principy_nelinejnoj_optiki_1989 (769482), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4яоР»с» Нетрудно заметить, что нелинейные восприимчивости выступа- ют в роли коэффициентов связи. Они определяют скорость обме- на энергией между тремя волнами. В случае среды без потерь 57 выполняются перестановочные соотношения Хпа (е) э)а+ е)а) Хаы(ма = — з)а+ о)) Хап(ма = е) — е)а) (а)а (а) (а) (см. раздел 2.5). Фактически, как мы увидим ниже в разделе 3.2, это соотношение является необходимым условием того, чтобы суммарная энергия трех волн оставалась постоянной.
Условия сохранения энергии и импульса в данном случае имеют вид е) =е),+о)а и а( й,+й, соответственно. Для наиболее эффективного энерго- обмена между волнами совершенно естественно потребовать сохранения в процессе взаимодействия волн энергии и импульса. Следовательно, хотя, как мы упоминали выше, выполнение условия й =(г, +й, не является обязательным, удовлетворение этого равенства желательно для достижения максимальной связи между зола нами. Условие сохранения импульса фотона в нелинейной оптике получило название условия фазового синхронизма и является одним из наиболее важных во многих нелинейных оптических процессах. Детальное решение уравнений (3.4) будет дано в следующих главах. 3.2 Энергия поля в нелинейной среде Из уравнений Максвелла (1.5) вытекает следующее известное уравнение для энергии: 4я — 7. (Е Х В) = — — — (Е' ~- В') Е зР, 8в да и( (3.5) Поскольку произведение ЕХВ есть вектор Пойнтинга, с~отношение (3.5) показывает, что скорость истечения энергии из единицы объема равна скорости убыли плотности запасенной в нем электромагнитной энергии.
Если дисперсией среды можно пренебречь, то поляризацию Р можно записать следующим образом: Р(г, а) = усе Е(г, г)+ Х(а): ЕЕ+... (З.б) В этом случае уравнение (3.5) приводится к виду — т (Е Х В) = — — У (г, а), (3.7) есть мгновенная плотность энергии электромагнитной волны. Ясно, что это соотношение не будет выполняться в случае среды, обладающей дисперсией, поскольку в этом соотношении восприимчивости определены только через фурье-компоненты полей и поляризаций. Фактически более правильно рассматривать усредненное по времени соотношение для энергии.
Проиллюстрируем скаванное на примере линейной среды. 88 где У(г'г) 8 (Е +В)+ а Е'Х Е+ 8 Е'Х ' ЕЕ+ '' (3'8) Начнем со случая квааимонохроматического поля Е (г, з) = Ю' (з) еяа '-в'> + в з (з) е-Ка '-в'>, (3.9) где в (з) — медленно меняющаяся амплитуда.
Представляя в (з) в виде интеграла Фурье, имеем Е(г, з) = ~ >1>)в (в+ >)) ен"'-в'>-'ж+ к.с. (3 10) Тогда линейная поляризация принимает вид Р~'>(г, з) = ~з)>)Хм>(в+ Ч).Ю(в+ >)) ен"'-вз>-'ч' + к.с. (3.11) Отсюда получаем — Р ( , г) — ) й) (- ) (в + )) ~х (в) + — Ч + ... 1 д' (в + Ч) Х Х ена' ви 'ж+ к.с. ж — звХы>(в) Ю(С) + ° — ~ Х д(вХ~~>) дЮ О) дв д> Х е~0"-вз> + к. с. (3.12) Поскольку ХД (в) = Хзз ( — в), усредняя по времени уравнение П> Ц> (3.5), получаем ٠— 7 (Е Х В) = — — (У~'~) — (>, где (3 13) (ц'") = -'-[й'(г).' — '"' К(г)+ !В«)~ 1, (3.14) (> = — вз(з) е" Ю(з), е=е'+ >е" = 1+ 4п>(О>.
Как следует из этих уравнений, <(Р'» есть средняя плотность энергии поля, запасенной в среде, а Ч вЂ” средняя плотность мощности, диссипирующей в тепло при наличии поглощения, когда е" чьО. Равенство (3.13) выражает, таким образом, закон сохранения энергии, как и следовало ожидать с фиаической точки зрения. Приведенный пример можно обобщить на нелинейный случай [4]. Вследствие свяаи волн в уравнении для энергии должны понвиться дополнительные члены.
