85882 (597844), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Дробное число имеет бесконечное множество названий и обозначений.
Обыкновенные дроби в отличии от десятичных читается неоднозначно.
При первоначальном введении новых понятий, надо начинать с небольшого 2-3х минутного исторического экскурса.
Источники получения дробных чисел.
1. Дробные числа появляются как результат измерения величин.
2. Разделение предметов на доли.
Дробные числа появляются в результате деления одного числа на другое.
Первоначальное ознакомление учащихся с дробью начинается в начальных классах, в 3 классе они знакомятся с долями, методикой ознакомления с простейшими дробями опора на конкретные образы долей величины, на практическое получение той или иной доли, а затем и дроби путем деления предметов, геометрических фигур на нужное число равных частей.
Нельзя допускать формального введения этих понятий.
В начальных классах для введения дроби учащиеся должны:
1) уметь называть и показывать доли со знаменателями не превышающие числа 10. Знать обиходное название этих дробей 
(половина, три, четверть).
2) уметь читать и записывать обыкновенные дроби со знаменателями не превышающие числа 10, показывать соответствующую дроби отрезка.
3) уметь сравнивать с опорой на рисунке указанные выше дроби, без опоры на рисунок уметь сравнивать дроби у которых числитель дроби =1.
4) уметь решать задачи на нахождение доли числа и числа по его долям, а также на нахождение дроби числа.
Каждый раз при решении таких задач используются рисунки, схемы, простые чертежи.
Изучение обыкновенных дробей начинается в 5 классе. В первом издании учебника математики 5- го класса уделялось мало времени на повторение материала 4- го класса.
Во втором издании этого учебника время на повторение увеличено, более обосновано излагается введение дробного числа.
Понятие дроби вводится в объеме достаточным для введения десятичных дробей. Здесь изучаются сведения о дробных числах, необходимых для систематического изучения дробей. Основное внимание уделяется сравнению дробей с одинаковыми знаменателями, а затем к выделению целой части числа. Необходимо чтоб учащиеся поняли, что дроби 
разные записи равных дробных чисел.
Желательно широко использовать различного рода наглядные пособия (бумажные ленты, метод демонстраций, линейки и др.), а также варьировать условие задачи.
Н-р: 1) как записать в виде дроби 3:4=3/4
2) на сколько нужно разделить 3, чтобы получить дробь ¾ (на 4).
При изучении дробных чисел учащиеся должны понять общий вид дробных чисел. Особое место занимает так называемое смешанные числа. Учащиеся должны понимать, что 2+
=2
Смешанное число термин школьный А.А. Колмогоров считает его неудачным и предлагает заменять термином смешанная дробь.
Рассмотрения действия над дробями при малейшем затруднении учащихся необходимо использовать наглядность. Это изображение дроби как части отрезка, прямоугольника, круга. Практика опытных учителей показывает, что следует четче различать отдельные случаи сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.
Изучение этого материала лучше проходить в такой последовательности:
1) Сложение дробей , если знаменатель одной из дробей равен остальным.
2) Сложение дробей, если знаменатель одной прост, взаимно простые числа.
3) Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю и сложение дробей
4) Примечание законов арифметических действий сложению дробей, содержащих целые и дробные части.
5) Вычитание положительных дробей.
6) Замена единицы дробью при вычитании.
7) Вычитание чисел содержащих целую и дробную часть.
8) Сложение и вычитание рациональных чисел.
Лекция 6. Методика введения понятия отрицательного числа
1. Вопросы, связанные с отрицательными числами являются одним из трудных вопросов для освоения учащимися.
История развития математики показывает, что отрицательные числа значительно труднее дались человеку, это связано с тем, отрицательные числа менее связаны с практической жизнью.
Отрицательные числа возникли в связи с необходимостью выполнения с известными числами. Математики древней Греции не признали отрицательных чисел, они не могли дать им конкретного толкования. Лишь работу Диофанта (3 в. н.э) встречаются преобразования, которые приводят к необходимости выполнения операций над отрицательными числами.
