Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Порівнюючи співвідношення (1.9.1), (1.9.2), (1.9.3) маємо:

Підставимо знайдений результат у теорему Менелая :

,

Тобто , що і треба було довести.

Задачі для самостійної роботи

Задача 1.10 Нехай – медіана трикутника . На взята точка так, що . В якому співвідношенні пряма ділить площу трикутника ?

Р озв’язок.

Відношення площ трикутників та дорівнює відношенню відрізків та Застосовуючи теорему Менелая до трикутника ACD та прямої BP, маємо

,

, .

Відповідь: AP:PC=3:2.

Задача 1.11 Три кола різних радіусів розташовані на площині так, що жодне з них не лежить повністю в колі, яке обмежено іншим колом. Кожній парі кіл поставимо у відповідність точку перетину зовнішніх подвійних дотичних. Довести, що одержані три точки лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай радіуси кіл з центрами рівні відповідно . Тоді

,

т ак як кіла з центрами

и гомотетичні відповідно точки С, а відношення радіусів - коефіцієнт гомотетіі.

Аналогічно .

Таким чином , .

З теореми оберненої до теореми Менелая маємо, що точки А,В,С лежать на одній прямій.

Задача 1.12 В бісектриса поділяє в відношенні 2:1. В якому відношенні медіана поділяє цю бісектрису ?

Розв’язок .

Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої

.

Так як – медіана, то , звідси

Відповідь: .

Задача 1.13 В правильном трикутнику зі стороною точка –середина , – середина , , . Знайти .

Р озв’язок.

Площа правильного трикутника дорівнює .

Розглянемо трапецію , . Знайдемо висоту цієї трапеції:

Оскільки , то , звідки .

За умовою , де – трапеція з висотою , тоді

.

Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

.

Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

.

Оскільки , то , звідки .

.

Відповідь:

Задача 1.14 Дан паралелограм . Точка поділяє відрізок в відношені , а точка поділяє відрізок в відношенні . Прямі та перетинаються в точці . Обчислити відношення .

Розв’язок.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

(*)

Оскільки , то

Так як

.

Підставляємо в (*): .

Відповідь: .

Задача 1.15 Коло дотикається кола та кола в точках і . Довести, що пряма проходить через точку перетину загальних зовнішніх або загальних внутрішніх дотичних до кіл та .

Доведення.

Нехай – центри кіл ; - точка перетину прямих і . Застосовуючи теорему Менелая до трикутника і точок , знаходимо ,

отже, ,

де – радіуси кіл і відповідно. Отже, – точка перетину загальних зовнішніх або загальних внутрішніх дотичних до кіл і .

Задача 1.16 а) Серединний перпендикуляр до бісектриси трикутника перетинає пряму в точці . Довести, що .

б) Довести, що точки перетину серединних перпендикулярів до бісектрис трикутників і продовжень відповідних сторін лежать на одній прямій.

Доведення.

а) Нехай для визначеності .

Тоді , звідки .

Так як то

.

б) В задачі а) точка лежить на продовженні сторони , так як

.

Тому, використовуючи результат задачі а) і теорему Менелая, одержуємо необхідне.

Задача 1.17 На сторонах чотирикутника (або на їхніх продовженнях) взяті точки . Прямі і перетинаються в точці , прямі і - в точці . Довести, що точка перетину прямих і лежить на прямій .

Доведення.

Нехай - точка перетинання прямих і , - точка перетинання прямих і . Застосовуючи теорем Дезарга до трикутників і , одержуємо, що точки лежать на одній прямій. Виходить, .

Задача 1.18 Задан чотирикутник . Продовження його сторін та перетинаються в точці , продовження сторін та перетинаються в точці . Довести, що середини відрізків лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай – середини відрізків , а точки – середини . Точка лежить на прямій , точка – на прямій , точка – на прямій . Достатньо довести, що

.

Але

,

а останній добуток дорівнює 1 згідно з теоремою Менелая для трикутника та прямої .

Задача 1.19 Пряма Сімсона. Нехай – точка кола, описаного навколо трикутника , а точки – основи перпендикулярів, опущених з точки на прямі . Довести, що точки лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай – відстані від точки , яка взята на дузі описаного кола, до вершин відповідно, а – проекції точки на прямі . Нехай також , , . Тоді орієнтовані відрізки з точністю до знаку такі:

, , , ,

, .

Записуючи їх відношення, приписуючи ним потрібні знаки, та перемножуючи, одержимо рівність

.

Звідси й випливає, що точки лежать на одній прямій.

