотрение внутренние моменты частиц среды.Проанализированы дисперсионные свойства рассматриваемой среды.При анализе каждому нормальному колебанию решетки, как принято вфизике твердого тела, поставлен в соответствие определенный типквазичастицы – фонона. В данном случае в системе имеются акустическиепродольный и поперечный фононы, а также оптический ротационный фонон.Проведенный анализ продемонстрировал, что в коротковолновом(дискретном) приближении гексагональная решетка с круглыми частицамианизотропна по акустическим свойствам, причем поперечные волныстановятся анизотропными при меньших частотах, чем продольные.Наибольшее значение частоты продольных фононов достигается на границепервой зоны Бриллюэна. В этой точке групповая скорость обращается в нольи поэтому сигнал с такой частотой распространяться по кристаллическойструктуре не может.

Подобное ограничение может быть снято только длянелинейных возмущений, когда учитываются ангармонические слагаемые вдифференциально-разностных уравнениях движения. Ротационная модаимеет две критических частоты: максимальную и минимальную. Значенияэтих частот определяются параметрами микроструктуры материала.Следовательно, изменяя параметры микроструктуры, можно управлятьдисперсионными свойствами фононного кристалла.Дисперсионные свойства рассматриваемой модели в континуальномприближении не зависят от направления распространения волны, т.е.рассматриваемая кристаллическая структура в длинноволновом приближенииявляется изотропной.

Ротационная волна обладает дисперсией волноводного(Клейн-Гордоновского) типа и поэтому c3представляет собойасимптотическое значение фазовой и групповой скоростей волны прибольших значениях частоты. Анализ коэффициента распределения12поперечных и ротационных колебаний в нормальных модах показал, чтопоперечная и ротационная волны сохраняют свою индивидуальность лишьвдали от точки синхронизма. В ее окрестности их нельзя разделить инеобходимо рассматривать как связанное состояние.В главе 3 рассматривается двумерная прямоугольная решетка,состоящая из однородных зерен (гранул) массы M, имеющих форму эллипса сосями длины d1 и d2. Пространство между частицами представляет собойбезмассовую упругую среду, через которую передаются силовые имоментные воздействия.

В исходном состоянии расстояние между центрамимасс соседних гранул вдоль оси x равно a, а вдоль оси y равняется b (Рис. 2).При движении в плоскости каждая частица имеет три степени свободы:смещение центра масс частицы с номером N=N(i, j) по осям x и y(трансляционные степени свободы u i , j и wi , j ) и поворот относительно центрамасс (ротационная степень свободы  i, j ).

Считается, что частица Nвзаимодействует лишь с восемью ближайшими соседями по решетке (первыечетыре из них принадлежат первой координационной сфере, а другие четыре,центры масс которых удалены от центра масс частицы N на расстояниеa 2  b 2 , расположены на второй координационной сфере). Центральные инецентральные взаимодействия соседних гранул моделируются упругимипружинами четырех типов. Пружины первых трех типов (с жесткостями K0,K1 и K2) присутствовали и в модели среды с плотной упаковкой частиц (см.главу 2), а пружины четвертого типа – с жесткостью K3 – моделируютвзаимодействие с зёрнами второй координационной сферы (Рис.

3). Точкисоединения пружин с частицами лежат в вершинах прямоугольниканаибольшей площади, вписанного в эллипс. Каждый такой прямоугольникимеет размер h1  h2 , где h1  d1 / 2 , h2  d 2 / 2 .Рис. 2. Прямоугольная решеткаиз частиц эллипсовидной формы.Рис. 3. Схема силовых взаимодействий междуанизотропными частицами и их кинематика.13Выведены дифференциально-разностные уравнения, описывающиединамику прямоугольной решетки из эллипсовидных частиц с квадратичнымпотенциалом взаимодействия между ними.В длинноволновом приближении получена система линейныхуравнений в частных производных, описывающих распространениепродольных, поперечных и ротационных волн в такой среде.1 4 2s w xy   5 1 y ,21 4 2wtt  c 22 w xx   1c12 w yy s u xy  1 x ,2R 2 tt  R 2 c32 ( xx   3 yy )  1 ( 5 u y  wx )  2 2 .u tt  c12 u xx   2 c 22 u yy (3)Здесь с1, с2, с3 – скорости распространения соответственно продольной,сдвиговой волн и волны микровращений, s – коэффициент линейной связимежду продольными и сдвиговыми деформациями в материале, 1 и  2 –параметры дисперсии, R  d12  d 22 / 4 – радиус инерции частицы,  i( i  1  5 ) – поправочные коэффициенты, возникающие вследствиеанизотропии рассматриваемой среды.

Характеристики

Список файлов диссертации