principy_nelinejnoj_optiki_1989 (769482), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Общее решение (6Л) с граничными условиями крайне сложно. К счастью, в реальных ситуациях для упрощения решения всегда можно найти разумные приближения. Для иллюстрации рассмотрим простой случай, когда сделаны следующие предположения: $) все волны являются бесконечными плоскими волнами; 2) можно пренебречь истощением волн накачки; 3) нелинейная среда является полубесконечной с плоской границей раздела; 4) нелинейная 79 +[г,. Последнее равенство означает, что излучение на суммарной частоте наиболее эффективно генерируется в так называемом направлении синхронизма, определяемом из условия из [гз+и, [2). Если длина взаимодействия волн з конечна, то достаточно потребовать выполнения условия сохранения импульса с неопределенностью порядка Ы.
Поле излучения, таким образом, будет иметь ограниченный по амплитуде пик в направлении синхронизма с угловой ши- ~везЬ1 риной, соответствующей зззз- Ы. Наличие поглощения в среде может ограничить длину взаимодействия и уши- звз "з> рить пик фазового сипхронизма. В об рис, зд. схема процесса гены щем случае генерация суммарной ча- рации суммарной частоты стоты в объеме среды (в условиях, когда этот процесс разрешен и выполнено условие фазового синхронизма) доминирует над вкладом поверхности. В отраженной же волне, вследствие отсутствия фазового синхронизма, заметным может оказаться вклад поверхностного слоя толщиной порядка М2я. Описанный выше подход позволяет представить качественную картину генерации суммарной частоты.
Эту картину нужно теперь подкрепить строгим расчетом на языке формул. среда обладает кубичной симметрией, либо пучки распространяются вдоль оси симметрии. Эти требования, конечно, не существенны и в определенных обстоятельствах могут быть ослаблены, как будет видно иэ дальнейшего изложения. Сделанные предположения сильно упрощают решение. Пренебрежение истощением волн накачки означает, что в уравнениях для полей Е(в,) и Е(ав,) можно опустить члены с нелинейной поляризацией, описывающей взаимодействие и энергообмен между волнами. Таким образом, волны накачки распространяются в нелинейной среде линейно, а изменение полей Е(ав,) и Е(ва) описывается линейными волновыми уравнениями. В приближении бесконечных плоских волн в нелинейной среде имеем Е (ав,) Ж„ехр Щи, г — авФП, Еа(ава) = 8'а ехр (в(йа* ° г — мат) ).
Нам остается решить уравнение для Е(в,) в (6Л) с нелинейной поляризацией Р (юа) = Ув ехр И Жаа'г — аввв)! где йв. йа+йа . Решение для поля Е(в,) в среде получается непосредственно. Оно состоит иэ общего решения однородного уравнения (свободная волна с волновым вектором каа) и частного решения неоднородного уравнения (вынужденная волна с волновым вектором я„): 1«вт' 4лев -~-<а> 4лУа~ 1 «ааа а -«о в а <а) 1 Ет(юв) = Ае + Ув, — — «~е е а, (ава "ат) И ( а) 3 (6.2) где амплитуда А однородного решения должна быть определена из граничных условий н, кроме того, мы учли, что Ета (ава)+ +4лРР( а) = э~(ава)Е в (ова).
Перейдем теперь к более полному описанию задачи, включив в рассмотрение граничные условия [4). Пусть з = О есть плоскость, отделяющая полубесконечную нелинейную среду, расположенную справа, от линейной среды, находящейся слева от нее. Все волны считаются распространяющимися в плоскости х — з и имеют волновые векторы, показанные на рис. 6.2. Для каждой частоты а« внутри линейной среды есть поле Е,(в,), описывающее волну, падающую на границу раздела слева, и поле отраженной волны Еа(ав,), распространяющейся влево, а внутри нелинейной среды есть поле прошедшей волны Е,(ав,), распространяющейся вправо.
