85882 (597844), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Теорема в условной форме выражается так «если параллелограмм является прямоугольником, то вокруг него можно окружность». Здесь идет речь в условии теоремы.
Теорема: «Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником»- это признак прямоугольника
Теорема в условной форме: «если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником».
Лекция 2. Индукция. Дедукция. Аналогия
Доказательство любой теоремы состоит из цепочки умозаключения.
Умозаключение- это рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений называемых посылками умозаключения выводятся новые суждения называемые заключением или следствием, логически вытекающих из посылок.
Умозаключение делится на непосредственные и опосредованные.
Непосредственным умозаключением называется умозаключение, если вывод делается на основании только одной посылки. (Н-р: параллелограмм- это четырехугольник.- нет не может)
Опосредованным умозаключением называется, если вывод делается на основании нескольких посылок. Умозаключение бывает достоверным, если вывод истинное утверждение и вероятностным, если истинность вывода не определена.
В зависимости от общности посылок и вывода выделяют следующие виды умозаключений:
Дедуктивное
Индуктивное
Традуктивное
Дедуктивное умозаключение или дедукция (от лат. выведение)- умозаключение от общего к частному, частичному или от более общего к менее общему.
Индуктивное умозаключение или индукция (от лат. наведение)- от частного к общему или от менее общего к более общему.
Традуктивное или традукция (от лат. перемещение)- умозаключение, в котором посылки и вывод имеют одинаковую степень общности.
Дедуктивное умозаключение - может быть непосредственным и опосредованным.
Самым распространенным видом опосредованного умозаключения является силлогизм.
В силлогизме содержатся три понятия, и состоит из посылок и вывода, его структуру можно представить в следующем виде:
Пример силлогизма
П - р силлогизма: Все ромбы (М) есть параллелограммы (Р).
Доказательство любой теоремы состоит из нескольких силлогизмов, на которые при доказательстве теорем делают ссылки только в устной форме, особо не выделяя силлогизмы (этапы доказательства).
П-р: Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков обоих хорд равны произведению отрезку другой хорды.
Дано:
АВ и СД - хорды
Е- их точка пересечения
Доказать: АЕ*ВЕ=СЕ*ДЕ
Доказательство:
1 Силлогизм
БП Вписанные углы опирающие на одну и ту же равны.
МП угол 
1 и 2 вписанные и опираются на дугу АД.
В: Угол 1= 2
2 Силлогизм.
БП: Вертикальные углы равны.
МП: Угол 3 4 вертикальные углы.
В: угол 3= 4 .
3 Силлогизм
БП: 
АСЕ и ВЕД подобны.
МП: 1= 2, 3= 4 т.к они подобны.
В: 1= 2, 3= 4
4 Силлогизм БП
МП АЕ
ЕД; СЕ ЕВ; АС ВД
В АСЕ ВЕД
Задание: Доказать любую теорему из учебника в форме выделения силлогизмов.
Полная и неполная дедукция.
В том случае когда дедукцией вывод делается после рассматривания не всех частных случаев индукция называется неполной.
Примеры неполной индукции: рассмотрим умножение 2-х чисел
26*24=624
47*43=2021
62*68=4216
сумма единиц-10
первые цифры – одинаковые.
Рассмотрев произведение этих чисел делают вывод. Для любых чисел 
и 
, где сумма
b+c=10, тогда произведение может быть найдено по следующему правилу:
* =a(a+1)*100+bc
этот вывод сделан на основе неполной индукции от частного к общему и нуждается в доказательстве, т.к может оказаться ложным.
Примеры на сокращение дробей:
Из рассматриваемых примеров можно сделать вывод, что в числитель и знаменатель можно вычеркнуть b, а иногда нельзя .
Из приведенных примеров видно что неполная индукция вероятностно умозаключению. Она не может использоваться для доказательства утверждения, но она поможет выделить гипотезы на основании подмеченных закономерностях.
Н-р: Найти ГМТ на плоскости равноудаленных концов отрезка АВ.
Полная индукция противоположность неполной индукции, служит методом строгого логического доказательства.
Может быть использована при доказательстве утверждений относящиеся как к конечному так и бесконечному множеству объекта.
П-р: Значение выражения 
является целым числом при любом х равных 0, -5, 1.
В случае доказательства некоторым утверждениям для бесконечного множества объектов методом полной индукции это множество разделяется на конечное число не пересекающихся подмножеств, которые при объединении должны составлять данное множество.
В школьном курсе полная индукция применяется при доказательстве о величине вписанного угла, теорема косинусов.
Литература:
-
Н.Я. Виленкин «Индукция. Комбинаторика» Москва, 1976
-
Головина Л.И. , Яглан И.М. «Индукция в геометрии» 1956г, Москва.
