principy_nelinejnoj_optiki_1989 (769482), страница 10
Текст из файла (страница 10)
хзу = узх ехх = — узу, хзх = — цуз зуу з*у = зух хуз = — ухз, хяз = — уз*, зху = — зух хзх = узу, ххз = ууз, зхх = зуу, ззз хуз = — хзу = узх = — ухз = вту = — зух ххх = — хуу = — ууз = — уху, хуз = — ухзз хзу = — узх~ зих = уйти хзт = ууз~ ууу = ухх = = — хзу = — хух, зхх = зуу, ых, зху = — зух ххх = — хуу = уух = — уху~ хуз — узк, хеу = — узт, ыу = — зух емх = узу, ххз = ууз, зхт = зуу1 ззз ууу = — ухт = = — хху = — хух (зеркальная плоскость, перпевдвкулярввя осв з) хуз = — узх, вху = — узх, хзх = уху, ххз = ууз, зхх = зуу, ззз, зху = — зух *уу = — уху = — уух~ ууу — хух = — хху хуз = — узи, хзу = — ухз зху = — зух хзх = узу, вез= ууз, зхх= зуу, ыз Таблица 2.2 Независимые ненулевые иемповенты теизора Х(в)(ы ыз + ыв + ый) для нриствллов неиоторых нласеоз еимметрви Клесс симметрии Невввиеимые иеитлевые иоипоиеиты Тринлиннвя сизгония Тетраговвльивя светония 422, 4и)вв 4/вилле, 42ы Все (81) компоненты независимы и отличны хххх = уууу уузй = ййцу, зйхх = ххйй, ххцу = цухх, уйуй = йузу, йхйх = хзхй, хулу = ухух, уййу = зццз, йххй = хйзх, хццх = ухху хххх = Цугу = ййзй, ууйз = и:*х = ххуу, ыцу = уухх = ххйй, вузу = хйхй = цхух, уйуз = йззх = хулу зууй = хззх = у™у цйзц йххй — хуцх ххйх = ууу)/ = йззй уузз = зйуу = ыхх = ххйй = ххуу = уухх узуз= вузу= зйтх= хйзз= ухух= хулу Ыййу = зууй = йххй = хййх = хуух = ухху тххх = уууу = ххуу + хуух + хулу хч)у = уухх хуух = у*му *уху = ухух~ ЦЫы = ххзз ййуу = ззхх зууй = зххз~ уйзу = хйзх, узуз = хзхз, вузу = зхйх хххх ЦЦЦЦ = ййзз уузз = ййуу = ыхх = ххзз = ххуу = Ыухх цйуй = йуйу = йхзх = хйхз = хухц = цхцх, уыц = йууй = йххй = хййх = хцух = ухз7/~ хххх = ххуу+ хулу+ хуух Кубическая свнгонзя 23, веЗ 432, 43вв, веЗвв Геисаговвльпвя сюпония 622, Звли, 6/геиив, бее2 Ивотропные среды Хотя класс Те (43т) имеет много операций симметрии, для сокращения числа компонент )((*) достаточно рассмотреть только повороты на $80' относительно трех осей четвертого порядка и зеркальные отражения относительно диагональных плоскостей.
Цовороты на $80 приводят к соотношениям (й) (з) и (й) (й? и (2? (й? Хы - — Х(м-0, Х((/= — Х«)=0, Х(и- — )(й)=0 где индексы з, / и /з относятся к трем главным осям кристалла. Зеркальные отражения приводят к инвариантности Т(/ь (~чь/Ф/з) (з) по отношению к перестановке декартовых индексов. Как следствие, у кристаллов со структурой цинковой обманки отличными от нуля элементами тензора )((в) являются только элементы вида )((/в (( чь / Ф /з).
для кристаллов других классов симметрии вид тензора )((*) можно получить аналогично с помощью соответствующих операций симметрии. Анализ с точки зрения симметрии при этом является таким же, как при определении вида электрооптического тензора (который фактически является частным случаем )('*)(ю=в,+юв) при аз=0) и пьезоэлектрического тензора (ййь Вид тенаора )((в) для процесса генерации второй гармоники фактически идентичен последнему [$21.
В табл. 2.1 приводится вид тенвора )((в) (о) = ю, + о)з) для различных кристаллографических классов. 44 Описанная выше методика анализа д'*' с точки зрения симметрии может, конечно, быть распространена на нелинейные восприимчивости высших порядков. В частности, очень важно установить вид тензора 2"' с учетом симметрии ввиду большого числа интересных нелинейно-оптических эффектов третьего порядка, которые можно легко наблюдать почти во всех средах. В табл.
2.2 приведены ненулевые компоненты тензора )('" для сред, принадлежащих к наиболее часто встречающимся классам симметрии [12[. 2.7 Практический расчет нелинейных восприимчивостей Операции симметрии резко сокращают число независимых компонент тензора нелинейной восприимчивости, однако нам хотелось бы знать величины этих независимых элементов для данной среды. Хотя часто их можно измерить (см., например, раздел 7.5), важно и то, что их можно рассчитать теоретически. Успешно проведенный теоретический расчет может помочь в предсказании 2'"' для сред, в которых трудно выполнить прямые измерения, или при создании новых нелинейных кристаллов.
В принципе, для таких расчетов можно использовать микроскопические выражения, подобные (2Л7) для упю с соответствующей коррекцией на локальное поле. Однако (зЛ в большинстве практических случаев зти выражения бесполезны, поскольку и частоты переходов, и волновые функции обычно недостаточно хорошо известны. Это утверждение тем более справедливо для сложных молекул или твердых тел. Поэтому часто приходится использовать рааличные упрощающие модели и приближения.