Рассмотрим случай трех волн, взаимодействующих в нелинейной среде через посредство квадратичной нелинейности Х"', пРичем в, в, + в, и й, = Ы, + йв С помощью перестановочных соотношений симметрии для Хсо получаем, что средняя плотность энергии поля имеет дополнительное слагаемое вида (У ') = 2д'з (С) Х (в, = — в, + вз): Гз (з) в з (з) + -~з Г дХМ>(в ) дХМ>(в>) дХ з (в>) 1> з + в'>(з) в, + вз + в ~.в'з() вз(~)+к.с., ~в> двз двз (3.15) 99 которое получается из д <<)(в)> г~'чд дР) д) ~звз д) / ) 1 Заметим, что только при условии !е д)<е)/де ! ч.!)<)в)! мы можем записать <У")) = 2Ю).)<") (е, = — е)з + ев): Юзов + к.
с. (ЗЛ6) Тем не менее последнее равенство часто используется в литературе (5] для определения плотности свободной энергии взаимодействия в случае связанных волн. При этом плотность свободной энергии ааписывают с использованием соотношения (ЗЛ6) как г *' = — <<Рз», а нелинейную поляризацию получают из уравнения Р)') (е ) — (з/2) дР<з)/дЮ . Из соотношений азФв) (е,) а'РМ) (е,) авР<в)' (е,) в Ф "~ "ФФ .+Ф дзтвдез дЮ'ддзтв дВ'з дЮв (ЗЛ7) где <У'"» обусловлено нелинейной связью (и+ з) волн через посредство нелинейности среды и-го порядка и дается формулой <у(в))= й"+1.К<з)( +в=аз+ез+ ... + ): й'зев К»+ ) в+1 дР +В*в+в.~~~а~ е) ае ~: Юзов... Ю„+ к.с. (ЗЛЗ) в Усредненное по времени уравнение, выражающее закон сохранения энергви,принимает вид ,'з ~, д - — 7 ЕХВ .= — — <У>.
',4я,Г аз (ЗЛ9) сразу получаются соотношения перестановочной симметрии для )<'в). Хотя такой подход можно испольаовать на практике, нужно отдавать себе отчет, что на самом деле именно перестановочная симметрия )<") ведет к выражению (ЗЛ5) для <У"», и наоборот, существование <<Рв» подтверждает наличие перестановочной симметрии у ><"). Вблизи резонансов, когда начинает играть заметную роль поглощение иалучення в среде, перестановочная симметрия )<е) нарушается и соотношение (ЗЛ5) перестает быть справедливым. В более общем случае в непоглощающей среде усредненнан по времени плотность энергии поля находится из формулы (4] 3.3 Приближение медленно меняющихся амплитуд При практическом решении системы связанных волновых уравнений часто делают ряд упрощающих предположений 12, 61 Среди них можно выделить приближение медленно меняющихся амплитуд, приближение бесконечных плоских волн и приближения заданного поля и заданной интенсивности накачки.
Мы рассмотрим здесь только приближение медленно меняющихся амплитуд, отложив другие приближения до следующих глав. Как упоминалось выше, свяаь между волнами в нелинейной среде приводит к внергообмену между ними. Следовательно, можно ожидать, что амплитуды волн будут меняться по мере их распространения. Рассмотрим для примера плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси г: Е(в, г) Ю (г)е""'-"". Поскольку обмен энергией между волнами обычно становится заметным, когда волны проходят расстояние много большее их длины волны, то можно считать, что ! Уд'(г)/дгЧ ч. 1й дЮ/дг!.
(3.20) Поле Е в общем случае можно рааложить на продольную,,компоненту Еп параллельную й, и поперечную компоненту Ег, йврпендикулярную й. Волновое уравнение для Е (3.3) также можно равложить на два уравнения: ргЕ~ + —,(е Е)1 — — — — гР~~(в, г), 7'((е Е) и + 4яР"~"~ = О. (3.216) Кроме того, имеем 7'Еа — — — Ех = е"~ "" — + ~2й — — 1Р 8'а (г), (3.22) ег — йгЕь + ~, (е Е)х = О. (3.23) В приближении (3.20) дифференциальное уравнение второго порядка (3.21а) сводится к простому дифференциальному уравнению первого порядка ад г —" = — Ра (в, г) е ь $2кв е -сПи — вя дг еег (3.24) Это и есть приближение медленно меняющихся амплитуд.
Приведенная выше формулировка приближения медленно меняющихся амплитуд обычно приводится в литературе. Однако истинное физическое предположение, сделанное в атом приближении, ааключается в пренебрежении распространяющейся в проти- бй + Е( ) Рнл( < д со 4лсо~ дго со / с (3.25) с плоскими границами при г 0 и г й Это уравнение можно решить с помощью метода функции Грина.
