principy_nelinejnoj_optiki_1989 (769482), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Нас интересует сейчас отклик на поле, которое можно представить в виде набора фурье-компонент: Е = ~В'(ехр(()(( г — ((е(г). ( Тогда, поскольку Рбвв = ХМвз(Оэ() и Разе((о~) зб'~ехр( — (иФ), Оператор рос также можно разложить в ряд Фурье: р(а> = ~~.", р(а> (Ю;). 3 Принимая во внимание, что др("'((е()/дз= — ((о(Р("'((е,), из (2Л5) можно теперь строго найти приближения р("'((о() последовательных порядков. Решения для приближений первого и второго порядков имеют вид Рйп (юу) = (Рб,и((ез))аа~ (Р'па ~ — Раа) В '(Фз — (епп + Прап~) 'э (2 $6) РЙ.((е;+ ю») =([3и ((од Р( ~((ез)1 '+ + ((ввви (юз), Р( ~(юз)1 ! В (ю'+ (ез — (е + РР ) (и = .в~в ( (Рбвз (ю(Н па» Рп" п' (юв) а" — Рпп ((ев) Ювз((о())п"п' + (внвв((оз)!аа Ра"а'(юз) (и (1> — Рпа' М) (Мвз((ез))аза~)й (юз + юз — (оаа + (риаз) Мы использовали здесь обозначение А ° = (н~ А(и'>.
Решения более высоких порядков также можно легко получить, хотя вывод оказывается достаточно долгим и утомительным. Если при выводе встречаются диагональные элементы Р (0), то для получения реше(а> ния в замкнутой форме требуется искать следующее приближение для (др /дз) „согласно (2.8). Заметим, что выражение для Рпп ((о~+(оз), полученное в (2Л6), справедливо даже при и н', пока ю(+ (езФ О, поскольку в этом случае в расчетах можно опустить член (д~4~~/д()рзвввв ° 2.2 Микроскопические выражении для нелинейных восприимчивостей Полные микроскопические выражения для нелинейных поляризаций <Р'"'> и нелинейных восприимчивостей <>(("'> сразу получаются из выражений для р'"'.
При Ре„= ег Е и Р = — Л(ег в (2Л4) и (2Л6) легко получаются электронные вклады в восприимчивости первого и второго порядка. Они выписаны ниже в явном виде в декартовых тензорных обозначениях: Р((м(е) Л~ ~е ч 1' (в()аг(ву)гя г.п ~" 3 н. г. Шзв 33 р(1) (, ) хца (" = "1 + з) ) = д. (2) ;(-,') 1(.Ю = Л'е ~ ~ ('с)ал ('С)ал~ (га)л~а Ьа, ( ( — Л) + Сра ) (, — „, + СГа, ) + (~С)аа (~1)ла' (~С)а'В (о) — ва + 1Г, ) (л) — ва, + СГа, ) ('ь)ав' (л))л'а (гс)вВ (а) + л)аз + 1Гла) (л)1+ в)а'в+ (Гл'в) + (с))ва' ("ь)в'в (с с)ла (лс+ а)аз+ 1Г„)(а) + ва, + СГа, ) ('1)ла (г()л'л(11)Сл' ~ ( (~ ~вл~ + (Гаа ) 1~1+ ~в~в+ (Га~а л)1 ~вв+ 1Г (с)) ("с)вв' (ль)л'а (ла)~ (г() (>)) ыа (В)1 ела) (а)1+ а)а'а) (В)1+ Л)в'а) (а)1 В)ла) + Если под Ж понимать число атомов или молекул в единице объема, то выражения (2Л7) фактически соответствуют случаю газов, молекулярных жидкостей или твердых тел, причем рв' задается распределением Больцмана.
В случае твердых тел, для которых электронные свойства определяются зонной структурой, собственными состояниями являются состояния Блоха, а Рв(а) соот ветствует распределению Ферми. Выражения для Хц н )(сра в этом (1) ' (3) ' случае необходимо соответствующим образом видоизменить. Поскольку уровни в зонах образуют с большой степенью точности континуум, постоянными затухания в реаонансных знаменателях можно пренебречь. В электрическом дипольном приближении, когда можно не учитывать зависимость от волновою вектора фотона, вы- 34 .) ("1)ва("С) ' ("1)а '/ ( (~ Ела~ + (Гав ) 1 а)1 ела+ (Гав Л)1+ Сал а+ СГа ВН (2Л7) Выражение для йц содержит два члена, а выражение для )(ць— (1) ) восемь.
Расчет можно продолжить до приближения третьего порядка и найти вид тензора )(цъс(з) = «)1+ о)а+ о)а), который будет иметь 48 членов. Полное выражение для )(цас можно нанти в лил (3) тературе Д, и поэтому здесь оно не приводится. Однако в гл. 44 будет рассмотрена резонансная структура )(цьс. В нерезонансных (в) случаях постоянные затухания в знаменателях,(2Л7) можно опустить.
