149951 (732487), страница 4
Текст из файла (страница 4)
...
... - тепловая функция единицы массы жидкости,
... - удельный объём, Т - температура.
Поскольку ...., имеем просто
...
и поэтому
...
Уравнения Эйлера можно записать в виде
...
Воспользуемся известной формулой векторного анализа
...
уравнение Эйлера можно записать в другом виде
...
К уравнениям движения необходимо добавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающих жидкость границах. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твёрдую поверхность.
На неподвижных стенках это означает, что должна обращаться в нуль нормальная к стенке компонента вектора скорости:
...
3. Гидростатика
Для покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле тяжести, уравнение Эйлера принимает вид
...
Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости.
Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнения равновесия дают
...
т.е. ... .
- давление одинаково во всех точках жидкости.
Притом плоскость жидкости постоянна во всём объёме. Направим ось ... вертикально вверх, имеем
...
Откуда
...
Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность (на высоте ...), к которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление ..., то эта поверхность должна быть горизонтальной плоскостью ... .
...
...
Из условия ... при ... имеем
...
так что
...
4. Уравнение Бернулли
Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае стационарного течения жидкости. Под стационарным (или установившимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остаётся постоянной во времени. Скорость ... остаётся функцией только координат
...
...
Рассмотрим некоторые сведения о линиях тока. Линии тока это линии, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени. Уравнения линий тока определяются системой дифференциальных уравнений
...
При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости.
При нестационарном течении такое совпадение не имеет места:
- касательные к линии тока дают направление скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определённый момент времени
- касательные к траектории дают направление скорости определённых частиц в последовательные моменты времени.
Умножим уравнение Эйлера для стационарного потока жидкости на единичный вектор касательной к линии тока в каждой её точке ... .
Проекция градиента на некоторое направление равна производной, взятой по этому направлению. Поэтому
...
Вектор ... перпендикулярен вектору скорости, и поэтому
его проекция на направление ... равна нулю
...
Таким образом получаем
...
Откуда следует, что величина ... постоянна вдоль линии тока
...
Значение ... , вообще говоря, различно для разных линий тока. Это уравнение называют уравнением Бернулли.
Если течение жидкости происходит в поле сил тяжести, то в правой части уравнений Эйлера есть ускорение силы тяжести ... .
Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси ..., причём положительные значения ... отсчитываются вверх. Тогда проекция ... на ... есть
...
Соответственно этому будем иметь
...
Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остаётся постоянной длина
...
Тема 5
Потенциальные и несжимаемые течения
1. Сохранение циркуляции.
2. Потенциальное движение.
3. Несжимаемая жидкость.
1. Сохранение циркуляции скорости
Интеграл
...
взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией скорости вдоль этого контура.
Рассмотрим некоторый замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как "жидкий", составленный из находящихся на нём частиц жидкости. С течением времени контур перемещается.
Вычислим производную по времени от циркуляции скорости с учётом подвижности контура. Временное дифференцирование по координатам обозначим знаком ..., знак ... - дифференцирование по времени. Будем учитывать, что меняются скорость и сам контур.
...
По определению скорость ... это производная радиус-вектора ...
...
Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю и остаётся
...
Из уравнений Эйлера имеем
...
Применим формулу Стокса, получаем тогда (поскольку ........)
...
Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно:
... или ...
Мы приходим к результату, что в идеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остаётся неизменной со временем.
Это утверждение называется теоремой Томсона или законом сохранения циркуляции скорости. Соотношение получено путём использования уравнений Эйлера с использованием предположения об изэнтропичности движения жидкости.
Применим теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру ... и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:
...
где ... - элемент поверхности, опирающейся на контур ... Вектор ....... часто называется завихренностью течения жидкости в данной её точке. Постоянство произведения ...................... ... можно использовать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.
2. Потенциальное движение
Движение жидкости, при котором во всём пространстве
...
называется потенциальным (или безвихревым) в противоположность вихревому движению, при котором ротор скорости отличен от нуля.
Таким образом, мы пришли бы к выводу, что стационарное обтекание взятого тела натекающим из бесконечности однородным потоком
должно быть потенциальным. Поскольку на бесконечности натекающий
поток однороден, его скорость ... , так что ... = 0 на всех
линиях тока.
Однако, ввиду наличия стенки нельзя провести в жидкости замкнутый контур, который охватывал бы такую линию тока.
...
...
В результате возникает картина течения, характеризующаяся наличием отходящей от тела "поверхности тангенциального разрыва", на которой скорость жидкости терпит разрыв непрерывности.
Как и всякое векторное поле с равным нулю ротором, скорость потенциально движущейся жидкости может быть выражена в виде градиента от некоторого скаляра, называемого потенциалом скорости ...
...
Напишем уравнения Эйлера в виде
...
и подставив в него ........, получаем
...
Откуда находим следующе равенство
...
где ... произвольная функция времени. Это равенство представляет собой первый интеграл уравнений потенциального движения.