Отрицательные числа появляются лишь в зачаточной форме. Довольно широкое распределение они получили в работах индийских ученых. Положительные числа они называли настоящими, а отрицательные- не настоящими- ложными. Отрицательные числа рассматривали, как долг, а положительные числа как наличные деньги.
Первые правила сложения и вычитания принадлежат индийским ученым. И связаны с трактовкой этих чисел как имущество и долг.
Ученые долго не могли объяснить, дать трактовку произведения двух отрицательных чисел. Почему произведение 2-х долгов есть имущество. Такие ученые как Эйлер, Коми давали свое объяснение правилу произведения чисел, но они приводили к ошибочным результатам.
Немецкий ученый М. Штифель впервые в 1544 г. дал определение отрицательных чисел, как чисел меньших нуля.
Впервые математическую интерпретацию дал Рене Декарт в 1737 г. в книги «Аналитическая геометрия». Отрицательные числа он рассматривал как самостоятельное, расположенное на оси ОХ влево от начало координат. Однако он эти числа назвал ложными. Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине 21 века, так отрицательные числа вошли в историю математики.
2. Различные приемы введения отрицательных чисел. В учебной литературе можно отметить 3 способа введения отрицательных чисел.
1) Рассматриваются случаи, когда вычисление на множестве положительных чисел ложно.
2) Рассматривают векторы расположенные на одной прямой, необходимость охарактеризовать не только их длину, но и направление приводит к понятию положительных и отрицательных чисел.
3) Введение отрицательных чисел посредством расположения изменяющихся величин в противоположных направлениях.
Методика введения отрицательного числа.
Прежде чем дать понятие об отрицательном числе необходимо показать на конкретных примерах, что известно уч-ся чисел недостаточно для характеристики положения точки на прямой к началу отсчета.
На достаточном количестве примеров надо показать неудобства понятия типа вправо или влево, вверх или вниз начертить числовую ось. Необходимо отложить начало отсчета и чтоб для определенности таких шкал, которые находятся вправо со знаком плюс, влево с противоположным знаком- минус.
В учебнике рассматривается достаточное число примеров, показывающих о целесообразности использования определенных знаков для обозначения направления противоположности движения. Для понятия введения отрицательного числа необходимо пользоваться демонстративным термометром и другими пособиями.
Знакомству с противоположными числами способствует изучение центра симметрии.
Понятие о противоположных числах связывается симметричными точками. В тоже время введение этого понятия основывается с геометрическим истолкованием положительных и отрицательных чисел.
В пункте противоположных чисел вводится определение целых чисел. Натуральные числа, противоположные числа, нуль- называют целыми числами. Модуль числа- понятие модуль числа дает от начала отсчета до точки соответствующему числу. Следует обратить внимание учащихся как мотивировать определение модуля числа.
В учебниках понятие модуля числа вводится путем рассмотрения примеров, поясняют как находить модуль числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным ибо модуль числа это расстояние- обращается внимание, что для положительного числа модуль равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
Сравнение чисел.
Соотношения равенства и неравенства между положительными и отрицательными числами вводится по определению, они не могут быть получены путем доказательства, причем очень важно показать учащимся целесообразность определения на конкретных примерах и геометрических образах.
Учащиеся должны на столько прочно усвоить расположение чисел на числовой прямой, чтобы это могло служить основным средством сравнения чисел. Иногда возникают трудности в сравнении отрицательных чисел, чтобы преодолеть их, необходимо рассмотреть их на числовой прямой.
Действия над отрицательными и положительными числами.
Основное, что надо учитывать учителю при рассмотрении этого материала – это действия сложения и вычитания над положительными и отрицательными числами вводится по определению, причем формулировки этих определений должны включать в себя ранее известные учащимся понятия об этих действиях. Вычитание и деление определяются как обратные сложению и умножению.
