85838 (597839), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. (4.1)

Левая часть неравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числового ряда

. (4.2)

Положительный ряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно, сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при , получим неравенство Бесселя

. (4.3)

Возвращаясь к формуле (3.3), заметим, что с увеличением п величина уменьшается, оставаясь неотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательная последовательность сходится. из (3.3) получим ее предел

. (4.4)

Если , где – частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции . В этом случае из (4.4) следует

(4.5)

Соотношение (4.5) называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модуля вектора.

Замечание. Из сходимости ряда в среднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова.

Если равенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества , или, что то же самое, для любой функции из ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная система называется замкнутой, а соотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например, являются системы функций из упражнения в § 3. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящего пособия.

Свойства замкнутых систем следующие:

1. Если непрерывная функция ортогональна всем функциям замкнутой системы, то она тождественно равна нулю. Действительно, в этом случае все коэффициенты Фурье равны нулю. Из (4.5) следует, что , и тогда (см. § 2, свойство нормы 2)

Таким образом, к замкнутой системе функций нельзя присоединить никакой новой функции, отличной от тождественного нуля, которая была бы ортогональна ко всем . Это свойство замкнутой системы функций называют ее полнотой.

Следствие. Если две непрерывные функции и имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они тождественно совпадают. Доказательство этого утверждения следует найти самостоятельно.

2. Пусть и – коэффициенты Фурье функций и относительно замкнутой ортогональной системы . Тогда

(4.6)

где, как и ранее,

Соотношение (4.6) называется обобщенным равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.3) для скалярного произведения векторов.

Так как для функций коэффициенты Фурье, очевидно, равны , в силу замкнутости системы из (4.5) следует

Вычитая почленно эти равенства и используя тождества

получим равенство (4.6).

3. Если – замкнутая ортогональная система функций, то

, (4.7)

т.е. интеграл от функции можно получить почленным интегрированием ее ряда Фурье. Для доказательства достаточно применить формулу (4.6) к функциям и

и учесть, что в этом случае . Тогда

Отметим, что справедливость формулы (4.7) установлена даже без предположения о сходимости ряда Фурье.

Упражнение. Доказать, что если ряд Фурье сходится равномерно на промежутке а, b к функции , то он сходится в среднем к этой функции.

§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L, L]

Система функций

(5.1)

ортогональна на промежутке –L, L (см. упражнение в § 3).

Показать, что следует самостоятельно.

Каждой функции , кусочно-непрерывной на промежутке –L, L, сопоставим ее ряд Фурье:

. (5.2)

Коэффициенты Фурье , в соответствии с (3.1), определятся формулами

(5.3)

Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.

Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид

. (5.4)

Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции на промежутке –L, L.

Частичные суммы

тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции ее тригонометрическим полиномом Фурье,

. (5.5)

§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле

Функция называется кусочно-монотонной на промежутке , если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.

Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке , то говорят, что на этом промежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема.

Теорема Дирихле. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке –L, L, то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точках промежутка сумма ряда Фурье , если в точке х функция непрерывна; в точках разрыва ; на концах промежутка , где – односторонние пределы в точке а.

Если доопределить (или переопределить) функцию , полагая в точках разрыва и f (–L) = = на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле

, (6.1)

где коэффициенты по-прежнему определяются формулами (5.3).

Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1)

(6.2)

называются гармониками. Введем в рассмотрение величины и , связанные с коэффициентами Фурье и соотношениями и . Тогда гармоника (6.2) запишется в виде , где – амплитуда гармоники; – ее частота; – начальная фаза. Множество частот образует дискретный частотный спектр функции на промежутке –L, L. Формула (6.1) примет вид

, (6.3)

т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.

Из равенства Парсеваля (5.4) следует

, (6.4)

где .

Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции на промежутке –L, L. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.

В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке –L, L следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2L-периодическая функция , которая на промежутке –L, L совпадает с заданной функцией . Функция , определенная указанным образом, называется периодическим продолжением .

Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке –L, L, то тригонометрический ряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.

Замечание. Если функция , заданная для всех , является 2L-периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию на всей числовой оси. В этом случае можно

получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:

, (6.5)

где с – любое число.

Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция имеет период Т, то интеграл не зависит от а. Действительно,

Выполнив в среднем интеграле замену переменной и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим

Последний интеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.

Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах , убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).

Если функция не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции должно входить ее периодическое продолжение .

Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2L, т.е. .

§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций

Функция , область определения которой симметрична относительно начала координат, называется четной (нечетной), если . Тогда или . Так, например, функции и нечетны, а и четны. Легко видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Предлагаем доказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла:

а) если функция четна, то

; (7.1)

б) если функция нечетна, то

. (7.2)

Указание. Представить интеграл в виде суммы интегралов: и в первом из них выполнить замену .

Пусть четная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке –L, L. Произведение будет нечетной функцией, и, поэтому, в силу (7.2)

.

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:

Характеристики

Список файлов книги