Аналогия.
Аналогия- является видом традуктивного умозаключения. Она также , как и полная индукция относится к вероятностному умозаключению.
Аналогия- это утверждение, при котором значение об одном объекте переносится на другой объект, сходимый с первым, иногда его называют умозаключение по сходству.
Различают умозаключение простую и распространенную аналогию.
В распространенной аналогии от сходства явлений делают вывод о сходстве причины.
Простая аналогия- это аналогия, в которой от сходства двух объектов в одних признаках, отношениях заключают о сходстве их других признаков и отношениях.
Н-р: Предмет А имеет признаки 1, 2, 3. Предмет В 11, 21, 31- признаки.
В: вероятно объект имеет признак 3 сходный с 31.
Н-р: 1) у прямоугольника все углы прямые (А)
все диагонали равны (В)
точкой пересечения делятся пополам (С).
у прямоугольного параллелепипеда все линейные углы трех равных углов прямые (А)
диагонали равны (В1)
В: (вероятно диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам С1)
Можно заметить сходство треугольника и тетраэдра.
Треугольник выпуклая фигура на плоскости образована наименьшим числом пересечения плоскостей.
Тетраэдр выпуклая фигура в пространстве образуется пересечений плоскостей в пространстве.
Вероятно, свойства у них сходны.
Литература:
-
Ердниев П.А., Ердниев Б.П. «Аналогия в задачах» 1989
-
Ердниев П.М. «Аналогия в математике» Москва
Лекция 3. Методы доказательств
Доказательство- это цепь логических рассуждений, связывающие условие и заключение теоремы опирающихся на известные теории (теоремы, определения, аксиомы) и обосновывающих истинность заключения. К доказательству теорем учащихся необходимо готовить с первого по 6 классы, научить их наблюдательности, подмечать закономерности и т.д.
Необходимо научить учащихся приводить контрпримеры, они являются доказательством.
Н-р: 1) четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны являются ромбом
2) В четырехугольнике противоположные углы по 90 градусов n-угольник.
При изучении геометрии особенно на начальном этапе большое значение имеет вид чертежа, его расположение.
Методы доказательства теорем делятся на два вида: прямое и косвенное доказательства.
Если доказательство соединяет условие и заключение теоремы, то его называют прямым доказательством.
Если оно связывает условие и заключение другой теоремы (суждение), но в силу логических законов обосновывает истинность доказываемой теоремы, то это косвенное доказательство.
Метод доказательства- это способ связи заключений доказательства.
В широком смысле анализ и синтез являются операциями мышления и следовательно могут рассматриваться как методы познания действительности.
Слово анализ от греч., разложение, расчленение.
Анализом обычно наз. такую операцию мышления с помощью, которой переходят от целого к его частям, от сложного к простому, от следствия к причине, от искомого к данным.
Слово синтез от греч., соединение, сочетание, составление.
Синтез представляет собой операцию мышления с помощью которой переходят от части к целому, от простого к сложному, от причины к следствию, от данных к искомому.
Кроме того над анализом понимают коллективное изучение свойств объекта, а под синтезом их качественное изучение.
Поскольку анализ и синтез связывают причину (условие теоремы, задачи) со следствием (заключением теоремы , требованием задачи) их рассматривают как метод доказательства.
Синтетический метод доказательства определяется тем, что рассуждения ведутся от условия к заключению теоремы это метод прямого доказательства.
А
С
(А Т)
В1 В2 В3 … Вх С, где Т известные математические предложения в рассмотрении теории.
В1,В2,В3,…,Вх- следствие из условия.
Вывод об истинности С делается по закону логики.
Синтетический метод- метод строгого доказательства.
П-р: Теорема: Если противоположные стороны некоторого четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм.
Дано
АВ=СД, ВС=АД (условие А)
Доказать: АВСД- параллелограмм (заключение)
Доказательство:
1) АВС= АСД (В1)
2) САД= ВСА
ВАС= АСД (В2)
3) ВС//АД, АС//СД (В3)
4) АВСД- параллелограмм (С)
В учебнике все теоремы даются синтетическим методом.
Синтетический метод- является самым коротким методом доказательства.
Аналитический метод доказательства характеризуется тем, что рассуждения ведутся от заключения к условию теоремы.
Анализ как метод доказательства встречается в двух формах: восходящий анализ (совершенный анализ), анализ Паппа и нисходящий анализ (несовершенный анализ) – анализ Евклида.
При восходящем анализе для доказываемого утверждения последовательно набирают достаточное основание от следствия восходят к причине, схема восходящего анализа следующая:
Пусть требуется доказать что из А С
Док-во: В1 С (достаточное условие для С)
В2 В1
В3 В2
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