Задача 1.20 На сторонах та трикутника взято точки та такі, що . Відрізки та перетинаються в точці . Знайти відношення відрізків .

Розв’язок.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника та січної . Одержимо

,

оскільки , а , то .

Відповідь: .

Задача 1.21 Довести, що пряма, яка проходить через середини основ трапеції, проходить через точку перетину її діагоналей та точку перетину прямих, які містять бокові сторони (див. рис. а).

Доведення.

1 спосіб.

Нехай - точка перетину прямих, що містять бокові сторони і трапеції , - середина основи , – точка перетину прямої з основою (див. рис. б). Доведемо, що – середина відрізку , тобто точка лежить на прямій, яка проходить через середини основ трапеції.

Оскільки трикутник подібний до трикутника за першою ознакою подібності трикутників ( – спільний, ), то відношення

. Аналогічно, трикутник подібний до трикутника , тому . З цих рівностей одержуємо, що . Так як , то , тобто – середина основи .

Позначимо через точку перетину діагоналей і , а через – точку перетину прямих і (див. рис. в). Аналогічно до попереднього, використовуючи подібність: трикутник подібний до трикутника і трикутник подібний до трикутника , доводиться, що – середина основи . Тобто точка лежить на прямій, що проходить через середини основ трапеції.

2 спосіб.

Нехай задана трапеція з основами і . Застосуємо теорему Менелая до трикутника і трьом точкам (середина основи ), (точка перетину діагоналей і ), (точка перетину прямих і ) (див. рис. в).

, , ,

так як трикутник подібний до трикутника . Звідси випливає, що

,

тому точки лежать на одній прямій. Аналогічно доводиться, що середина відрізка лежить на прямій .

Задача 1.22 Через точку перетину діагоналей чотирикутника проведена січна. Відрізок цієї січної, що замкнений між однією парою протилежних сторін чотирикутника, поділяється точкою навпіл. Довести, що відрізок січної, що замкнений між продовженнями іншої пари протилежних сторін чотирикутника поділяється точкою також навпіл.

Доведення.

Нехай січна зустрічає сторони і чотирикутника в точках і , а продовження сторін і – в точках і . Тоді скориставшись теоремою Менелая для трикутників і , які перетинаються прямими і , одержуємо, що

і .

Тоді

.

Але за умовою , і для чотирикутника і січної згідно з теоремою Менелая маємо

.

Отже, або . Звідси і .

РОЗДІЛ 2

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ ДЛЯ ДОВІЛЬНОГО ТЕТРАЕДРА

Досить ефективно при розв’язанні деяких задач застосовується мало відома стереометрична теорема Менелая для довільного тетраедра.

Теорема Менелая для тетраедра. У довільному тетраедрі точки належать ребрам і відповідно (див. рис. 2.1). Для того, щоб точки належали однієї площині, необхідно і достатньо, щоб виконувалось співвідношення

(2.1)

Рис 2.1 До формулювання теореми Менелая для довільного тетраедра

Доведення. Необхідність. Нехай чотирикутник – перетин даного тетраедра деякою площиною . Проведемо – перпендикуляри до площи-ни . Розглянемо «фрагмент» – перетин ребра площиною (див. рис. 2.2).

Рис 2.2 До доведення теореми Менелая

Трикутники та подібні, тому .

Трикутники та подібні, тому .

Трикутники та подібні, тому .

Трикутники та подібні, тому .

Перемножуючи знайдені пропорції, приходимо до рівності:

.

Достатність. Припустимо, що виконується співвідношення (2.1), але точки не лежать в одній площині. Проведемо через точки площину , що перетинає ребро в деякій точці , відмінної від . Тому ,

отже, співвідношення (2.1) для точок виконуватися не буде. Оскільки ми прийшли до протиріччя з вихідною умовою (не виконується рівність (2.1)), то наше припущення невірне й площина пройде через точку .

Теорема доведена.

Наведемо застосування цієї теореми до розв’язання стереометричних задач.

Задача 2.1 У тетраедрі точки належать ребрам і відповідно (див. рис. 2.3), причому і . Через точки проведена площина . У якому відношенні ця площина поділяє об’єм тетраедра?

Рис. 2.3 До задачі 2.1

Розв’язок. Нехай площина перетинає ребро в точці . Чотирикутник – переріз даного тетраедра площиною . Визначимо, у якому відношенні точка поділяє ребро . На підставі співвідношення (2.1) та умови задачі маємо

Характеристики

Список файлов ВКР