principy_nelinejnoj_optiki_1989 (769482), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(Ь!во(а ) а>(а)вч(е ) !Е> / в вп — ъ х "-'" Ьо~ Х вЂ” в..+~Гвв~ ~Х е — .+~Г .)". рф(е)М(а ))в> ... (!зя(е„т) )в><л! (а + а + е — аьв+ гГьв) (а + в — в + ~Г ) >< 1 е ("в~ "в'" '~" )~, (2Л9) (вд — а +3Г )) которое является всего лишь одним членом полного выражения для р'"'(в в,+в,+..;+а ). В качестве более конкретного примера на рис. 2.2 приведена полная система диаграмм для р'е(а в, + а,), которая приводит к выражению (2.17) для восприимчивости )()та(в = ат + а ).
Во<т) в) Если поле также квавтовако, то оператор вв"„(ев), действуя ка квт-состояние, вызывает увкчтожвикв фотона аь тогда как действуя ка бра-состояние ок будет рождать фотон. 37 > <у <о ><Я! 1у> <у ~у >Рва<у е>т д о>~ )У>Р10 <У~ <ит ~у>Рж<у а I ~ > е><у~ ~у>Ре д е 'у>>агу т дуи<У Ч>Рту'<У' Рис. 2.2. Полный набор ив восьми днаграмм, соответствующих восьми слагаемым в выражении для р<о(м = ю, + мю трех полюсов (х, 2, о) на восьми основных диаграммах на рис.2.3. На основании этих диаграмм эатем можно ваписать полное выра- (в> жение для Хци следуя правилам.
Что будет, если в нескольких полюсах появятся одинаковые фотоны7 Диаграммы, полученные при перестановке этих полюсов, дадут одинаковые члены в выражении для р'"'. Их не следует отбрасывать, а нужно учесть с помощью фактора вырождения перед соответствующим членом в р'"'. Например, компоненте восприимчи- 38 семь диаграмм а — з соответствуют последовательно восьми членам в выражении (2.17).
Заметим, что выражение для уооь (<о = ю, + <о ) получается ив вычисления Зр(ры'Р,)/Е~(о>,)Е„(ю,). Фактически на рис. 2.2 есть только четыре основные диаграммы а, в, д, ис. Остальные можно получить путем перестановки полюсов о>, и вм В качестве второго примера на рис. 2.3 изображены восемь основных диаграмм для р'ю(<о ю, + ю,+ в,), которые приводят к выражению для восприимчивости хци (в = ют + <ов + ю„).
Всего должно быть 48 диаграмм, соответствующих 48 членам в выраже- (3> нии для ><1тйаь Остальные 40 диаграмм получаются при перестановке (е> вости д!!11(Зв = в + в + (о) соответствуют 48 диаграмм, из которых 40 дают одинаковые члены в выражении для восприимчивости 1 поэтому ХЯ(Зв= в+ в+ в) имеет только восемь членов, причем каждый из них имеет фактор вырождения, равный 6. Если можно !У> (д! !у>(у! в !п> (п! !у>(у! вп в! !у>ф д !у>(у! у !п><п! !п> !и> <п! Я г г 1 о>! !у><у! е !у у! е !у>< у <п! Ю г 1 о>п Ю в1+ в1+ вз) пренебречь постоянными затухания в знаменателях, то число раз- личных членов в выражении для восприимчивости уменьшается до четырех.
2.4 Коррекция т!"! эа счет локального поли Выражения для д!"1, приведенные в предыдущих разделах, справедливы только в разреженных средах. В этом случае д!"! =1та!"1, где Л! — число атомов или молекул в единице объема, а сс!"! — нелинейная поляризуемость и-го порядка. Однако в конденсированной среде важным становится диполь-дипольное взаимодействие, которое приводит к так называемой поправке на локальное поле.
