85838 (597839), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. (7.3)

Так как – четная функция, то вследствие (7.1)

. (7.4)

Подобным же образом получим, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:

(7.5)

где

. (7.6)

§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L]

Пусть функция удовлетворяет на промежутке 0, L условиям Дирихле. Построим четное продолжение данной функции на промежуток –L, 0, полагая для . Полученную четную функцию разложим в тригонометрический ряд Фурье (7.3), содержащий только косинусы:

. (8.1)

Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (7.4), в которые входят только значения первоначально заданной функции:

. (8.2)

Аналогично, если функцию продолжить на промежуток –L, 0 нечетным образом, полагая для , и разложить полученную функцию в ряд Фурье на промежутке –L, L, то в этом разложении будут содержаться только синусы:

(8.3)

где

. (8.4)

На промежутке 0, L ряды (8.1) и (8.3) представляют одну и ту же функцию , но вне этого промежутка эти ряды ведут себя по-разному. Так на промежутке –L, 0 ряд (8.1) сходится к четному, а ряд (8.3) к нечетному продолжению функции .

Функции

; (8.5)

, (8.6)

участвующие в разложениях (8.1) и (8.3), образуют ортогональные системы на промежутке 0, L. Кроме того, как нетрудно проверить, . Поэтому величины и , определяемые формулами (8.2) и (8.4), представляют собой коэффициенты Фурье функции относительно ортогональных систем (8.5) и (8.6) соответственно, и, следовательно, ряды (8.1) и (8.3) являются рядами Фурье на промежутке 0, L для этой функции.

Замечание. Если функцию , заданную на 0, L, продолжить произвольным образом на промежуток 0, L, например, просто положив для , то ее разложение в тригонометрический ряд будет содержать и синусы, и косинусы:

. (8.7)

На промежутке 0, L этот ряд будет представлять заданную функцию, но, в отличие от рядов (8.1) и (8.3), ряд (8.7), вообще говоря, не является рядом Фурье для функции на указанном промежутке, так как система функций

,

участвующая в разложении (8.7), не ортогональна на 0, L (см § 2, упражнение 2, д).

§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций

Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида , где i – мнимая единица, – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке .

Скалярным произведением функций назовем комплексное число

,

где – функция, комплексно сопряженная с функцией .свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:

1.

2. билинейность

, .

Доказать свойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно.

Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение нормы функции оставим прежним, так что

.

Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:

1. теорема косинусов.

или в более общем виде

. (9.1)

2. Обобщенная теорема Пифагора. Если , то

.

Доказать свойства 1 и 2 следует самостоятельно.

3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции и непрерывны, то .

В самом деле, если , то на , и доказываемое неравенство выполняется. Пусть . Число очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (9.1), где и , имеем

.

Таким образом, , а так как , то , что и требовалось доказать.

Пусть теперь система комплексных функций

(9.2)

ортогональна на промежутке . Сопоставим функции ее ряд Фурье

(9.3)

где коэффициенты Фурье

.

Введем обозначения: – частичная сумма ряда Фурье; – произвольная линейная комбинация функций где .

Тогда, так же, как для вещественных функций (см. § 3), выполняется неравенство

(9.4)

где , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т.е. среди всех функций функция дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции .

Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в § 3:

а) если для некоторой функции выполняется равенство Парсеваля

, (9.5)

то ряд (9.3) сходится в среднем к , т.е. ;

б) ортогональная система функций (9.2) называется замкнутой на промежутке , если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из .

Введем в рассмотрение систему комплексных функций

. (9.6)

Свойства системы функции (9.6) следующие:

1. .

2. Функции являются 2L-периодичными: .

3. Система функций (9.6) ортогональна на промежутке –L, L. Действительно, при

.

Здесь использована формула .

4. .

Ряд Фурье для функции по системе функций (9.6) имеет вид

, (9.7)

где коэффициенты Фурье

. (9.8)

Система функций (9.6) замкнута на –L, L (принимаем без доказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения:

а) ряд (9.7) сходится в среднем к ,

б) для любой функции из выполняется равенство Парсеваля ,

в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции частичной суммой ее ряда Фурье,

.

Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции удовлетворяют на промежутке –L, L условиям Дирихле, то функция является суммой своего ряда Фурье:

. (9.9)

При этом предполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функции в точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3).

Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следует неравенство Бесселя .

Упражнение 2. Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4.

§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Пусть вещественная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке –L, L. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:

, (10.1)

где

. (10.2)

Если в (10.1) выразить и через показательную функцию от мнимого аргумента:

то получим ряд

, (10.3)

где в силу (10.2)

;

;

=

Последние три формулы можно объединить:

. (10.4)

Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Разложить функцию , где – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .

Решение. Найдем коэффициенты Фурье:

.

Поскольку , то

,

= .

Искомое разложение будет иметь вид

, (10.5)

где учтено, что

.

Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля

, (10.6)

можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

;

.

Тогда из (10.6) следует

.

Упражнение 1. Доказать, что

; .

Указание. Положить в (10.5) х = 0 и х = .

Упражнение 2. Доказать, что при

; .

Глава 2. Интеграл Фурье

§ 11. Сходимость интеграла Фурье

Пусть функция определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке –L, L заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:

, (11.1)

где

; (11.2)

– частота k-й гармоники; .

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим

. (11.3)

При величина . Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции по переменной в промежутке . Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при вместо ряда получим интеграл

. (11.4)

Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье.

Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.

Теорема. Пусть функция , во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке , т.е. интеграл сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (–L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к , т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка . Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.

§ 12. Преобразование Фурье

Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим

. (12.1)

Если функция непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция непрерывна на промежутке . Действительно, так как , то

Характеристики

Список файлов книги