principy_nelinejnoj_optiki_1989 (769482), страница 12
Текст из файла (страница 12)
тура также сильно асимметрична. б2 2.8 Козффициент Миллера Миллер ввел коэффициент (26] <3< <о < д хпо (во = в<+ ео) (2.53) ~«ч= оп 69 он х«(в,) хя (в,) Хоо (е,) и эмпирически установил, что он обладает очень слабой дисперсией и почти постоянен для широкого набора кристаллов. Это свойство получило название правила Миллера. Из него следует, что материалы с большой величиной покааателя преломления должны обладать и большими нелинейными восприимчивостями. Слабая дисперсия Дж получается и в модели связанного заряда, и в модели переноса заряда.
Из (2.51) и (2.52) следует, что при е'- О Дш = постоянная, не аависящая от частот. Эта постоянная, однако, пропорциональна ширине гетерополярной запрещенной зоны С и не меняется или меняется весьма слабо от кристалла к кристаллу. Левин (т9) показал, что измеренное значение До„ действительно пропорционально величине С для большого числа полупроводников. Для кристалла с несколькими рааличными типами связи необходимо использовать взвешенное среднее значение С.
Числовые значения До, для большинства молекулярных кристаллов имеют порядок 10 ' СГС. 2.9 Обозначения нелинейных восприимчивостей Определение нелинейных восприимчивостей в литературе не однозначно, что выаывает немало путаницы. В этом разделе мы введем обозначения, которых будем придерживаться в ходе дальнейшего изложения. Определение нелинейных восприимчивостей вытекает из следующего соотношения между нелинейной поляриаацией Роо и электрическим полем Е« Р<"<(в)=Х<"<(в в<+<о<+...+в„):Е<(в<)Ез(во)...Е (е ), (254) где Е, и Роо записаны через комплексные амплитуды: Е« = 5'< ехр(<к< г — Ев«), Роо (в) = У< "< ехр(<к ° г — <вт), (2.55) причем в, и в предполагаются отличными от нуля. Многие авторы записывают амплитуды Е< и Роо в несколько ином виде: Е< = — Ю<ехр(<й» г — йо<т), Р<"<(в) = — У<юехр(<)г г — йог), (2.56) и вводят нелинейный коэффициент «<"<, связывающий амплитуды: З <"'= )'"'.
ЮУз...ж. (2.57) Р<п< =(2) и-<Ц<я) ° Е,Е Е (2.58) оЗ Сравнивая (2.54) и (2.58), получаем соотношение (((») (2) -«+»2(~) (2.59) В частности, й(1» = Х(1(»»(2. (в) (в) Равенство (2.59) требует уточнения, когда речь идет о посто- янных полях. При в» = О соответствующее постоянное поле Е, Ф Р должно выражаться через амплитуды Ю» и Ю( соотношением Е,= ~р = 2Ю(=Ю(. Если среди и полей имеется г постоянных полей, а именно поля Е„..., Е., то, используя для определения у'"' и (д(") соотношения (2.54) и (2.57), получаем (1 д~» » Р'")=2' ': Ед ...Е»~ — / М'»+д ..ЖпехР(1()г»+д+ +)(а) г— 1,(»») +~ — 1(а»+)+ ...
+ в„) 1) = ~ а: Е,... Е»К»+д... В'„Х Х ехР (1(дга+д + ° ° ° + )г»») 'г — д (а»ед + ... + в»») 1) (2 60) и, следовательно, ,д(а) (2)-и+»+~ ( ) (2.61)' Более строго равенство (2.54) должно быть записано в виде Р~" (а = в, + в, + ... + в„) = ~ 2(»д)(к.,(„(е = е, + »») (д. (а',(В + в, + ... + в ) К( (е,) К(,(е,) ...
К»„(е„). (2.62) Условимся, что член 21» ( „.(„(в =е)) +аз+... +аз) Ед (з),) К),(аз)... К(„(аа) можно записать с произвольным порядком полей, если индексы 2(") записаны в том же порядке, но в (2.62) не должно появляться новых вкладов в поляризацию Р(") при перестановке порядка по- лей. Согласно нашим условным обозначениям порядок полей всегда должен следовать порядку частот в аргументе 2("). Возникает воп- рос, что будет, если два или более полей, участвующих во взаимо- действии, имеют одинаковые частоты? В наших обозначениях пе- рестановка полей с одинаковыми частотами не должна давать дополнительных вкладов в Р(( .
'дак, в случае генерации второй »ъ(»») гармоники имеем Р( ) (2е) = )(( з), (2е = а + е) Кз (а) Е, (е) чь ФД,Кг (в) К, (а) + 2»(»з)„К, (в) Кг (в). (2.63) Однако в обозначениях, использующих козффициент И, все члены, полученные при перестановке полей с одинаковыми частотами, должны быть включены в выражение для нелинейной поляриза- ции. Например, д/зР~~~ (2в) = (© (2в) Кз (а) К, (е) + + (1(д)„(2в) К, (в) Кг (в) = 2(© (2в) К„(в) К, (в). (2.64) Сравнивая зту запись с выражением '/ар~хм (э)а = э)д + о)а) = оааа (О)а = а)1 + о)а) Ку (о)д) Ка (о)а)а (2-65) замечаем, что, поскольку нелинейный отклик среды не должен резко меняться при приближении значения частоты о), к з)„коэффициент 4ща(с)а = э)а+ э)а) должен плавно перейти в 24~~,(о)а = а) 2о)а).
