85838 (597839), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

.

Введем вместо t новую переменную . Тогда

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Найти оригинал , если его Лаплас-образ .

Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известны оригиналы:

.

Так как

,

то по теореме 1 имеем

.

Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:

,

где а и b – постоянные.

Упражнение 2. Найти свертку функций и .

Интегрирование и дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Если то .

Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда

.

Теорема 3. Если и – оригиналы и , то

. (16.2)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь

.

Тогда по теореме 1

.

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (16.2) дважды, получим

и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

Дифференцирование и интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа:

1. Если – оригинал с показателем роста , то его изображение имеет в области производные любых порядков.

2. При том же условии пределы, производные и интегралы от в области можно находить, выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).

Теорема 4. Если , то , т.е. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на . Действительно, дифференцируя (14.3) по параметру p, получим

.

Справа стоит интеграл Лапласа для функции , следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Применив несколько раз теорему 4, получим

.

Теорема 5. Если – оригиналы и , то

,

т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на . Так как в силу (14.3) имеем , то

.

Поскольку при и , то

.

Рассмотрим функции

.

По теореме 4 имеем

.

Так как , то по теореме 5

.

Точно так же получим

.

Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса

.

Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами.

Следствие 1. Если сходится интеграл

, (16.3)

то

. (16.4)

Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение непрерывно в замкнутой области . Переходя к пределу в (14.3) при , приходим к требуемому результату.

Следствие 2. Если сходится интеграл , то

.

Так как , то в силу (14.4)

.

Для справедливо равенство

.

Следствие 3. Если – оригиналы, то . Действительно, по теореме 3

. (16.5)

С другой стороны, (см. § 14). Переходя к пределу в (16.5) при , получим требуемый результат.

Следствие 4. Если – оригиналы и существует конечный предел , то

. (16.6)

Исходим из равенства

. (16.7)

В силу (14.4) и теоремы 3

. (16.8)

Из (16.7) и (16.8) получаем (16.6).

Формула (16.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при , имея в своем распоряжении только их изображения.

Упражнение. Вычислить несобственный интеграл , где .

§ 17. Формула разложения Хевисайда

Пусть изображение функции представляет собой дробно-рациональную функцию.

Теорема. Пусть , где и – дифференцируемые функции. Введем как полюсы функции , т.е. корни (нули) ее знаменателя. Тогда, если , получим формулу Хевисайда:

. (17.1)

Доказательство проведем для случая, когда и – многочлены степеней т и п соответственно, при этом т п. Тогда – правильная рациональная дробь. Представим в виде суммы простейших дробей:

. (17.2)

Отсюда Коэффициенты найдем из тождества (17.2), переписав его в виде

,

где

.

Умножим обе части последнего равенства на и перейдем к пределу при . Учитывая, что и , получим

,

откуда и следует (17.1). Теорема доказана.

Замечание 1. Если коэффициенты многочленов и вещественны, то комплексные корни многочлена попарно сопряжены. Следовательно, в формуле (17.1) комплексно сопряженными величинами будут слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным корням многочлена , и формула Хевисайда примет вид

, (17.3)

где первая сумма распространена на все вещественные корни многочлена , вторая – на все его комплексные корни с положительными мнимыми частями.

Замечание 2. Каждый член формулы (17.1) представляет собой записанное в комплексной форме колебание , где . Таким образом, вещественным корням ( ) соответствуют апериодические колебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями – затухающие колебания, чисто мнимым корням – незатухающие гармонические колебания.

Если знаменатель не имеет корней с положительными вещественными частями , то при достаточно больших значениях получим установившийся режим:

, (17.4)

где

;

– чисто мнимые корни многочлена с положительными мнимыми частями.

Колебания, соответствующие корням с отрицательными вещественными частями, экспоненциально затухают при и поэтому не входят в установившийся режим.

Пример 1. Найти оригинал изображения

.

Решение. Имеем . Выпишем корни многочлена : .

По формуле (17.1)

.

Здесь , , так как числа – корни уравнения . Следовательно,

.

Пример 2. Найти оригинал изображения

,

где а 0; .

Решение. Здесь функция , помимо очевидного корня , имеет бесконечно много корней, являющихся нулями функции . Решая уравнение , получим , откуда

.

Таким образом, корни знаменателя имеют вид и , где

Далее запишем

;

;

По формуле (17.3) находим оригинал

§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения

(18.1)

(здесь ) с начальными условиями

. (18.2)

Переходя в (18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь

. (18.3)

Изображения производных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем в виде

. (18.4)

Подставив (18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение

, (18.5)

где (характеристический многочлен); .

Из уравнения (18.5) найдем операторное решение

. (18.6)

Решением задачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):

Для задачи Коши в принятых обозначениях можно записать

;

;

.

Операторное уравнение имеет вид

.

разложим операторное решение на простейшие дроби:

.

С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:

.

Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид

.

Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями , где .

Решение. Запишем операторное уравнение

.

Его решение имеет вид

.

Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:

.

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями, где – ступенчатая импульсная функция.

Решение. Запишем операторное уравнение

и его решение

.

Из теоремы 2 § 16 следует

;

в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)

.

Окончательно,

.

Пример 3. На точку массой т, прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила . В момент времени точка подверглась удару, несущему импульс . Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.

Решение. Уравнение движения запишем в виде

,

где – упругая сила; – функция Дирака. Решим операторное уравнение

,

где . При

.

Если (случай резонанса), то

.

По теореме запаздывания

.

Окончательно,

Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях . Операторное решение в этом случае имеет вид

.

Пусть весовая функция – оригинал для . тогда по теореме 1 § 16 получим

. (18.7)

Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.

Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию , полагая

(18.8)

где – начальные значения искомого решения .

Как легко видеть, , и следовательно, .

Характеристики

Список файлов книги