В учебнике отдельно дается определение действия сложения чисел с разными знаками, формулировки этих правил содержат указание на следующие действия. В учебнике большое время уделяется к тому как подойти к действию сложению. Основное внимание уделяется к рассмотрению конкретных задач, обращаясь при этом к координатной прямой.
Каким бы путем не вводилось правило сложение учащимся должно быть ясно, что ничто не доказывается при рассмотрении следующих примеров.
Примеры признаны лишь иллюстрировать целесообразность правил. Учащиеся должны овладеть навыками выполнения сложения 2-х отрицательных чисел с разными знаками, противоположных чисел, нуля с положительными и отрицательными числами.
Рассматривая свойства действий важно показать учащимся, что при установленных определениях действий сложения и вычитания чисел сохраняется все те законы которые имели место для положительных чисел.
Учащимся дается формулировка переместительного и сочетательного законов запись каждого из них с помощью букв.
Вычитание отрицательных чисел определяются как действие обратное сложению. Вычитание сводится к прибавлению противоположного числа.
Умножение положительных и отрицательных чисел представляет наибольшую трудность, трудность заключается в том, что учащейся испытывают потребность в доказательстве правил знаков при умножение, а учитель должен убедить учащихся, что такого доказательства нельзя искать или требовать, таким образом действие умножения вводится по определению, которое можно ввести по разному и по разному истолковать правило знаков. Сложения и умножения имеют много общего, однако трактовка правил умножения вызывает больше трудности.
Рассмотрим объяснения правил умножения является рассмотрение конкретных задач, решение которых требует вычисление по формуле а в, при различных а и в. недостатком этого метода является, то что они доказывают правило умножения.
Многие авторы придерживаются пути, когда в начале дается формулировка правил умножения, затем оно поясняется на примерах, задачах. Учащийся убеждаются на конкретном математическом в практичной целесообразности введенного определения. обычно в учебниках формулировки правил умножения чисел с разными знаками и правил умножения натуральных чисел представляет расписания рядов примеров.
При этом используется положение о том, что если изменить знак одного из множителей, то изменится знак произведения.
Правило формулируется удобным для использования вида. Необходимо обратить внимание учащихся на условия равенство произведения нулю.
Деление положительных, отрицательных чисел рассматривается как действие обратное умножению. Учащемуся сообщается, что деление положительных и отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел. Важно обратить внимание на законы вычисления и умножения выражений.
Так же как и в случая сложения, правило сложения и умножения натуральных чисел может быть выведены из умножения чисел. Считая, что правило знаков для суммы известно.
В 6 классе в теме рациональные числа вводятся памяти отрицательные числа, которое может быть записано в виде дроби. Расписывается множество рациональных чисел можно сбить внимание, что когда выполнимо :, +, *, - на число не равное нулю.
При вычитании или выполни действий учащийся получают числа того же множества и это множество обладает свойством замкнутости по отношению к действиям первой и второй степени. Для сложения справедливы переместительный и сочетательный законы имеется нейтральный элемент, имеется противоположный элемент.
Для умножения справедливы первый распределительный и сочетательный закон, имеется нейтральный элемент 1, противоположный элемент (
).
Лекция 7. Методика введения действительных чисел
Изложение вопроса о действительных числах начинается обычно с задачи об извлечении корня.
Однако опрос об извлечении корня не является главным.
В процессе введения понятия действительного числа, главной задачей является дополнение рационального числа до непрерывности.
При этом решается задача об извлечение корня из положительного числа.
При введении понятия действительного числа в связи с его введением возрастает много важных методических вопросов, которые в различных пособиях решаются по разному.
1.Каким должно быть понятие действительного числа сложенного у учащихся в результате изучения темы.
2.Нужно ли определение, если нужно, каким должно быть определение действительного числа.
3. из каких конкретных задач должен возникать вопрос о введении действительного числа и др.
В зависимости от того как будут решены эти вопросы попутно будут решатся и другие достаточно важные
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