При стационарном движении имеем ... = 0, ......... и интеграл переходит в уравнение Бернулли
...
Отметим существенные отличия между уравнениями Бернулли в случае потенциального и непотенциального движения. ..... в правой части этого уравнения есть величина, постоянная вдоль каждой линии тока, но вообще говоря, различная для разных линий тока.
При потенциальном же движении ... в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всём объёме жидкости.
3. Несжимаемые жидкости
Для плоских течений жидкостей их плотность можно считать постоянной вдоль всего объёма жидкости в течение всего времени движения. Такое движение называется движением несжимаемой жидкости.
Общие уравнения гидродинамики для несжимаемой жидкости упрощаются. Уравнение неразрывности при ......... принимает простой вид
...
уравнения Эйлера не меняют своего вида, запишем их в виде
...
Для несжимаемой жидкости тепловая функция записывается следующим образом
...
Тогда уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости имеет вид
...
Особенно упрощается уравнение для потенциального течения несжимаемой жидкости.
При подстановке ........ в уравнение неразрывности ..... = 0, получим
...
то есть уравнение Лапласа для потенциала ... .
Граничные условия. К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхности соприкосновения жидкости с твёрдыми телами:
- на неподвижных твёрдых поверхностях нормальная к поверхности компонента ... скорости жидкости должна быть равна нулю, для движущихся тел ... должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нормали.
С другой стороны, скорость ... равна производной от потенциала ... по направлению нормали
...
Таким образом, граничные условия гласят в общем случае, что .... является на границах заданной функцией координат и времени.
При потенциальном движении скорость связана с давлением для несжимаемой жидкости соотношением
...
Если движение жидкости является потенциальным и вызвано движением некоторого тела то уравнение Лапласа не содержит явно времени, время входит в решение через граничные условия.
Из уравнения Бернулли ..................... видно, что при стационарном движении несжимаемой жидкости вне поля тяжести наибольшее значение давления достигается в точках, где скорость обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка О) и называется критической точкой. Если ... - скорость набегающего на тело потока жидкости (скорость на бесконечности), а ... - давление в критической точке равно
...
Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух координат, то о таком течении говорят как о двумерном или плоском. Для решения задач о двумерном течении несжимаемой жидкости иногда удобнее использовать функцию тока. Из уравнения неразрывности
...
видно, что компоненты скорости могут быть записаны в виде производных
...
от некоторой функции ... , называемой функцией тока. Уравнение неразрывности при этом удовлетворяется автоматически.
...
Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Дифференциальное уравнение линий тока
...
или
...
оно выражает условие параллельности касательной к линии тока и направления вектора скорости.
Подставляя сюда выражение для скоростей через функцию тока
...
откуда ........ Таким образом, линии тока представ-
ляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции
тока ... постоянной.
Если между точками 1 и 2 в плоскости .... провести кривую,
то поток жидкости ... через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой.
Действительно, если ... - проекция скорости на нормаль к кривой в данной точке, то
...
или
...
Мощные методы решения задач о простом потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексной переменной.
Тема 6
ГИДРОСТАТИКА
1. Силы, действующие на жидкость. Давление.
Единицы измерения давления.
2. Закон Паскаля.
3. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.
4. Виды давления ( барометрическое, абсолютное, избыточное, манометрическое ).
5. Приборы для измерения давления.
6. Сила давления жидкости на плоскую стенку.
7. Простейшие гидравлические машины.
8. Закон Архимеда.
9. Равновесие и остойчивость тел, полностью погруженных в жидкость.
1. Силы, действующие на жидкость. Давление.
Единицы измерения давления
Рассечем жидкость, находящуюся в объеме ... (например, сосуде) некоторой поверхностью на две части I и II.
Рассмотрим жидкость в объеме I. Все, что окружает этот объем, отбросим (дно, боковые стенки и т.д.) и действие отброшенного заменим соответствующими силами. Эти силы называются поверхностными.
Кроме них на жидкость действуют еще массовые силы (силы тяжести и инерции), которые пропорциональны массе тела.
Выделим из жидкости некоторый объем. Возьмем на поверхности этого объема бесконечно малую площадку ... . Hа эту площадку действует поверхностная сила ... . Разложим эту силу на нормальную ... и касательную ...
Hормальная сила, приходящаяся на единицу площади, называется давлением и обозначается буквой ... , т.е.
...
Измеряется давление в ....
Сила трения (касательная сила), приходящаяся на единицу площади, обозначается буквой ..., т.е.
...
Сила трения обычно пропорциональна градиенту скорости ... . Для жидкости, находящейся в равновесии (в покое), сила трения равна нулю, так как в этом случае ... .
2. Закон Паскаля
Если в жидкости взять любую точку, то на основании основного уравнения гидростатики
...
давление в этой точке равно давлению, приложенному к
свободной поверхности, плюс ..., где ... - глубина точки.
Таким образом
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