При этом восприимчивость второго порядка можно переписать в форме, содержащей всего шесть членов, причем последние два члена в (2Л7) для )(цл принимают вид (1) ражение для восприимчивости тпь таких твердых тел имеет вид [3] (3) 3 р Хцс [со = сос + сос) = — — с ] с[я Х «.) Х~' ](и, Ч[гс]с, Ч> (с, Ч г)]с', о> (с', Ч]г и, Ч> [в — е [Ч)] [е,— е„[э)] (и, я г; с, я>(с, я га]с, я>(с,я]г ]и, Ч> [сс — сс [э)] [сс — сс,, (о)] 7 <и, Ч ] га ] с, Ч> <, Ч г; ] с', Ч> <с', Ч ] г~] и, Ч> [си+ си,, (Ч)] [сс +е, [Ч)] + + * г (и, я [ г. [ с, Ч> (с, Ч гь] с', Ч> (с', Ч ) г и, о> [си+ ссс,с (я)] [сс~ -)- сссс [Ч)] + (и, я[ г) [ с, я> (с, я[ гс [ с', Ч> (с', Ч ] гь ] и, Ч> [ес — сс [Ч)] [сс + сс„с (Ч)] (и, с) [ га ] с, Ч> (с, ч [ гс [ с', с)> (с', Ч г) [ и, й> [сс + ссс.с [Ч)] [м — сс„[Ч)] где с[ — волновой вектор электрона, и, с и с' — индексы, обозначающие вону, а ~.[с[) — распределение Ферми для состояния [и, с[>.
В конденсированной среде появляется локальное поле, связанное с диполь-дипольным взаимодействием, поэтому перед в виде множителя будет стоять фактор поправки на локальное поле Ь'"'. Эта поправка будет детально рассмотрена в разделе 2.4. Для блоховских [имеющих энергетические зоны) электронов в твердых телах, у которых волновые функции распространяются на несколько элементарных ячеек, локальное поле имеет тенденцию к ослаблению вследствие усреднения, а фактор Ь'"> может приближаться к единице.
2.3 Диаграммная техника Вычисления по теории возмущений можно упростить с помощью диаграмм. Для расчета по теории возмущений волновых функций используются диаграммы Фейнмана. Следовательно, поскольку матрица плотности является произведением двух волновых функций, ее расчет по теории возмущений требует написания некоего подобия двойной фейнмановской диаграммы. В атом разделе мы познакомимся с методом, разработанным Йи и Густафсоном [6], причем рассмотрим его на примере стационарного отклика.
Важной чертой диаграммной техники является то обстоятельство, что диаграммы дают наглядную картину соответствующих физических процессов, одновременно поаволяя мгновенно записать соответствующее математическое выражение. Важно найти полную систему диаграмм для данного порядка теории возмущений.
Схема, которой мы будем придерживаться при расчете р'"', объединяет в з Зб каждой такой диаграмме пару фейнмановских диаграмм с двумя линиями эволюции, одной для !$>-стороны р, другой — для <ф-стороны. На рис. 2Л показана одна из множества диаграмм, описывающих различные члены в роо(в =в,+е,+...+в ).
Система первоначально находится в состоянии (у><я! с населенностью Ргг Кетсостояние вследствие вааимодейстяия с полем излучения на частотах юо ю„..., ю„меняется от (л> до !п'>, а бра-состояние меняется от состояния <я! до состояния <и! при взаимодействии с полем на > <а1 1Ь> !а> о о-1 <Ь|~ <а! оч Щ> <р~ /"гю Рис. 2Л. Типичная двойная диаграмма Фосйнман, описывающая одно ие сла.- гаемых я выражении для рос(м = и, + ме+... + м~> частотах ю„..., ю„о Наконец, взаимодействие с результирующим полем на частоте ю переводит систему в состояние !п><п!.
Путем перестановки полюсов взаимодействия на линиях эволюции можно нарисовать и другие диаграммы, описывающие р'"'. Микроскопическое выражение, соответствующее данной диаграмме, можно получить с помощью следующих общих правил нахождения отдельных сомножителей. 1. Система первоначально находится в состоянии ~л>ряя(я!. 2. Эволюция кот-состояния входит сомножителем матричного элемента слева, а бра-состояния — справа. 3.
Полюс, переводящий состояние !а> в !Ь> при поглощении ее на левой (кет-) стороне диаграммы, описывается матричным элементом вида (1/Ряй)<Ь!ой„(ю,)!и>, где Рйее(юг) е '"Р (на рис.2.1 этому соответствует полюс вида А). Если происходит излучение кванта (что изображается полюсом вида Б), а не его поглощение, то данный полюс должен описываться матричным элементом вида (1/Рй) (Ь! 2Р~+ (юе) ~ а).
Благодаря тому что бра- и кет-состояния являются сопряженными, 36 процесс поглощения на кет-стороне диаграммы становится процессом испускания кванта на бра-стороне и наоборото), поэтому полюсы испускания (полюс типа В) и поглощения (полюс типа Г) описываются соответственно элементами — (1/Гй) (а ! Явв (ав) ! Ь>, — (1/Гй) (и ! Мвв (ав)! Ь).
4. Переход от /-го полюса к (/+1)-му вдоль двойной линии )в></с! описывается пропагатором П =ж 1 ~в~ — вы+Грвз Частота в, считается положительной, если в 1-м полюсе происходит поглощение в, слева или непускание справа, и отрицательной, если происходит поглощение в, справа или непускание слева. Знак перед квадратными скобками должен быть положительным, если /-й полюс появляется слева, и отрицательным, если полюс появляется справа. 5. Конечное состояние системы описывается произведением конечных кет- и бра-состояний, например, )в'><п! после и-го полюса для роо на рис. 2.1.
6. Произведение всех факторов описывает эволюцию от состояния )я><я! к состоянию )и'><и! через определенный набор промежуточных состояний на диаграмме. Суммирование этих произведений для всех возможных наборов состояний дает конечный результат, учитывающий вклады всех состояний. Используя эти правила, из диаграммы, приведенной на рис.2Л, получаем выражение !я><в' )Ж(е„) )в> ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
