85838 (597839), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим

.

Тогда

. (13.12)

При возмущение сохраняет постоянное значение , если переменные и связаны зависимостью: . Иными словами, возмущенное состояние переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью . Поэтому говорят, что функция определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а – это скорость распространения возмущений в среде.

Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени есть результат сложения волн и , вышедших в момент времени из точек с координатами и соответственно.

Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее:

1. Произвольную функцию можно представить в виде «суммы» гармоник; если задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если задана на всей числовой оси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зрения приложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости, скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виде линейной суперпозиции гармонических колебаний.

2. В представлении формулы в виде ряда или интеграла Фурье естественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию .

3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.

Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция (х) дифференцируема, а (х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).

Глава 3. Операционное исчисление

§ 14. Преобразование Лапласа

Понятие оригинала. Кусочно-непрерывная функция называется оригиналом, если выполняются следующие условия:

1) для всех отрицательных t;

2) при растет не быстрее экспоненты, т.е. существуют такие постоянные M > 0 и c > 0, что для всех t.

Число с называется показателем роста . очевидно, что для ограниченных оригиналов показатель роста можно считать равным нулю.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

Если функция удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель (t) опускать, считая, что все рассматриваемые в этой главе функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Легко видеть, что оригиналами являются такие функции, как и т.п.

Можно доказать, что сумма, разность и произведение оригиналов являются оригиналами и что оригиналом является функция при (доказательства следует найти самостоятельно).

Замечание. Из этих утверждений следует, что многочлены произвольной степени , а также функции вида являются оригиналами.

Интеграл Лапласа. Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида

, (14.1)

где – комплексный параметр.

Теорема. Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости П_с: , где с – показатель роста f (t). В самом деле, по определению оригинала имеем . Таким образом, интеграл (14.1) мажорируется сходящимся интегралом , и, следовательно, сходится абсолютно в П_с.

Замечание. При доказательстве теоремы получено используемое в дальнейшем неравенство:

(14.2)

Преобразование Лапласа. Интеграл Лапласа

(14.3)

представляет собой функцию параметра p, определенную в полуплоскости П_с: . Функция называется Лаплас-образом (изображением по Лапласу) оригинала . Тот факт, что есть Лаплас-образ , обозначается или .

Соотношение (14.3), устанавливающее связь между оригиналом и его Лаплас-образом, называется преобразованием Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа следующие:

1. Теорема линейности. При любых постоянных и

.

Это утверждение вытекает из определения (14.3) и свойств интегралов.

2. Имеет место , что непосредственно следует из неравенства (14.2).

3. Теорема подобия. Для любого

.

Действительно, полагая , получим

.

4. теорема смещения. Для любого а . Действительно,

.

5. теорема запаздывания. Для любого . По определению преобразования Лапласа имеем

.

Здесь учтено, что при . Выполнив в последнем интеграле замену , получим

.

Обратное преобразование Лапласа. Установим связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Так как при оригинал , то

где – показатель роста .

Интеграл в правой части последней формулы есть интеграл Фурье для . Таким образом, Лаплас-образ функции является Фурье-образом функции . Из формулы обратного преобразования Фурье получим, что в точках непрерывности

.

Отсюда

(14.4)

Если в точке t функция терпит разрыв, то значение интеграла в (14.4) равно полусумме односторонних пределов в этой точке.

Формула (14.4) определяет обратное преобразование Лапласа, с помощью которого оригинал однозначно восстанавливается по своему изображению с точностью до значений в точках разрыва.

§ 15. Изображения простейших функций

Единичная функция Хевисайда. Имеем:

Так как при , то

.

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

Экспонента. По теореме смещения

Гиперболические и тригонометрические функции. В силу линейности преобразования Лапласа имеем

;

;

;

.

Степенная функция с натуральным показателем. Положим , где . Тогда при

.

При , поэтому

Отсюда

.

Так как , то

Упражнение 1. Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы оригиналов

Периодические функции. Если оригинал является Т-периодической функцией, то его изображение по Лапласу

(15.1)

Действительно, в этом случае

.

Выполнив замену , в силу периодичности будем иметь

.

Ряд в правой части последнего равенства представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Так как при , то ряд сходится, и его сумма равна , откуда и следует доказываемое утверждение.

Пример. Найти Лаплас-образ оригинала с периодом Т = 1).

Решение. Имеем

Следовательно, в силу (15.1)

.

Ступенчатые (кусочно-постоянные) функции. Ступенчатая функция , где , а числа образуют возрастающую последовательность, может быть представлена в виде

, ,

где

Тогда

Упражнение 2. Найти изображение кусочно-постоянной функции

Импульсные функции. Импульсной функцией будем называть функцию вида

где – функция, определенная для всех

Используя функцию Хевисайда с запаздывающим аргументом, можем записать

.

Введем функции , где . Тогда , и по теореме запаздывания

.

Пример. Найти Лаплас-образ импульсной функции

Решение. Так как

;

;

,

то

.

Дельта-функция Дирака. Рассмотрим семейство ступенчатых импульсных функций

(15.2)

и семейство их изображений по Лапласу

. (15.3)

При семейство функций расходится, так как

Введем условную функцию – дельта-функцию Дирака, которую будем считать пределом семейства (15.2): . Таким образом, дельта-функция равна нулю всюду, кроме точки , где она равна .

Изображением дельта-функции условимся считать предел семейства (15.3) при :

.

Далее по определению положим

; .

Можно доказать (и это следует сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

(15.4)

(15.5)

(15.6)

Выражения (15.5) и (15.6) корректны только при условии непрерывности функции f(t).

Замечание 1. Из утверждения (15.6) следует, что

что полностью соответствует теореме запаздывания.

Замечание 2. В силу (15.4) имеем

.

Таким образом, дельта-функцию формально можно рассматривать как производную единичной функции Хевисайда.

В прикладных дисциплинах дельта-функции широко используются для моделирования ударных сил, сосредоточенных нагрузок и тому подобных явлений.

§ 16. Основные теоремы операционного исчисления

Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов и называется функция

.

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функции Имеем . Так как при то

. (16.1)

Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е. , следует самостоятельно.

Теорема 1. Если и , то

.

Действительно, по определению (14.3) имеем

,

Характеристики

Список файлов книги