То обстоятельство, что ~д~ца(а)а = э)а+ о),)]а -а = 24~~(2о))) при ~~Й, выавало немало путаницы. Похожая ситуация имеет место, когда частоты одного или нескольких полей приближаются к нулю, как уже говорилось выше. Наши обозначения обходят такие трудности: Хцэа(з)а — — э)а+ э)а) непрерывно переходит в дф(о) = 2з)д), когда о), (а) пРиближаетсЯ к о)„или в 2))а(з)д — — О+ а))),когда о)а пРиближаетсЯ ьт) ц нулю.
Непрерывный характер изменения Хпа при изменении ча(а) стот можно непосредственно заметить иэ микроскопического выражения для 2$(2Л7). Мейкер и Терхьюн [27] предложили прямо указывать число членов, которое можно получить перестановкой различных компонент поля в выражении для нелинейной поляризации. Это правило часто используется для нелинейностей третьего порядка. Например, записываем (с) = о)а + о)а + з)а) = аа) = Х 1))а)СЙи(з) = ма+ о)а+ юа) Е)(о)а) Еа (о)а) Е) (юа) (2.66) ),ад где За) — фактор вырождения для отдельных членов. Если Е)(з),)зьЕа(с)а)чьЕ,(о)а), то 1))к=б и указывает, что при перестановке трех полей можно получить шесть членов в выражении для Ра ) (ю). При Е,(с),) = Еа(о)а) ФЕ,(э)а) мы получаем Й)и 3, а при Е,(э),) Еа(о)а)=Е,(э),) фактор Х)ж — — ). Это условное обозначение также имеет то неудобство, что нелинейный коэффициент Са)а)(о) = о)) + о)а + э)а)меняется не непрерывно, когда частоты ста(в) новятся вырожденными.
Дальнейшее обсуждение нелинейных оптических восприимчивостей проводится в последующих главах в связи с анализом конкретных нелинейно-оптических процессов. Глава 8 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ Волны могут взаимодействовать через посредство нелинейной поляризации среды. Распространение волн при наличии взаимодействия приводит к различным нелинейным оптическим явлениям. Количественное описание нелинейных эффектов низшего порядка обычно начинается с системы связанных волновых уравнений, в которых нелинейные восприимчивости выступают в роли коэффициентов связи.
Это описание может быть обобщена на волны, отличные от электромагнитных. Данная глава посвящена общему анализу связанных электромагнитных волн в среде и решению связанных волновых уравнений в некоторых приближениях. Результаты этого анализа будут применены к анализу конкретных нелинейных оптических явлений в последующих главах. ЗЛ Связанные волны в нелинейной среде Волновое уравнение, которое описывает распространение световой волны в среде: с Т Х (Т Х) + з — с~ Е(г, С) = — — з —,Р (г, С), (3 1) де 1 4я д с дс ~ с дС вытекает непосредственно из уравнений Максвелла (1.5).
Взаимо- действие волн вызывает появление нелинейных компонент поля- ризации Р. Предположим, что Е(г, с) и Р(г, с) можно представить в виде системы бесконечных плоских волн Е (г, с) = Х Ес ()сь сос) = Х~Жсв Р'™г Р (г, С) = Рсп (г, С) + Р'" (г, с), Р'"(г, с) = ч.",РР'()сь свг) = ХХ'П(свг).Е, ()сь в,), Р""(г С) = ~Р'ю(г С) =,".,Р (й в,.)-,'ЯУ'"е е>з юв где амплитуды Ю, считаются не зависящими от времени. С учетом соотношения е(еь)=1+4я)('о(е~) уравнение (31) можно перепи- сать в виде (3.3) Предположим, что Р" (й„, а) Р»"»(к, в) — нелинейная поляризация, наведенная произведением полей Е,(йо в,)...Е„(й„, а ).
Тогда для и полей Е»(йь а,) должны существовать и соответствующих волновых уравнений, аналогичных (3.3). Вместе с (3.3) они образуют систему из (и+1) связанных волновых уравнений. Заметим,'что, в то время как в должно быть равно в в Р'"(й, в ) вследствие сохранения энергии фотона в стационарном случае, й„ не обязательно должно быть равно к, поскольку в конечной среде не требуется точного сохранения импульса.
Уравнение (3.3) ясно показывает, что различные волны Е»(й», в») нелинейно связаны через посредство нелинейной поляризации Р", и их распространение в среде вследствие этого будет весьма отличным от линейного случая, когда Р'" =О. Посредством нелинейной связи энергия может теперь передаваться от одной волны к другой и обратно, и чем больше Р'", тем сильнее будет проявляться этот эффект. Метод связанных волн впервые использовался для описания параметрического усиления в СВЧ диапазоне [1] и был позднее модифицирован Армстронгом с сотрудниками [2) для описания взаимодействия волн в нелинейной оптике.
Простейший случай взаимодействия световых волн реализуется при нелинейно-оптических эффектах второго порядка. Рассмотрим его для иллюстрации уравнений связанных волн. Пусть три волны Е(йь в»), Е(йь вз), Е(й, в в»+ вз) взаимодействуют в среде, обладающей нелинейной поляризацией второго порядка. Тогда связанные волновые уравнения (3.3) принимают вид с 7 Х (»р Х) — + е, ~ Е, (к„в,) = —, Р' (а,) = с 4аас <» = — Х (а, = — ас + в): Е, (йа а,) Е ()с, в), с с с = —,' Хоп (а, = в — в,): Е (Й, в) Е', ()г„в,), (3.4) | 'Р Х (7 Х) — —, е Е ()г, в) = — "," Р~с» (в) = с с Х' (в= а»+ в,) .: Е()сп а»)Е(й„ас).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