Эти поля свяааны между собой граничными условиями. Следствием согласования компонент поля на границе раздела является равенство компонент волновых векторов, параллельных границе раздела, для каждой частоты е«Это условие приводит к снеллиусовскому 80 эакону отражения и преломления для волн накачки.
Для волны же суммарной частоты мы получаем йвв,в=йва,в-йвг,в-йвв,в. В ааписи через углы распространения, покааанные на рис. 6.2, это условие принимает вид йв| эшО|| = йваэ1п 8|а = йвг эш О|в = вовв э|и О|в = 7а,т эш 8|в+ йвт вш 8| й|| вш 8||+ йвв э1п Ов| (6.4) Соотношения (6.4) можно рассматривать как нелинейный каком Снеллиуса. Если волновые векторы падающих волн накачки иэвестны, то он позволяет определить направления распространения Рнс. б.2. Волновые векторы раалкчных волн прк генерации суммарной частоты а полубесконечной нелннейной среде, гранкца которой лежит прк в Э генерируемых при нелинейном смешении волн (4]. Для эавершепия решения мы должны найти амплитуды получающихся волн.
В (6.2) нелинейная поляриэация Уа~'~(гов) = 2<в>: во |тает Для каждой нелинейной среды величина 2'*' является эаданной величиной, а амплитуды во„и воет свяэаны с амплитудами падающих волн коэффициентами Френеля. В выражении (6.2) для Ег(огв) неиэвестен только коэффициент А. Для его нахождения рассмотрим падающую и отраженную волны с частотой го„обозначаемые соответственно Ев(ю,) и Еа(ов,).
В линейной среде Амплитуда падающей волны Ю„иэвестна, а амплитуда отраженной волны к|,а должна быть определена. Таким образом, есть два неиэвестных коэффициента, А и 8;а, которые должны быть определены иэ граничных условий. Ясно, что иа условия непрерывности компонент электрического и магнитного полей, параллельных границе раздела, вытекает достаточное число уравнений для нахож- 4 дания А и д'вл. Мы отложим решение до последующих раэделов, а сначала рассмотрим случай генерации суммарной частоты в объеме среды. б и. Р. Шва 8$ Простое решение для случая генерации суммарной частоты в объеме среды Мы будем здесь интересоваться только генерацией суммарной частоты в объеме нелинейной среды.
Этот процесс сопровождается ростом амплитуды Ит(юа) по мере распространения вдоль оси з иа рис. 6.2. Поскольку рост амплитуды поля суммарной частоты обычно неаначителен на расстояниях порядка длины волны, можно воспользоваться приближением медленно меняющихся амплитуд, описанным в разделе 3.3. Тогда, принимая во внимание, что -м Ит(юа) ~вт(з) ехр И(йвт г — мат)!а получаем из (6Л) д "Ф а2аеаа -«< > Йта. (а) ~вас а да Ь ва вт,а — [з а (юа) Мат ю + 4ЯУв у'е'ааа] = О, (6.6) где йй зйй )Вт+)гат — й,т (6.7),' — волновая расстройка. Решение (6.6) имеет вид -ь -ь 2лааа Вата (а) = Жатв (0) + — рава (аыав — $)а ' ~вт,а -ь Ф' 4яЩ Ю та (з) д' та (0) — — ~~ (ааааа — $).
а в аз(в) (6.8) В качестве дальнейшего приближения мы можем пренебречь влиянием нелинейной поляризации на отражение и преломление на границе раздела. Тогда амплитуда Кт(0) будет прямо связана с амплитудой падающей волны юат(0) коэффициентами Френеля. Интенсивность генерируемой волны суммарной частоты дается формулой 1в (з) 2 ! ~ат (аиа. с )Гв (а1в) (6.9) Р(в„з) =) ув(з р)ср= а ~! Жат(а р)~адр. (6ЛО) Соответствующая мощность излучения получится при интегрировании 1а по поперечному сечению пучка. На первый взгляд конечность поперечного сечения пучка находится в противоречии с приближением бесконечных плоских волн, однако, как хорошо известно, если сечение пучка достаточно велико, то справедливо лучевое приближение, а каждый луч можно считать бесконечной плоской волной.
