Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

,

звідки .

У багатограннику проведемо переріз через ребро і вершину . Цей переріз розбиває розглянутий багатогранник на трикутну піраміду і чотирикутну піраміду , яка діагональним перерізом розбивається на дві трикутні піраміди: .

Нехай – площа грані , – довжина висоти тетраедра, проведена з вершини , – об’єм даного тетраедра. Визначимо об’єми трьох отриманих вище трикутних пірамід. Для піраміди :

де – довжина висоти трикутної піраміди , проведена з вершини на площину грані ( ). Тоді

Нехай далі – площа грані , – довжина висоти даного тетраедра, проведена з вершини на площину грані . Тоді

де – довжина перпендикуляра, проведеного з вершини на площину грані ( ) і

Знайдемо тепер об’єм багатогранника :

Отже, .

У такий спосіб шукане відношення дорівнює 23:40.

Відповідь: 23:40.

Задача 2.2. Об’єм тетраедра дорівнює 5. Через середини ребер проведена площина, яка перетинає ребро в точці . При цьому відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює . Знайдіть площу перерізу тетраедра зазначеною площиною, якщо відстань до неї від вершини дорівнює 1.

Рис. 2.4 До задачі 2.2

Розв’язок.

Нехай і – середини ребер відповідно і .

Чотирикутник – заданий за умовою переріз. На підставі теореми Менелая

,

,

звідки .

З'єднаємо точки і , і , і .

Нехай і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини На рисунку не наведено), дорівнює . Згідно з умовою задачі . Висота піраміди , проведена з вершини дорівнює .

Знайдемо тепер об’єм піраміди :

Далі нехай і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини на грань дорівнює . Тоді об’єм піраміди дорівнює

.

З іншої сторони (враховуючи, що відстань від вершини до площини перерізу за умовою задачі дорівнює 1), маємо

Отже, .

Відповідь: 3.

Задача 2.3 В піраміді проведений переріз так, що точка лежить на ребрі точка – на ребрі , точка – на ребрі , точка – на ребрі . Відомо, що , .

Знайти відношення об’ємів частин, на які площина поділяє піраміду.

Рис 2.5 До задачі 2.3

Розв’язок.

З умови задачі безпосередньо випливає, що

(2.3.1)

(2.3.2)

Нехай , .

Згідно з теоремою Менелая маємо

Враховуючи (2.3.1) і (2.3.2) й прийняті вище позначення одержуємо

,

звідки (2.3.3)

Розділивши обидві частини останньої рівності з умови задачі на , одержуємо

або

(2.3.4)

З (2.3.3) і (2.3.4) складаємо систему

Розв’язуємо цю систему:

і

Розбиваємо багатогранник на три трикутні піраміди: , .

Нехай – площа трикутника , – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини , – об’єм даної піраміди, – довжина висоти піраміди , проведена з вершини . Тоді маємо

Нехай – площа грані , – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини на площину грані , – довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину грані . Тоді маємо

Знайдемо об’єм багатогранника :

Отже, .

Таким чином, шукане відношення дорівнює 17:18.

Відповідь: 17:18.

Задача 2.4 Задана піраміда , основа якої має форму опуклого чотирикутни-ка зі взаємно перпендикулярними діагоналями і . Основа перпендикуляра, опущеного з вершини на основу піраміди, збігається з точкою – перетином діагоналей і . Довести, що основи перпендикулярів, опущених із точки на бічні грані піраміди, лежать на одному колі.

Рис. 2.6 До задачі 2.4

Розв’язок.

Нехай – перпендикуляр до площини , – перпендикуляр до площини , – перпендикуляр до площини . Покажемо, наприклад, що точка – ортоцентр грані . В площині грані проведемо промінь до перетину з ребром в точці . Згідно з умовою, і . Тому .

Згідно з теоремою про три перпендикуляри ( , – похила, –її проекція на ) маємо, що . Аналогічно доводиться, що . Отже, точка – ортоцентр грані .

Аналогічно доводиться, що точки і також є ортоцентрами відповідних граней.

З'єднаємо точки і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри . З'єднаємо точки і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри .

Оскільки з точки в грані на можна провести тільки один перпендикуляр, то відрізок пройде через точку . Отже, висоти, проведені в гранях і з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і перетинають ребро в точці .

Аналогічно доводиться, що висоти граней і , проведені з вершин і на ребро , проходять через точки і відповідно і попадають в ту саму точку на ребрі .

Розглянемо трикутник , у якому і (див. рис 2.7)

Рис 2.7

Нехай і . Тоді і .

