principy_nelinejnoj_optiki_1989 (769482), страница 6
Текст из файла (страница 6)
+ Ы, в = с>1 + е>з + ... + зь )- ) тОО(г — г, 8 — Г>; . °,', г — г„, 8 — Г„).ехр( — [[[с>(г — г>)— 60 Оз> (8 г>) + ° + ~п (г га) с>я (г ~а)[) ~йг>~[с> ° ° ~~гз~~дъ ° (1Л4) В электрическом дипольном приближении х'">(г, 8) не зависит от г, а значит, д'">(я, ю) не зависит от й. Линейная и нелинейные восприимчивости характеризуют оптические свойства среды. Если для данной среды известна восприимчивость Х'">, то, по крайней мере в принципе, из уравнений Максвелла (1.5) можно предсказать нелинейно-оптические эффекты и-го порядка.
С точки зрения физики у'"' связана с микроскопической структурой среды и может быть адекватно оценена только с помощью строгого квантовомеханического расчета. Тем не менее часто используют простые модели, которые иллюстрируют природу оптической нелинейности и некоторые характерные особенности у'"'. Мы рассмотрим ниже модель авгармонического осциллятора и модель газа свободных электронов.
1.3 Модель ангармонического осциллятора В этой модели среда считается состоящей из классических осцилляторов, плотность которых в единице объема равна >г'. Модель осциллятора с точки зрения физики может описывать электрон, связанный с остовом, или активное в ИК поглощении молекулярное колебание. Уравнение движения при наличии возбуждающей 23 силы имеет вид — + à — + вох+ ахо Р. еое е* Иоо си (1.15) Рассмотрим отклик осциллятора на приложенное поле, имеющее фурье-компоненты на частотах ~в, и ~во: Р (д/т) [Ео(е ьо ~+ еьо1) + Е (е оооо + е~~Я.
(1Л6) Ангармоническое слагаемое в (1Л5) считается малым, поэтому его можно рассматривать как воэмущение при нахождении решения методом последовательных приближений: х *-хпо+ х~~~+ х<в.(. (1Л7) Наведенная электрическая поляризация есть просто Р Удх. (1Л8) В приближении первого порядка иэ линеариэованного уравнения (1Л5) получаем хсе х'о (в,)+ х'о (во)+ к. с., (~ — — аооГ) (1Л9) где «к.с.о обозначает комплексно сопряженное выражение. Приближение второго порядка получается при подстановке в (1Л5) вместо ах* выражения а[х"')о: хсо х'*'(в, + во)+ х"'(в, — в,)+ + хоэ (2в,)+ хан (2в,)+ хао (О)+ к.
с., — 2« («(ло) Еояо (во« вЂ” во — (о)«Г) (юо — а~ ~+ (в«Г) -<(а е )о 1 (1.20) — о /оо1 ло — оооа (во' — в~о — ОеоГ) о (во« вЂ” оооо — (2воГ) х„) (0) (Ф~)' ( ( 1 ') о~о~ооооог С помощью последовательных итераций можно найти поправки высших порядков. Как видно из приближения второго порядка, благодаря квадратичному эакону вэаимодействия осциллятора с полем, связанному с наличием ангармонического слагаемого, воэникают новые компоненты поляризации на частотах в, ~ в„ 2в„ 2в, и О.
Эти осциллирующие компоненты поляриэации будут генерировать новые электроматяитные волны на частотах в, ~во, 2в, и 2в,. Таким обрааом, получают простое объяснение процессы Генерации 24 суммарной и разностной частот и второй гармоники. Возникновение поляризации на нулевой частоте получило название оптического выпрямления. В общем случае в приближениях более высокого порядка можно ожидать появления частотных компонент ю п,ю,~ ~и,ю„где и, и и,— целые числа. В рассмотренной модели величина ангармониэма определяет силу нелинейного взаимодействия. Предположение о малости члена ахз в проведенных расчетах равносильно предположению о том, что поле К мало, так что поляризацию Р можно разложить в ряд по степеням поля Е.
Можно дать грубую оценку того, как должна уменьшаться по величине нелинейная поляризация с увеличением порядка нелинейности. В нереэонансном случае, когда юе » ю1 и юз » юз, согласно (1.19) и (1.20) получаем ~ Рм /Р"~ ~ ~ даЕ/те~ ~. (1.21) В случае электрона, связанного с ионным остовом, когда смещение х настолько велико, что члены, соответствующие гармоническому взаимодействию то~х и ангармоническому взаимодействию тах*, оказываются одного порядка величины, оба эти члена будут порядка полной силы ЦЕ„1, удерживающей электрон: ~ дЕ, ) та,~х тах', или ~ дК„) - (т/а) во.
(1.22) Соотношение (1.21) в атом случае переходит в соотношение 1Р"'/Р'о1 -%/Е„Д. (1.23) В общем случае можно показать, что ~ р(а+о/Р'я) ~ М/Кач ~ ° (1.24) Таким образом, отношение 1К/Е.,~ выступает в роли параметра рааложения в методе последовательных приближений. Типичное значение К 3 1У В/см. Амплитуда К лазерного поля с интенсивностью 2,5 Вт/смз составляет всего 30 В/см, при атом параметр ~К/К„~ 10 '. Нелинейная поляризация в этом случае по величине значительно меньше линейной поляризации. Отсюда напрашивается вывод о том, что для наблюдения нелинейных оптических эффектов необходимы лазерные пучки большой интенсивности. Соотношение (1.24) справедливо, однако, лишь на оптических частотах, лежащих вдали от резонанса.
