85868 (589890), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Підставив в цю рівність знайдені вище значення та прийняв до уваги, що в силу теореми Чеви , одержуємо:

.

Площа трикутника буде найбільшою при мінімальному значенні . Проведемо оцінку цього добутку.

Скористаємося нерівністю нерівність :

,

при цьому рівність має місце тоді й тільки тоді, коли .

Отже, шукана точка – точка перетину медіан трикутника , для якої .

Задача 3.4. Знайти в трикутнику таку точку , щоб добуток мав найбільшу величину ( – точки перетину прямих зі сторонами ).

Розв’язок.

Проведемо медіани трикутника , які перетинаються в точці . Оскільки середнє геометричне двох величин не більше їх середнього арифметичного, то

, , .

Піднесемо кожну нерівність до квадрата та перемножимо:

Згідно з теоремою Чеви маємо

.

Отже,

.

Нерівність перетворюється в рівність у випадку збігу основ прямих Чеви з серединами відповідних сторін, отже, в цьому випадку добуток має найбільшу величину , де – сторони трикутника.Отже, шуканою точкою є точка перетину медіан трикутника.

Задача 3.5. Прямі перетинають сторони трикутника (або їхні продовження) у точках . Довести, що:

а) прямі, що проходять через середини сторін паралельно прямим , перетинаються в одній точці;

б) прямі, що з'єднують середини сторін із серединами відрізків , перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай – середини сторін . Розглянуті прямі проходять через вершини трикутника , при цьому в задачі а) вони ділять його сторони в таких же відношеннях, у яких прямі ділять сторони трикутника , а в задачі б) – вони ділять їх у зворотних відношеннях. Залишається скористатись теоремою Чеви.

Задача 3.6. На сторонах трикутника взяті точки так, що відрізки перетинаються в одній точці. Прямі і перетинають пряму, що проходить через вершину паралельно стороні , в точках і відповідно. Довести, що .

Доведення.

Оскільки і , то

Тому

Задача 3.7. а) Нехай – довільні кути, при цьому сума будь-яких двох з них менше 180. На сторонах трикутника зовнішнім чином побудовані трикутники , що мають при вершинах кути . Довести, що прямі перетинаються в одній точці.

б) довести аналогічне твердження для трикутників, побудованих на сторонах трикутника внутрішнім чином.

Доведення.

Нехай прямі перетинають прямі в точках .

Якщо і , то

Останній вираз дорівнює у всіх випадках.

Аналогічно записуються вирази для і . Перемножуємо всі вирази і залишається скористатися теоремою Чеви.

Задача 3.8. Прямі перетинають прямі в точках відповідно. Точки обрані на прямих так, що

, , .

Довести, що прямі також перетинаються в одній точці (або паралельні). Такі точці і називають ізотомічно спряженими відносно трикутника .

Доведення очевидним чином випливає з теореми Чеви.

Задача 3.9. На сторонах трикутника взяті точки , при цьому прямі перетинаються в одній точці . Довести, що прямі

симетричні цим прямим відносно відповідних бісектрис, також перетинаються в одній точці . Такі точки і називають ізогонально спряженими відносно трикутника .

Доведення.

Можна вважати, що точки лежать на сторонах трикутника .

Згідно з теоремою Чеви в формі синусів

Оскільки прямі симетричні прямим відносно бісектрис, то , і т.д., тому

Отже,

,

тобто прямі перетинаються в одній точці.

Задачі для самостійної роботи

Задача 3.10. Протилежні сторони опуклого шестикутника попарно паралельні. Довести, що прямі, які з'єднують середини протилежних сторін, перетинаються в одній точці.

Доведення

Нехай діагоналі і даного шестикутника перетинаються в точці ; і – середини сторін і . Оскільки - трапеція, відрізок проходить через точку . Згідно з теоремою синусів

, .

Оскільки і , то .

Аналогічні співвідношення можна записати і для відрізків, які з'єднують середини двох інших пар протилежних сторін. Перемножуючи ці співвідношення, одержуємо необхідне.

Задача 3.11. Через точки і , що лежать на колі, проведено дотичні, які перетина-ються в точці . На дузі взяті точки і . Прямі і перетинаються в точці , і – у точці . Довести, що пряма проходить через точку .

Доведення.

Згідно з теоремою Чеви у формі синусів

Але .

Тому .