З :

; ; .

З :

; ; .

Аналогічно розглянемо , нехай (див. рис. 2.8).

Рис 2.8

З ; ;

З ; ;

Точки і належать відповідно ребрам і тетраедра . Розглянемо добуток

З того, що розглянутий добуток дорівнює 1, випливає, що точки і належать однієї площини (назвемо неї ). Побудуємо на , як на діаметрі сферу (на рисунку не наведено). Оскільки , то вершини цих кутів лежать на побудованій сфері. А так як точки і належать також площині , то ці точки лежать на перетині площини зі сферою тобто на колі.

Задачі для самостійної роботи

Задача 2.5 В тетраедрі через середини та ребер та проведена площина, яка перетинає ребра та відповідно в точках та . Площа чотирикутника дорівнює 16, а відношення довжини відрізка до довжини відрізка дорівнює 0,5. Обчислити відстань від вершини до площини , якщо об’єм багатогранника дорівнює 8.

Розв’язок.

Згідно з теоремою Менелая для тетраедра

,

, .

Знайдемо об’єм :

Знаходимо , де - площа , - висота проведена з вершини , - об’єм .

Знаходимо висоту :

Знаходимо площу .

,

,

Тоді

Знайдемо об’єм

,

де - висота, проведена з вершини до , - висота проведена з вершини до .

Знаходимо висоту :

Знаходимо площу .

,

Тоді

Отже,

Тоді

Залишилось знайти

,

де .

Знайдемо площу .

,

Тоді

Отже

Знаходимо відстань від вершини до площини

Відповідь: .

Задача 2.6 В тетраедрі проведено переріз так, що точка лежить на ребрі , точка – на ребрі , точка – на ребрі , точка - на ребрі . Переріз ділить піраміду на дві частини. Знайти відношення об’ємів цих частин, якщо відомі наступні співвідношення між довжинами відрізків

та .

Розв’язок.

Нам треба знайти .

Нехай , відомо .

Згідно з теоремою Менелая для тетраедра

,

, .

З умови задачі маємо

Складаємо систему :

Отже, .

Розбиваємо багатогранник на три трикутні піраміди:

.

Знайдемо об’єм піраміди . Нехай – площа трикутника , – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини , – об’єм піраміди , –довжина висоти піраміди .

Тоді

Знайдемо та .

,

Знайдемо висоту

:

Отже,

Знайдемо об’єм піраміди :

Відомо, що . Знайдемо .

,

Відомо, що

Отже,

Знайдемо об’єм піраміди . Нехай - площа грані , – довжина висоти даної піраміди проведена з вершини на площину грані , –довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину грані .

Тоді

Знайдемо та

,

Отже,

Об’єм багатогранника

.

Отже, .

Остаточно

Відповідь: 37:68.

Задача 2.7 Точки не належать одній площині. Відрізки і поділені точками та так, що , а відрізки і поділені точками та так, що . Довести, що точки та належать одній площині.

Доведення.

Розглянемо добуток . Підставляємо відомі відношення з умови

Це і є необхідна й достатня умова належності точок та одній площині.

Задача 2.8 Площина, яка проходить через середини та ребер та тетраедра , перетинає ребро в точці , а ребро – в точці . Довести, що .

Доведення.

За умовою задачі . Згідно з теоремою Менелая для тетраедра

, .

Задача 2.9 Сфера дотикається сторін просторового чотирикутника в точках відповідно. Довести, що точки лежать в одній площині.

Доведення.

З рівності відрізків дотичних випливає, що

Проведемо площину через точки . Нехай вона перетинає в точці . Тоді

.

Знаходимо, що , але тоді . Отже, точки лежать в одній площині.

РОЗДІЛ 3

ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ДЛЯ ТРИКУТНИКА ТА ТЕТРАЕДРА.

ТЕОРЕМА ЧЕВИ В ФОРМІ СИНУСІВ

3.1 Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів

Джованні Чева (1648-1734) – італійський математик. Народився в Мілані, більшу частину життя провів в Мантує. Теорема Чеви для трикутника була опублікована в роботі “De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio” (1678). В цій роботі Чева також наводить узагальнення теореми Менелая: якщо сторони просторового чотирикутника перетинаються площиною, то на них утворюються вісім відрізків таких, що добуток чотирьох з них, що не мають спільних кінців, дорівнює добутку чотирьох інших.

За допомогою теореми Чеви розв’язуються задачі про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також доводяться теореми про перетин трійок прямих в одній точці.

Характеристики

Список файлов ВКР