149951 (732487), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Выясним физический смысл тензора ... . Проинтегрируем уравнение количества движения по некоторому объему
...
Преобразуем интеграл в правой части в интеграл по поверхности
...
Слева стоит изменение в единицу времени i - той компоненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому интеграл по поверхности в правой части есть количество импульса, вытекающего в единицу времени через ограничивающую объем поверхность. Следовательно, ... есть i - я компонента импульса, протекающая через элемент ... поверхности.
Тензор ... называют тензором плотности потока импульса.
2. Тензор плотности потока импульса для вязких течений
Плотность потока импульса, определяемая соотношением
...
представляет собой обратимый процесс переноса импульса, связанный с механическим передвижением различных участков жидкости из одного места в другое и с действующими в жидкости силами давления.
Вязкость ( внутреннее трение ) жидкости проявляется в наличии еще дополнительного, необратимого, переноса импульса из мест с большей в места с меньшей скоростью.
Поэтому уравнения движения вязкой жидкости можно получить, прибавив к "идеальному" потоку импульса дополнительный член ... , определяемый необратимый, "вязкий" перенос импульса в жидкости.
Таким образом, мы будем писать тензор плотности потока импульса в вязкой жидкости в виде
...
Тензор
...
называют тензором напряжений, а ... - вязким тензором наряжений.
... определяет ту часть потока импульса, которая не связана
с непосредственным переносом импульса вместе с массой
передвигающейся жидкости.
Процессы внутреннего трения в жидкости возникают только в тех случаях, когда различные участки жидкости движутся с различной скоростью, так что имеет место движение частей жидкости друг относительно друга.
Поэтому ... должно зависеть от производных скорости по координатам. Если градиенты скорости по координатам не очень велики, то можно считать, что обусловленный вязкостью перенос импульса зависит только от первых производных скорости.
Зависимость ... от производных ... можно в том же приближении считать линейной. Не зависящие от ... члены должны отсутствовать в выражении для ... , поскольку ... должно обращаться в нуль при ... = const.
... должно обращаться в нуль также в том случае, когда вся жидкость как целое совершает равномерное вращение, поскольку при таком движении внутреннее трение не происходит. При равномерном вращении с угловой скоростью ... скорость ... равна векторному произведению ... . Линейными комбинациями производных ... , обращающимися в нуль при ... , являются суммы
...
Поэтому ... должно содержать именно эти симметричные комбинации производных ... .
Наиболее общим видом тензора второго ранга, удовлетворяющего этим требованиям, является
...
с не зависящими от скорости коэффициентами ... и ... . Величины ... и ... называются коэффициентами вязкости ( причем .. часто называют второй вязкостью ).
3. Уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах
Уравнения движения вязкой жидкости можно
теперь получить непосредственно путем прибавления выражения ... к
правой части уравнений Эйлера
...
Получаем,
...
Величины ... и ... являются в общем случае функциями давления и температуры. Поэтому они не постоянные в объеме и не могут быть вынесены из-под знака производной.
При постоянных значениях коэффициентов вязкости уравнения Навье-Стокса в векторной форме имеют вид
...
Уравнения были впервые сформулированы Навье в 1827 году, вывод уравнений близкий к современному, был дан Стоксом в 1845 году.
Если жидкость считать несжимаемой, то ... = 0 и последний член исчезает
...
Тензор напряжений в несжимаемой жидкости принимает более простой вид
...
Отношение ... = ... называют кинематической вязкостью, ...
- динамической вязкостью.
Граничные условия.
Между поверхностью твердого тела и вязкой жидкостью существуют силы межмолекулярного сцепления, приводящие к тому, что прилегающие к твердой стенке слой жидкостью как бы прилипает к ней.
Граничные условия к уравнениям движения вязкой жидкости состоит в требовании обращения в нуль скорости жидкости на неподвижных твердых поверхностях
...
В общем случае движущейся поверхности скорость ... должна быть равна скорости этой поверхности.
4. Течение в трубе
Известно несколько точных решений для уравнений
Навье-Стокса. Рассмотрим одно из них - для случая стационарного течения жидкости в трубе произвольного сечения ( одинакового вдоль всей длины трубы ).
Ось трубы выберем в качестве оси ... . Очевидно, что скорость ... жидкости направлена везде по оси ... и является
функцией только от ... и ... .
Уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно, а проекции на оси ... и ... из системы уравнений Навье-Стокса дают
...
То есть давление постоянно вдоль сечения трубы. Уравнение в проекции на ось ... дает
...
Откуда имеем, что ... = const , градиент давления можно записать в виде ... , где ... - разность давлений на концах трубы, а ... - ее длина.
Распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двумерным уравнением типа
...
Уравнение должно быть решено при граничном условии ...= 0 на контуре сечения трубы.
Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре трубы кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии ... .
Воспользуемся выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем
...
Интегрируя, находим
...
Постоянную a надо положить равной нулю, поскольку скорость должна оставаться конечной во всем сечении трубы, включая ее
центр.
Постоянную b определим из требования ... = 0, при r = R ( где R - радиус трубы ) и получаем
...
Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону.
Определим расход жидкости в трубе - количество ( массу ) жидкости Q, протекающей в 1 секунду, через поперечное сечение трубы.
Через кольцевой элемент ... площади сечения трубы проходит в 1 секунду количество жидкости ... .
Поэтому
...
Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой
Тема 12.