З цього випливає, що точки лежать на одній прямій, оскільки функція монотонна по :

Задача 3.12. а) На сторонах рівнобедреного трикутника з основою взяті точки так, що прямі перетинаються в одній точці. Довести, що

б) В середині рівнобедреного трикутника з основою взяті точки і так, що і . Довести, що точки лежать на одній прямій.

Доведення.

а) Згідно з теоремою Чеви

,

а по теоремі синусів

Підставляючи ці чотири рівності в попередню рівність, і враховуючи, що , одержуємо необхідне.

б) Позначимо точки перетину прямих і з основою через і . Потрібно довести, що . З а) випливає, що , тобто .

Задача 3.13. У трикутнику проведені бісектриси . Бісектриси перетинають відрізки та в точках . Довести, що .

Доведення.

Нехай відрізки і перетинають сторону в точках і . Тоді

Якщо – точка перетину бісектрис трикутника , то

,

отже,

.

Помітивши, що , і проводячи аналогічні обчислення для , одержимо .

Оскільки , то .

Задача 3.14. На сторонах трикутника взяті точки , при цьому перетинаються в одній точці. Довести, що .

Доведення

Нехай . Тоді

Згідно з теоремою Чеви

,

тобто .

Крім того,

Отже, .

Задача 3.15. На сторонах трикутника у зовнішню сторону побудовані квадрати. – середини протилежних сторін квадратів, побудованих на відповідно. Довести, що прямі перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай – точки перетину прямих зі сторонами відповідно.

Відношення дорівнює відношенню висот, які опущено з точок та на сторону , тобто дорівнює відношенню .

Далі,

,

де .

Аналогічно,

, .

Перемножуючи ці рівності, маємо

.

Згідно з теоремою Чеви прямі перетинаються в одній точці.

Задача 3.16. Нехай з точки , яка взята зовні кола, проведені дві дотичні і

до кола та дві січні, і нехай

та

– точки перетину кола з першою січною, а точки

та

– з другою. Тоді прямі

і

перетинаються в одній точці.

Доведення.

Застосуємо теорему Чеви до трикутника . Прямі

і

перетинаються в одній точці, якщо виконується рівність

(*)

Всі кути, що фігурують в останньому співвідношенні, – вписані в задане коло; синуси цих кутів пропорційні довжинам хорд, що стягаються ними (наприклад, , де

– радіус кола).Тому рівність (*) еквівалентна такій рівності:

(**)

Покажемо, що (**) насправді виконується. З подоби трикутників й

одержуємо

. З подоби трикутників

і

маємо

, і нарешті, з подоби трикутників

і

знаходимо

.

Перемножуючи останні три рівності, маємо (*)

.

Задача 3.17. Трикутник вписано в трикутник

: вершини

лежать на сторонах

відповідно. Довести, що якщо прямі, які проведені через вершини трикутника

перпендикулярно до відповідних сторін трикутника

, перетинаються в одній точці, то прямі, які проведені через вершини трикутника

перпендикулярно до відповідних сторін трикутника

перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай прямі, які проходять через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника

, перетинаються в точці

.

Оскільки точки лежать на колі, побудованому на відрізку

як на діаметрі, то

. Опустимо з точки

перпендикуляр

на пряму

. Оскільки

, то

, тобто пряма

симетрична прямій

відносно бісектриси кута

.

Аналогічні міркування для інших кутів показують, що перпендикуляри , які опущені з вершин трикутника

на сторони трикутника

симетричні прямим

відносно бісектрис трикутника

. Згідно з задачею 3.9 прямі

перетинають в одній точці.

Задача 3.18 (теорема Ван Обеля). На сторонах трикутника

взято точки

, так що прямі

перетинаються в одній точці. Довести, що

.

Доведення.

Нехай прямі перетинають пряму, яка проходить через точку

паралельно прямій

, в точках

і

.

Оскільки трикутник подібний до трикутника

, трикутник

подібний до трикутника

за першою ознакою подібності трикутників, то

;

. Додавши ці рівності і, враховуючи, що

, одержуємо:

.

Далі, трикутник подібний до трикутника

і трикутник

подібний до трикутника

.

Тому ;

.

Звідси випливає, що . З цієї рівності і рівності

безпосередньо випливає, що

.

Задача 3.19 Задано трикутник . Довести, що чевіани

, які ділять його периметр навпіл, перетинаються в одній точці.

Характеристики

Список файлов ВКР