Вблизи резонанса наличие резонансных знаменателей может привести к резкому увеличению отношения 1Р'"+о/Р'"'1. Следовательно, нелинейные эффекты можно наблюдать и при гораздо более слабых световых интенсивностях. Примером этого является оптическая накачка. При резонансе может оказаться, что 1Р'"+о/Р'"'1 » 1. Когда это неравенство имеет место, разложение по теории возмущений уже не справедливо и в 2з $.4 Гаэ свободных электронов Простой, но близкой к реальности моделью, иллюстрирующей воэникновение оптической нелинейности, является модель гала свободных электронов.
Простейший вариант этой модели исходит иэ уравнения движения для электрона ««~г е « — = — — «Е+ — ч Х В). л«а м~ с («.25) Здесь мы пренебрегли для простоты ватуханием. Очевидно, единственным нелинейным членом в этом уравнении является член, отвечающий силе Лоренца. Поскольку в плаэме и ~ с, сила Лоренца окааывается гораздо слабее кулоновской, и проиэведение (е/«вс)чХ ХВ в (1.25) можно рассматривать как малое возмущение в методе последовательных приближений. Выбирая поле в виде Е В«е~~«' ~ '+ Ю е~~«' ~"««+ к,с., получаем г«п(«о«) = — «с «е ' «+ к.с., е ж ««ю «и« а««аа « (т.2б) — «еа -ь г«ю («с, + ю,) =,, Х (Ф,Х (3«,Х «2',)+8', Х (й, Х Ю«)) Х «««~в «а («а +«а )~ Х е«(а«+ "«) ' «("«+ "«>«+ к.с. и т.
д. В случае однородной плазмы с электронной плотностью заряда р плотность тока определяется иэ уравнения Ю-а"'+Ю«ю+ ... -р —,( ои+ ои+ ...). (1.2«) Так,например, у« '(е«, + ю,) = р д, г««(«с, + е«,), «ю д а и т. ц. Проделанные расчеты ясно покаэывают, каким образом электронный гаэ может иметь нелинейный отклик на действие падающей извне световой волны благодаря наличию лоренцевского члена. При более строгом описании электронного гаэа мы должны принять во внимание пространственное ивменение электронной плотности р и скорости ч. Для описания плаэмы в этом случае нужны два уравнения — уравнение движения и уравнение непрерывно- гс расчетах необходимо испольэовать полное нелинейное выражение для Р как функции Е.
В этом случае задача относится к области сильных вэаимодействий света с веществом. сти (5) — + (ч 7) ч — — — — ~Е + — ч Х В), дч чд е< 1 д< в<р е< с Щ+ 7 (рч) где р — давление, а т — масса электрона. Член, пропорциональный градиенту давления в уравнении движения, описывает дисперсию плазменного резонанса. В дальнейших расчетах мы будем для простоты считать Чр =О. Далев мы должны решать совместно с (1.28) систему уравнений Максвелла 1 дВ 1 дЕ 4я 4в 7ХŠ— — —, 7Х — — — = — д — рч, (129) с д<' сд< с с Е=4я(р — р'е'), ч В О. Здесь мы предполагаем, что в плазме есть положительные заряды, делающие ее нейтральной в отсутствие внешних возмущений.
Для нахождения тока е как функции от К из уравнений (1.28) и (1.29) может быть использован метод последовательных приближений. Пусть (6) Р=Р +Р +Р + °" (130) ч<ц+чсо+ 1 1«>+1<с>+ где )«> р<е>„<ц )<е> р<е>ч<ц+ р«>ч«> (1.31) В качестве примера найдем выражение для 1<с>(2а>), предполагая, что электрическое поле имеет вид Е = е> ехр(1)< г — (е>1). Под- ставляя (1.30) в (1.28) и (1.29), получаем дч«> (е) . д е де = — ><эч<» = — — Е <в др<'> (<е) д< — (е>р<» — 7.
(р<е>ч<п), (1.32) ч Е 4яр«>(с>), — = — 12<от<'> = — (ч<'> 7) ч<'> — — ч<'> Х В. дч<е> (2<с) . е > е д< е<с Поправка второго порядка к плотности тока имеет вид (1.33) Последнее слагаемое можно переписать в виде (7. Е) Š— [7. (р<е>чы>)) Е = — „(7. (рм>Е)) Е = — Е, (1.34) 27 где ег (4щР'е/т) о' — плазменная резонансная частота. С уче-' том (1.34) и принимая во внимание, что В = — 7 Х Е, Е Х (Р Х Е) + (Е Р) Е = — 7 (Е Е), для плотности тока (1.33) можно получить выражение У~ ~(2аъ) = ~ аз 7(Е'Е) + з з (7.(фЮЕ)) Е— $ров~з мз Г чем). и ' — "р" Уравнение (1.33) строго показывает, что помимо лоренцевского члена есть также члены, связанные с пространственным изменением поля Е.
Они обусловлены неоднородностью плазмы. В однородной плазме Чр"'=О и согласно (1.34) ч Е=О. Это оаначает, что вектор я перпендикулярен Е, и, следовательно, член (Е Ч)Е также пропадает. В этом случае в выражении для Р" (2ю) остается только лоренцевский член. Наведенная плотность тока У"(2в) будет теперь играть роль источника в процессе генерации в плааме второй гармоники.
В однородной плазме прн наличии только одного пучка накачки вектор плотности тока У"(2е) - Е Х В н направлен строго вдоль оси распространения пучка. Поскольку осциллирующий ток не может излучать в продольном направлении, вдоль оси распространения луча в объеме однородной плазмы не должно быть когерентной генерации волны второй гармоники. В неоднородной же плазме можно получить генерацию второй гармоники благодаря неисчезающему вкладу, связанному с Чр"'. Как следует из уравнения (1.35), при Чр'" чьО нелинейный отклик среды У" (2в) резко воарастает, когда частота а близка к плазменному резонансу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