В этом случае восприимчивости уое уже не просто пропорциональны а!"!. Обычный вывод поправки на локальное поле применим и изотропным или кубическим средам с локализованными связанными зэ !У><У! в ж Рис. 2.3. Восемь осиовиых диаграмм дии р!е!1в !и> <п! фв 1 Гоъ> ю2 !у> <у! в! электронами. Общей теории, применимой для сред с проиэвольной симметрией или сред со слабо связанными электронами, пока не существует. Локальное поле в локальной точке пространства есть сумма приложенного поля Е и поля ближайших диполей Е„„: Е„„=Е+Е„„. (2.20) В модели Лоренца поле Е„, пропорционально поляризации.
Для иэотропных или кубических сред ето напряженность дается формулой (7) Е„„= (4я/3) Р. (2.21) Поляриэацию можно эаписать либо череэ микроскопические поляриэуемости и локальные поля, либо череэ макроскопические восприимчивости и внешние приложенные поля: Рд (в) = )дд (аы) (Елол (в)Ь + ~4в(Елол (вд))1 (Елок (вз)) л + ° ° ° ) =Х(д)Е1 (в)+ ХВЕ) (в,) Е (в,)+. " (2.22) С учетом (2.20) и (2.21) первое иэ выражений (2.22) можно пере- писать в виде Если пренебречь вкладами Р' ' в Е, при и) 1 (что обычно является хорошим приближением, так как (Р'"'(„~д ч. )Р"'(), то локальное поле можно эаписать следующим обраэом: Е„„(в,) (1 — (4п/3)Уа'о(в<)) 'Е(вд).
(2.24) Тогда иэ (2.23) и (2.24) находим )(он(в) = ', )уаоп(в), 1 — (4пд3) дда(д) (в) (з) 1 Хил(в вд+ во) = 1 — (4лд'3) )та д) (а) („х )та(пол) (в) Х [1 — (4лдэ) )та(д)(ад)1 [1 — (4адэ) )та(д) (а ) ~ (2.25) и в общем случае )(( ) (в = вд + вл + ° ° ° + .в ) = Х 1 — (4я/3) Ка<д) (в) Иа(о)(в = в + в + ...
+во) [1 — (4л/3) Фа(д) (в ) ... [1 — (4лд3) дта(д)(в„) ] (2.26) Поскольку линейная диэлектрическая проницаемость е'о свяэана 40 Р, (в) - до' (1 — (4я/3)Фа(д) (в))-' Х Х (а(д)Ед(в)+ аЯ(Елол(вд))1(Ело„(во))л+ ...). (2.23) с Х(о соотношением (д) з(д) = 4 -(- 4(д (д) = (+ (Зз/3) /)'и ( — (4л/3) ))((в(д).
мы можем записать, что 1 — д (д) 4(д, (ц1 д в(д)+ 3 3 1 3 и тогда (2.26) можно представить в виде (3) Х " (о) = е)д + ад +... + (о») /)/(~ " (в(» ((о ад+ ев+ ° .. + а»), (2.27) где — поправка на локальное поле для нелинейной восприимчивости и-го порядка. В средах с другой симметрией выражение (2.27) остается справедливым, но фактор д'(") будет сложной тензорной функцией з'"(е), е'"(в,), ..., з'"(в„) (8).
2.5 Перестановочная симметрия нелинейных воспринмчивостей Микроскопические выражения для восприимчивостей имеют внутреннюю симметрию. Как нетрудно видеть из (2Л7), линейная восприимчивость имеет симметрию Х(() (в) = Х(('( — а) (2.29) Это равенство является на самом деле частным случаем соотношения Онзагера. Аналогично атому нелинейная восприимчивость Хцв(а = в, + ев) в (2Л7) или восприимчивость Хддзв(2в = в + в) (а) (а) в случае, когда можно пренебречь постоянными затухания в частотных знаменателях (т. е. в нерезонансных случаях), обладает следующей перестановочной симметрией [1, 9): Х(/ (в = вд + о)з) = Хды (вд = — вв + в) = Хвц (ва —— в — е,), (2.80) (а)» з) (а) Хцд) (2в = в + в) = д/аХ/(д) (в = 2а — в) = д/зХ)(/( (в — в + 2в). (в)» (в) (в) При операции перестановки меняются местами декартовы индексы одновременно с частотами, причем у частоты выбирается соответствующий знак.