Дозвуковое и сверхзвуковое течения газов
(основы газодинамики)
1. Адиабатически установившееся течение.
2. Уравнение состояния.
3. Удельные теплоемкости газа.
4. Первый закон термодинамики. Энтальпия. Энтропия.
5. Характеристики заторможенного потока.
6. Сопло Лаваля.
7. Скачок уплотнения.
8. Теория Ньютона.
1. Адиабатическое установившееся течение. Истечение из резервуара. Характеристики заторможенного газа
Изучение движения газов с высокими скоростями, достигающими скорости звука, является предметом газовой динамики.
Одной из фундаментальных задач последней является исследование течений без учёта сопротивлений и в отсутствие теплообмена (т.е.) адиабатических. В этих условиях уравнение баланса удельной энергии имеет вид
...
Уравнение адиабаты идеального газа представим в виде
...
Будем отмечать в дальнейшем индексом "о" величины, характеризующие газ, находящийся в покое, или, как говорят в газодинамике, в заторможенном состоянии, подставим в уравнение неразрывности
...
и после интегрирования
...
...
При установившемся течении весовой расход газа во всех сечениях по длине газопровода одинаков в течение всего процесса движения.
Следовательно при установившемся течении
...
что является выражением условия неразрывности при движении газа (и также сжимаемых жидкостей). В трубопроводе постоянного сечения одинаковой по длине трубопровода будет также весовая скорость
...
Изменение в удельном весе (плотности) идеального газа при изменении давления и температуры выражаются законом Клайперона-Менделеева
...
где Т - абсолютная температура газа,
... - газовая постоянная.
В технике имеют особое значение изотермическое и адиабатическое течения газа. При изотермическом (Т = ... ) течении идеального газа зависимость между давлением и плотностью получает вид
...
при адиабатическом
...
где ... - показатель адиабаты, ... - удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении, ... - удельная теплоёмкость газа
при постоянном объёме.
Имея в виду последнее соотношение, можно записать
...
получаем
...
Имея в виду, что ... = 0 при ... (состояние покоя),
найдём:
...
или
...
Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля
Запишем уравнение Бернулли в дифференциальной форме
...
Преобразуем уравнение Бернулли для газа так, чтобы можно было ввести число Маха. Имеем
...
квадрат скорости звука ... , тогда
...
Поделим на ... , получим
...
или в окончательном виде
...
где ..... - число Маха.
Другим уравнением, необходимым для анализа течений газа в трубе переменного сечения, является уравнение неразрывности, или сохранения массы.
Будем рассматривать одномерное установившееся течение
газа вдоль трубы переменного сечения, при этом предположим, что
параметры потока газа, такие, как скорость потока, давление и
плотность, одинаковы во всех точках каждого из конечных сечений,
перпендикулярных к оси трубы.
Это предположение довольно хорошо соответствует действительности для элементарной трубки тока, но его применяют и для труб конечных размеров, используя средние величины по сечениям трубы.
Через каждое поперечное сечение трубы в случае одномерного течения проходит за 1 с масса газа ..........., где ... - площадь поперечного сечения трубы, ... - скорость течения газа, ... - плотность газа. ПРи установившемся течении через все поперечные сечения должна пройти одна и та же масса газа, т.е.
...
Прологарифмируем это уравнение сохранения массы. Получим
...
Считая переменными величины .............., возьмём полные дифференциалы от обеих частей. Имеем
...
Это и есть уравнение неразрывности для установившегося одномерного течения идеального газа в трубе переменного сечения.
Из уравнения неразрывности и уравнения Бернулли исключим величину ... . Получим
...
Это уравнение носит название уравнения Гюгонио.
Используя уравнение Гюгонио, проанализируем характер возможных течений газа в трубе переменного сечения.
Из уравнений следует:
1) при ... 1, что соответствует дозвуковым течениям, знаки величин ... и ... противоположны, т.е. там, где возрастает
..., в направлении течения скорость должна убывать, и наоборот
2) для сверхзвуковых течений ......1, знаки ... и ... одинаковы, т.е. сверхзвуковой поток расширяется противополож-
но дозвуковому. Чтобы увеличить его скорость, трубу следует расширить
3) при ... = 1 имеем ... = 0, т.е. в этом случае ... достигает максимума или минимума. Можно показать, что ... = 1 может быть только в самом узком сечении трубы, где .......
Выводы о характере течений газа в трубах переменного сечения нашли применение в конструкциях сопел современных ракетных двигателей и аэродинамических трубах больших скоростей. Для получения больших сверхзвуковых скоростей выходящего из сопла газа следует сначала сопло сужать, чтобы получить звуковую скорость газа в узком сечении сопла, а затем сопло надо расширять для дальнейшего увеличения скорости выходящего из него газа.
Наибольшая скорость, которая может быть получена на выходе из сопла, зависит от площади выходного сечения и должна обеспечиваться необходимым для ... скорости давлением на входе в сопло.
1. Уравнение состояния.
Опыт показывает, что между основными параметрами, характеризующими состояние газа (давлением, плотностью и температурой), существует определённая зависимость.
Уравнение ............ = 0 , устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния.
Поэтому состояние любого газа определяется двумя параметрами (например, плотностью и температурой), так как третий параметр (давление) можно найти из уравнения состояния.
Для идеального газа уравнение состояния можно записать в виде
...
где ... - газовая постоянная, зависящая от относительной
молекулярной массы газа ... . Для воздуха ... = 29, ... = 287 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