Если все частоты, участвующие во взаимодействии, лежат далеко от резонансов, то одним из наиболее часто используемых упрощений является замена каждого частотного знаменателя в микроскопическом выражении для 2'"' на некоторый усредненный знаменатель и вынесение, таким образом, всех частотных знаменателей из-под суммы (см., например, вид тензора Хп' в (2Л7)). В этом случае суммирование по матричным элементам можно значительно упростить благодаря свойству полноты собственных состояний и выразить результат через моменты распределения заряда в основном состоянии. Задача сводится, таким образом, к нахождению волновых функций основного состояния системы [13[.
Однако вышеуказанное приближение является слишком грубым, чтобы оно могло привести к хорошим результатам. Более строгий расчет у'"' можно выполнить с помощью модели связей. Эта модель использовалась еще в начале ЗО-х годов для расчета линейной поляризуемости молекулы или линейной диэлектрической постоянной кристалла [$4). При этом предполагалось, что выполняется правило аддитивности связей: наведенная поляризация молекулы (или кристалла) является векторной суммой поляризаций, наведенных на всех связях между атомами. Другими словами, взаимодействием между связями пренебрегали. Это правило можно использовать и при расчете )(<"). Мы можем записать ух") = Х<6с', л (2.33) ~Я~ = (4Л//3) (1 + 2р) <х~~'~.
(2.35) Следующим этапом будет нахождение приближенного выражения <1) для а<)) через ((~«~. Микроскопическое выражение для )((<) согласно (217) вдали от резонанса имеет вид (2.36) в,л <вав — <в' В низкотемпературном пределе рв 0 для всех состояний, кроме (о) основного. Затем, с использованием приближения, при котором частоты еы в знаменателе заменяются средними значениями <е)„в>, и правила сумм [161 2~о)„в[г<[,",в = я/т, 1< (2.37) где <ху<'» — нелинейная поляризуемость и-го порядка К-й связи в кристалле (или среде), а суммирование производится по всем связям в единице объема. Таким образом, при известной структуре кристалла расчет )(<") сводится к расчету а)() для разных типов связи.
Мы рассмотрим здесь только расчет восприимчивости второго поря)п(а )(<*), используя в качестве примера кристалл цинковой обманки. Общий ход вычислений сводится к следующим этапам. Сначала находятся линейные поляризуемости связей а)г как функции приложенного поля с помощью детально разработанной недавно теории связей [151 Нелинейные поляризуемости связей второго порядка а)г находятся затем вычислением первой производной <вл по приложенному полю. Наконец, для нахождения )(<' произ- (1) <н водится суммирование (2.33) по всем связям. Предположим, что можно построить простой кристалл целиком из связей одного вида и что связи эти обладают цилиндрической симметрией.
Тогда ли(<) пенную восприимчивость кристалла Хн) можно записать в виде од /~~Я)1 =6(<) (() ( 6(<) (() =(6(,') (. р6(<))~(,'), (2.34) (к /н где а) и а.( — поляризуемости вдоль и перпендикулярно связи, И) (<) р — а ( /<х (, а 6 ( и < х — соответствующие геометрические ()) (1) (Ц г~(() факторы, возникающие при векторном суммировании по связям. Как 6<<~'~, так и 6~~П пропорциональны числу элементарных ячеек в единице объема. Для структуры цинковой обманки 6(~() 6«')/2 = 4Л(/3, и из (2.34) получаем для этого случая выражение (2.36) приводится к виду 4я(<а„з)з — аз) (2.38) где Ир~ — — 4иЫеЦт — электронная плазменная частота.
Это упрощенное выражение для 2м было получено более строго Пенном ор для твердых тел в пределе стремящейся к нулю частоты (17]. Иэ (2.34) получаем теперь бы>а~0+ С<паси = (с сы+ рй<~~) аеп ~ . (2.39) са ьа~= с ~ И'- Нас, однако, интересует выражение для а~э в зависимости от присю ложенного внешнего поля.
Поляризуемость должна зависеть от поля вследствие возмущения полем частот переходов и матричных элементов. Однако в приближенной форме (2.39) а7~ может зависеть от поля только через <се„,>'. Именно для нахождения выражения для <се„,>* мы и воспользуемся теорией связей. С физической точки зрения величину 3<се„,> <Е,> можно рассматривать как среднее значение ширины запрещенной зоны между заполненными и незаполненными состояниями. Эту величину можно записать в виде [15) <Ев) = 1Еь+ СФ' (2.40) где Е, и С известны как гомополярная и гетерополярная ширины запрещенной зоны соответственно.
В теории связей они определя- ются выражениями /Я Я Еь же, СжЬ| — — — ~е -в ы 7 л в~ -ь Фв гя гв (2.41) В этих выражениях а, Ь и г — постоянные коэффициенты, Я,, и Я,— валентности, га и га — ковалентные радиусы атомов А и В, образующих связь, с) = г„+ га — длина связи, а ехр( — М/2)— фактор экранировки Томаса — Ферми. Если атомы А и В идентичны, то С=О. Равенство (2.40) легко можно получить из теории молекулярных орбиталей (18). Связанные электроны имеют два собственных состояния — связывающее и антисвязывающее. Разность энергий между этими двумя состояниями равна <Е,>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