В общем случае можно показать, чт() нелинейная восприимчивость и-го порядка обладает перестановочной симметрией (9] (»)» (в Хйддв...д„(в - ад + аа + . + в») =Хд,),...(„д(вд»» — в,... — в„+в) Х)„ид...д д(а» = е — вд... — е„д). (2.31) (») 44 Если можно пренебречь также дисперсией Х("), то перестановочная симметрия становится не зависящей от частот. Следовательно, существует соотношение симметрии между различными элементами одного и того же тензора Х("), т. е. Хп, л„не меняется при пере(в) становке декартовых индексов.
Это свойство известно как соотношения Клейнмана [10). При их учете число независимых элементов Хоо резко сокращается. Например, число независимых элементов )((и уменьшается с 27 до $0. Следует, однако, заметить, что, поскольку все среды обладают дисперсией, соотношения Клейнмана являются хорошим приближением только тогда, когда все частоты, участвующие во взаимодействии, находятся далеко от резонансов, так что дисперсия Х(") не важна. 2.6 Пространственная симметрия нелинейных восприимчивостей Будучи оптическими характеристиками среды, тензоры нелинейных восприимчивостей должны обладать определенной симметрией, отражающей структурную симметрию среды. В соответствии с этим некоторые тензорные элементы оказываются равными нулю, а другие связаны друг с другом, что уменьшает полное число независимых элементов. В качестве иллюстрации рассмотрим тензор нелинейной восприимчивости второго порядка.
Любая среда обладает определенной симметрией, описываемой группой операций симметрии (Я, при которых среда остается инвариантной, и, значит, )(оо не меняется. Каждая операция симметрии Я характеризуется трехмерным тензором Я,„ второго ранга, поэтому инвариантность у"' при операции симметрии математически записывается в виде равенства (('В ) Хы:(Б'У) (8'л) ХЗ. (2.32) Для среды с группой симметрии, состоящей из н операций симметрии, должны выполняться н таких равенств.
Они устанавливают соотношения между различными элементами Х'*', хотя зачастую только некоторые из этих равенств независимы. Эти соотношения можно затем использовать для сокращения числа компонент у'*' с 27 до небольшого числа независимых компонент. Из (2.32) следует, что Х(*) = 0 в электрическом дипольном приближении для сред, обладающих симметрией по отношению к инверсии. Действительно, если Я вЂ” операция инверсии координат, то 8.
е =-е, и из (2.32) получаем, что Хпь = — Хпз = О. Отсюда ста(е) (з) новится ясно, почему восприимчивость ,"(",' газа свободных электронов не имеет электрического дипольного вклада, как это 'было показано в гл. 1. Среди кристаллов, не имеющих центральной симметрии, самый простой вид тензора Хоо имеют кристаллы со структурой цинковой обманки, такие, как, например, полупроводники группы Ш вЂ” У. Они принадлежат к кубическому классу тотечной симметрии Т)(43л)). 4$ Таблвпа 21 Неваввсвмые ненулевые вомпененты тенвора 2(з> (ы = ы -(- ы ) для крветаллов некоторых классов свмметрвв Независимые иеитлееме иомиоиеитм Класс сииметгии Орторомбвческая световая 222 шие2 хуз **у, уа, ухз, зху, зу.
хзх, .тхз, цуз, узу, зхх, зуу, ыз Тетраговвльввя светония 4 422 4тщ 42ее хуз ухз хзу = узх1 зху = зух Трвгопвльввя сввговвя 3 32 Гексаговавьвая сявговвя 6 6 Трвклввная сввговия 1 Мовоклвввая сввговвя 2 Кубическая свнговия 432 43ее 23 Все компоненты не квзвсвмы в отлвчвы от нуля хуз, хзу, х*у, хух, ухх, ууу, уы, узт, узв, зуз, ззу, зту, зух (ось второго порядка, параллельная осв у) ххх~ хуу хы~ х~:Ь хзт~ ууз уху~ уЧ6 уух~ втх1 зуу~ зые звт, зхз (зеркальная плоскость, перпендикулярная осв У) хуз = — ухе~ хзу = — узх, хзх = узу, хзи = ууз, втх = зуу, зы, зху = — зух хуз = ухз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