Таким образом, если уа зависит от поперечной координаты р, то полная мощность волны на частоте е, равна С практической точки зрения важным является случай, когда на входе в среду волна»оа отсутствует, т. е. »йа»=0. В рассматриваемом приближении тогда и Юат(0) О. При !й,/»хй! ~ 1 имеем -е !Ю',та! ч. !8'ать! и выражение для интенсивности /„ согласно (6.8) и (6.9), принимает вид 2нва а г а»н (йойа»с» ~»а Как видно иа рис. 6.3, зависимость 1, от /ь/с,г имеет резкий максимум при выполнении условия фазового синхронизма»ьй, =О. Пиковое аначение равно 2неаа (»а(Л))шак = а Х а (ма) йат Х !Уз2~ ла, (6Л2) а полушярина между первыми нулями равна (йй)н»т (/ь/с)наг з = — йатг 2л.
йат (6.13) / лй Рнс. 6.3. Интенснвность волны суммарной частоты в фувнцнн фааовой расстройка йй вблнан ЬЬ т О Для типичных эначений з = 1 см, й,т- 10' см ' получаем (/ай) //сат 10 а, откуда следует, что пик синхронизма обычно довольно узок в единицах»!»й. Расчет генерации суммарной частоты для случая анизотропных сред требует небольшой модификации. Во-первых, поскольку поляризация Фа во втором иэ уравнений (6.1) обычно пренебрежимо и~»а> мала, Каа(ю»)/КтДо»») Гйа» есть постоиннаЯ, опРеДелЯемаЯ иа условия линейного распространения волн, где ໠— угол между Ет(»о») и Етх(ю»).
В приближении плоских волн н медленно меняюацихся амплитуд (6Л) принимает вид д»2лс»а а — Юат(л) = а а сат ма (6Л4) где е„есть единичный вектор вдоль Ю„. Решение (6Л4) будет таким: Й ат(а) = »о ат(0) + а сат'Уса~ (е»са' — 1). (6.15) йат »Ай»асов а В рамках сделанных нами предположений (6.15) находится в согласии с решением (6.8), полученным для ивотропной среды. ба 8З Учет отражения на границе раздела В более общей форме решение (6.2) и (6.5) для поля Кт(юе) кожно записать в виде Ет(юе) = Хат(г) е + Ф 4пюееУе~~~ Вета —— Ветл (О) + е ~~~ (еаза* — 1), с ("ее "ет) -м -+ 4яУ<-'> Жег~ = Вату (О) — —" (е'а"* — $), е~~ (м ) (6Л6) где -ь ,'У~г1 4яУД Юета (О) = А +,, ' '~~, Ю т~ (О) = — — ". с~(м) ' Мы сразу замечаем, что если использовать приближение йз йвт = (ьэ л + ьегл)аь 2йетлйй, (6Л7) то (6Л6) сводится к (6.8).
Записанное выше приближение очень хорошо работает, когда Ай мало или, что то же, когда можно пренебречь излучением в обратном направлении с Ай= й„. Как ука- Рис. 6.4. Схема, полаеывающая падающую и отраженную волны суммарной частоты в линейной среде и прошедшие волны суммарной частоты в нелвнейпой среде. Граница раздела между двумя средами лежит при г = О зывалось в разделе 3.3, последнее условие является также условием применимости приближения медленно меняющихся амплитуд. Однако при нахождении юет(0) более строгое решение должно учитывать влияние нелинейной поляризации на отражение волны суммарной частоты от границы раздела. Потребовав равенства тангенциальных компонент злектрического и магнитного полей на грай4 нице раздела а = 0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