Пусть 6(г, г') есть функция Грина, удовлетворяющая уравнению < д сог —, + — е 6 (г, г') = — б (г, г'). дс с (3.28) В этом случае — е ~ при г~г, — око — сч Р :е '~' *~ при г(г' сгь Ф 6 (г, г') = (3.27) где й = соУе/е. Решение уравнения (3.25) имеет вид Е(ю, г) = ~ — оР (г')6(г, г') Иг'+ [6 —, — Ещ~ о ~~~~с"о; '-"с...~о-.>; -цс~., Слс / о с + [6 —,, — Š—,,~, . (3.28) Если записать поле в виде ь Е(ю г) Юс(г)еп"* ю1+сво(г)ек ' "о (3.29) и наложить граничные условия д8'с/дг'=0 и дсоо/дг'=0 при г 0 и в=с+, означающие, что вне среды не происходит изменения амплитуды поля, то мы получаем [ д" дЕ дп! 6=,— Š—,) = [8'е(0) е'"'+ се'в(с) е 'ос) е-оес.
(3.30) Сравнивая (3.28) и (3.29), имеем с Е'е (г) = Ю (О) + с — Р" ( ') о Вв(г) = дв(() + с — "", ~рл" (г) ея"'+"'1с)г'. (3.31) вг воположном направлении компонентой поля, которая генерируется Р". Рассмотрим, например, случай распространения волны в изот- ропной среде Соответствующие дифференциальные уравнения для Ю'» и Ю имеют вид \ дие .2 л„,л ° ° дз, ВО дл лез 1 — = — $ — Рл (в,г)е де в .
2ввз л цл»+ен дл вез Сравнивая (3.24) и (3.32), аамечаем, что уравнение (3.24) получается, если опустить слагаемое д' в выражении для Ю' (нли слагаемое В», если волна Ю~ распространяется с волновым вектором -к). 3.4 Граничные условия Обычные граничные условия для электромагнитных волн должны оставаться справедливыми, например, должны быть непрерывными тангенциальные компоненты Е и В на границе раздела для каждой фурье-компоненты. В общем случае решение волнового уравнения (3.3) для поля Е(йо в,), возбуждаемого нелинейной поляризацией Р '(й„, в = в~) - ехр(й г — гвФ), имеет вид Е(йь л,„, в~) = (вне ' + Юге ) е ', (3.33) где 8'„и В;,— члены, соответствующие общему решению однородного уравнения и частному решению неоднородного уравнения соответственно.
На границе падающая волна Е,(й,ь 'я ь в~) дает начало отраженной волне Ел(к,л, )с.л, в~) и преломленной волне Е,(йлз й , е~). Пусть плоскость г = О является границей раздела, а плоскость л — г — плоскостью падения. Тогда условие непрерывности тангенциальных компонент Е и В приводит к соотношениям (7) 4»лзл + д зал + В ллл + 8»лл = 4»л»л + и»» аъ ()глХЖл») +(М.аХВм) ° +()слХВлл) + +(й~л Х8'»л)„=()ь» ХВл») +(й~т Х 8'» ) (3.34) Аналогичный вид имеют два уравнения для р-компонент. Кроме того, йлл = йлол йвл йтл» 1С~» л йттл, (3.35) Последнее равенство, связывающее между собой рааличные тангенциальные компоненты волновых векторов, представляет особый интерес. Оно определяет направления распространения всех волн (отвечающнх решению однородного и неоднородного уравнений) в среде, когда задано направление одной из них.
Таким образом, это равенство аналогично закону Снеллиуса в линейной оптике. 63 3.5 Распространение волн с зависящей от времени амплитудой Распространяющиеся в среде волны с изменяющимися во времени амплитудами должны, конечно, подчиняться волновому уравнению (ЗЛ). В этом случае обычно остается справедливым приближение медленно меняющихся амплитуд, поэтому в волновом уравнении можно одновременно пренебречь второй производной амплитуды поля по времени и ее второй производной по координате. Эта процедура проиллюстрирована ниже на примере квазимонохроматической плоской волны, распространяющейся вдоль оси симметрии среды г. Волновое уравнение принимает вид —,Е(г, г) — —,— оВ(г, г) = —,—,Р""(г, г), д' ~ д' 4а д ол дв с д1 с д1 (3.36) где В(г, г)' Е(г, г)+4яР"'(г, г), Е(г, в) Ю(г, в)ехр(1йг — )аг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
