85838 (597839), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

, (12.2)

и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех , поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно . Отсюда и следует, что функция непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).

Из (11.4) получим

. (12.3)

Комплексная функция , определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции . В свою очередь, формула (12.3) определяет как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции . Равенство (12.3) при заданной функции можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции , решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции при заданной дает формула (12.3).

В формуле (12.3) выражение задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке и суммарной комплексной амплитудой . Функция называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде

,

можно трактовать, как разложение функции в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке .

Равенства Парсеваля. Пусть и – Фурье-образы вещественных функций и соответственно. Тогда

; (12.4)

, (12.5)

т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем . Заменив функцию ее выражением (12.3) через Фурье-образ , получим

.

В силу (12.1)

.

Поэтому , т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при .

Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать , также является вещественной четной функцией. Действительно,

.

Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,

. (12.6)

Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.

Из (12.6) следует, что функция вещественна и четным образом зависит от , так как входит в (12.6) только через косинус.

Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает

= .

Так как и – соответственно четная и нечетная функции переменной , то

. (12.7)

Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.

Аналогично, если вещественная функция нечетна, то ее преобразование Фурье , где – вещественная нечетная функция от . При этом

; (12.8)

. (12.9)

Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.

Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции только для . Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке . В этом случае при интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.

Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные «неберущиеся» интегралы.

Пример 1. Вычислить интеграл Лапласа .

Решение. Найдем Фурье-образ функции где :

.

С помощью формулы обратного преобразования Фурье

получим

или

.

Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому

.

Пример 2. Вычислить разрывной множитель Дирихле , если .

Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции

получим

;

.

Таким образом,

В частности интеграл Дирихле

.

Пример 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона .

Решение. Сначала вычислим интеграл , применив к функции , где , преобразование Фурье и введя замену

= ;

.

Отсюда , и, следовательно, с заменой можно записать

.

Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы

; .

Упражнение 2. Доказать, что

,

используя равенство Парсеваля.

§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье

Тот факт, что функция является Фурье-образом функции , будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: .

Свойства преобразования Фурье:

1. Теорема линейности. , где . Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.

2. Теорема подобия. , где . Обозначив , получим

3. Теорема смещения. , где . Введя замену , получим

.

Следствие.

, (13.1)

где . Действительно,

.

4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций и называется функция

.

Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на : .

Так как по определению

,

то, выполнив во внутреннем интеграле замену , получим

=

= = ,

что и требовалось доказать.

5. Теорема об образе производной. Пусть функция и ее производная абсолютно интегрируемы на промежутке . По формуле Ньютона – Лейбница

.

Так как производная интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при . Следовательно, существует конечный предел . При этом , ибо в противном случае функция была бы неинтегрируемой на промежутке . Точно также доказывается, что .

Введем в рассмотрение Фурье-образ производной

.

Выполнив интегрирование по частям, получим

.

Так как внеинтегральный член равен нулю, то

.

Таким образом, операции дифференцирования функции соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель . Аналогично, если функция имеет абсолютно интегрируемые производные до n-го порядка включительно, то

, .

Следствия. 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.

2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.

Пример 1. Доказать, что

, (13.2)

где .

Решение. Положим

Тогда

Таким образом,

,

и по теореме о свертке

.

Пример 2. Найти решение уравнения

(13.3)

при , удовлетворяющее начальному условию

. (13.4)

Замечание. Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.

Решение. Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на , проинтегрируем его по х от до . Тогда

или

, (13.5)

где – Фурье-образ функции .

Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:

.

Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции переменной t, где – параметр.

Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):

. (13.6)

Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция

.

С помощью (12.3) находим – прообраз функции :

. (13.7)

Последний интеграл в (13.7) равен . Поэтому

.

По теореме о свертке

,

или

. (13.8)

Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона.

Пример 3. Найти решение волнового уравнения

, (13.9)

удовлетворяющее начальным условиям

. (13.10)

Замечание. Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией , физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны – это отклонение струны от ее равновесного положения, функции (х) и задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа , где и – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики – скорость возмущенного движения в точке в момент времени ; – скорость звука в невозмущенной среде и т.д.

Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

где – параметр.

Решение задачи имеет вид

Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера

(13.11)

Характеристики

Список файлов книги